Электронная библиотека диссертаций и авторефератов России
dslib.net
Библиотека диссертаций
Навигация
Каталог диссертаций России
Англоязычные диссертации
Диссертации бесплатно
Предстоящие защиты
Рецензии на автореферат
Отчисления авторам
Мой кабинет
Заказы: забрать, оплатить
Мой личный счет
Мой профиль
Мой авторский профиль
Подписки на рассылки



расширенный поиск

Краевые задачи для семейств линейных функционально-дифференциальных уравнений Бравый Евгений Ильич

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Бравый Евгений Ильич. Краевые задачи для семейств линейных функционально-дифференциальных уравнений: диссертация ... доктора Физико-математических наук: 01.01.02 / Бравый Евгений Ильич;[Место защиты: ФГБУН Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского Уральского отделения Российской академии наук], 2018.- 334 с.

Введение к работе

Актуальность темы исследования. Задача о существовании и единственности решений краевых задач — одна из важнейших в теории обыкновенных дифференциальных уравнений1,2. Для уравнений высших порядков и даже в линейном неавтономном случае нахождение эффективных условий существования решения краевой задачи представляет значительную проблему и требует информации о фундаментальной системе решений однородного уравнения3,4, без которой нахождение необходимых и достаточных условий разрешимости, по-видимому, невозможно. Основным методом получения достаточных условий существования решений краевой задачи в линейном и нелинейном случаях стали различного вида априорные оценки5 в сочетании с методом верхних и нижних решений2.

Математические модели различных явлений, использующих дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом6,7,8 начали широко применяться уже с середины XX века. В первых работах, как правило, отклонение аргумента было постоянным9,10, но впоследствии стали применяться произвольные непрерывные или измеримые отклонения11, а также функционально-диффе-ренциальные7,8,12 уравнения, в которых значения старшей производной могут зависеть от поведения исследуемого процесса на всем заданном промежутке времени.

Важнейшей задачей теории функционально-дифференциальных уравне-1Кигурадзе И.Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Тбилиси. 1975. 351 с.

2Васильев Н.И., Клоков Ю.А. Основы теории краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений. Рига: Зинатне. 1978. 183 с.

3Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит. 1969. 528 с.

4Кигурадзе И.Т. Краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. 1987. Т. 30. С. 3–103.

5Кигурадзе И.Т., Шехтер Б.Л. Сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. 1987. Т. 30. С. 105–201.

6Kolmanovskii V., Myshkis A. Introduction to the theory and applications of functional diferential equations. Springer Netherlands. Mathematics and Its Applications. V. 463. 1999. 648 p.

7Hale J.K., Lunel S.M.V. Introduction to functional diferential equations. Springer-Verlag New York. Applied Mathematical Sciences. V. 99. 1993. 450 p.

8Wu J. Theory and applications of partial functional diferential equations. Springer New York. Applied Mathematical Sciences. V. 119. 1996. 429 p.

9Эльсгольц Л. Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука. 1964. 127 с.

10Хан В. Обзор теории дифференциально-разностных уравнений с постоянными и переменными отклонениями // Математика. 1961. Т. 5. №. 6. С. 73–98.

11Мокейчев В.С. Об интегрировании дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Изв. вузов. Матем. 1977. № 10. С. 109–121.

12Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.

ний, наряду с изучением устойчивости решений13,14, является исследование краевых задач15,16, которые оказываются значительно сложнее аналогичных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений17,18,19,20,21 в связи с отсутствием свойства локальности операторов, входящих в уравнения, например, в краевых задачах, возникающих в теории управления и в вариационных задачах. Кроме того, даже в простейших случаях размерность фундаментальной системы решений однородного уравнения9,13 может быть отлична от порядка уравнения.

Общие методы априорных оценок22,23 вместе с применением метода положительных операторов12,24 и теорем о неподвижных точках25,26 (в частности, метода сжимающих отображений) стали основными при исследовании краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений.

Во многих работах, например12,25, выделяется линейное «модельное» уравнение, допускающее достаточно полное исследование, включающее вопросы разрешимости краевой задачи, знакоопределенности решения и оценки решения. Результаты для «модельного» уравнения используются при изучении краевой задачи для более общих уравнений12,25,27. Это исследование краевой задачи для «модельного» уравнения, предшествующее применению метода априорных

13Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз. 1959. 211 с.

14Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. Пермь: Изд-во Перм. ун-та. 2001. 229 с.

15Скубачевский А.Л. Нелокальные краевые задачи со сдвигом // Матем. заметки. 1985. Т. 38. № 4. С. 587–598; Неклассические краевые задачи. I // СМФН. 2007. Т. 26. С. 3–132; Неклассические краевые задачи. II // СМФН. 2009. Т. 33. С. 3–179; Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений и их приложения // УМН. 2016. Т. 71. № 5(431). C. 3–112.

16Бекларян Л.А. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений и их приложений. Групповой подход. СМФН. 2004. Т 8. С. 3–147.

17Левин А.Ю. Неосцилляция решений уравнения () +1()(-1) ++() = 0 // УМН. 1969. Т. 24. № 2(146). С. 43–96.

18Дерр В.Я. К обобщенной задаче Балле Пуссена // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. № 11. С. 1861–1872.

19Дерр В.Я. Неосцилляция решений линейных дифференциальных уравнений // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. 2014. № 11. С. 46–89.

20Дерр В.Я. Дифференциальные уравнения в алгебре -обобщенных функций // Тр. ИММ УрО РАН. 2014. Т. 22. № 3. С. 62–75.

21Кокурин М.Ю. Об асимптотическом поведении периодических решений одного класса операторных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29. № 8. С. 1400–1407.

22Kiguradze I., Puza B. On boundary value problems for systems of linear functional diferential equations // Czechoslovak Mathematical J. 1997. V. 47. No. 2. P. 341–373.

23Азбелев Н.В., Максимов В.П. Априорные оценки решений задачи Коши и разрешимость краевых задач для уравнений с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15. № 10. С. 1731–1747.

24Nieto J. J., Rodriguez-Lуpez R. Periodic boundary value problem for non-Lipschitzian impulsive functional diferential equations // J. of Mathematical Analysis and Applications. 2006. V. 318. No. 2. P. 593–610.

25Gaines R.E., Mawhin J.L. Coincidence Degree and Nonlinear Diferential Equations. Lecture Notes in Mathematics. Springer. 1977. 262 p.

26Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука. 1975.

27Jiang D., Nieto J. J., Zuo W. On monotone method for frst and second order periodic boundary value problems and periodic solutions of functional diferential equations // J. of Mathematical Analysis and Applications. 2004. V. 289. No. 2. P. 691–699.

оценок и теорем о неподвижных точках, — один из основных элементов исследования общих краевых задач для функционально-дифференциальных уравне-ний12,14,24,27. В качестве модельных используются не только обыкновенные дифференциальные уравнения28,27, но и функционально-дифференциальные (обычно с постоянными или линейными29 отклонениями). Функционально-дифференциальные уравнения с произвольным отклонением в качестве «модельных» применяются редко30, так как их изучение само представляет нетривиальную проблему. Однако природе рассматриваемой задачи может соответствовать и более сложное «модельное» функционально-дифференциальное уравнение со сложным (или неизвестным) законом отклонения аргумента.

Таким образом, актуальна общая проблема — исследование краевых задач для линейных функционально-дифференциальных уравнений, имея в виду использование такого уравнения в качестве «модельного», то есть нахождения необходимых и достаточных условий разрешимости и сохранения знака решений краевой задачи. Актуальность этой проблемы определяется всё большим распространением функционально-дифференциальных моделей31 и необходимостью применения методов неподвижных точек, которые требуют полной информации о свойствах линейной части краевой задачи.

По-видимому, для широкого круга уравнений исследование с нахождением необходимых и достаточных условий разрешимости краевой задачи и сохранения знака решений невозможно. В абсолютном большинстве работ о существовании решений краевой задачи результаты получены в условиях сжатия для некоторого оператора или непосредственного применения теорем о неподвижной точки (Шаудера, Красносельского и т.д.)32,33,34,35. В распространенном случае, когда краевая задача может быть сведена к уравнению второго рода с оператором, спектральный радиус которого меньше единицы12, это условие дает и условие существования решения, и оценки решения, а при некоторых дополнительных условиях могут быть получены и условия знакоопределенности решений. Однако это условие на спектральный радиус часто не является

28Li Q., Li Y. Existence and multiplicity of positive periodic solutions for second-order functional diferential equations with infnite delay // Electronic J. of Diferential Equations. 2014. V. 93. P. 1–14.

29Россовский Л.Е. Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения со сжатием и растяжением аргументов неизвестной функции // СМФН. 2014. Т. 54. С. 3–138.

30Nieto J. J., Rodrшguez-Lopez R. Remarks on periodic boundary value problems for functional diferential equations // J. of Computational and Applied Mathematics. 2003. V. 158(2). P. 339–353.

31Richard J.P. Time-delay systems: an overview of some recent advances and open problems // Automatica. 2003. V. 39. No. 10. P. 1667–1694.

32Короткий Д.А. Системы с опережением и запаздыванием: численное решение // Изв. ИМИ УдГУ. 2006. № 2(36). С. 185–188.

33Курпель Н.С., Шувар Б.А. Двусторонние операторные неравенства и их применения. Киев: Наук. думка. 1980. 286 с.

34Жуковский Е.С. О точках совпадения векторных отображений // Изв. вузов. Матем. 2016. № 10. С. 14–28.

35Ponosov A., Zhukovskiy E. Generalized functional diferential equations: existence and uniqueness of solutions // Electron. J. Qual. Theory Difer. Equ. 2016. No. 112. P. 1–19.

необходимым для присутствия требуемого свойства (например, разрешимости).

В то же время, известны новые априорные оценки, дающие возможность получать условия существования решений краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения, не прибегая к поиску условий сжатия (или к оценке спектрального радиуса некоторого оператора)36,37,38, причем эти оценки в некоторых случая дают возможность в несколько раз улучшить известные ранее условия разрешимости. Оказалось также, что условия разрешимости, полученные с помощью этих оценок36,37,38 неулучшаемы в некоторых семействах уравнений. По-видимому, большинство применяемых в настоящее время условий разрешимости для линейных краевых задач можно улучшить при использовании аналогичных априорных оценок. Но для большинства актуальных краевых задач и уравнений (особенно уравнений высших порядков, систем уравнений, уравнений с промежуточными производными) такого рода условия еще не получены из-за трудностей в построении соответствующих априорных оценок. Универсального алгоритма получения таких оценок не существует (вообще, за редким исключением39, общие методы получения априорных оценок решений неизвестны).

Мы предлагаем рассматривать краевую задачу для семейств уравнений (набор семейств гораздо более широкий, чем семейства, соответствующие условиям разрешимости работ36,37,38), и предлагаем для таких семейств метод нахождения необходимых и достаточных условий разрешимости краевой задачи для всех уравнений семейства. Более того, этот метод также дает необходимые и достаточные условия знакоопределенности решений краевой задачи для всех уравнений семейства и неулучшаемые в данном семействе уравнений оценки решений. Тем самым решается задача получения всей информации, требуемой для модельного уравнения, и находятся оптимальные в заданных семействах границы выбора таких модельных уравнений, так как найденные условия изучаемых свойств являются необходимыми и достаточными.

Актуальность работы определяется еще и тем, что необходимые и достаточные условия условия разрешимости краевых задач для естественным образом заданных семейств функционально-дифференциальных уравнений с регулярными операторами до сих пор неизвестны и имеют самостоятельное теоретическое значение12.

Степень разработанности темы исследования. Уже к 1962 году ра-36Lomtatidze A., Mukhigulashvili S. On periodic solutions of second order functional diferential equations // Mem. Difer. Equ. Math. Phys. 1995. V. 5. P. 125–126.

37Lomtatidze A., Mukhigulashvili S. On a two-point boundary value problem for second-order functional-diferential equations. I.II // Mem. Diferential Equations Math. Phys. 1997. V. 10. P. 125–128, 150–152.

38Hakl R., Lomtatidze A., Sremr J. Some Boundary Value Problems For First Order Scalar Functional

Diferential Equations. Folia Facult. Scien. Natur. Masar. Brunensis. Mathematica, 10. Brno: Masaryk University,

2002.

39Митидиери Э., Похожаев С.И. Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и

неравенств в частных производных, Тр. МИАН, 234, 2001, 3–383.

бот по функционально-дифференциальным уравнениям было достаточно много. В обзоре40 библиографический список состоит из 388 работ, авторы отмечают, что не включали работы чисто прикладного характера, работы по интег-ро-дифференциальным уравнениям, а также по уравнениям в частных производных, а основная часть работ до 1953 года включена в предыдущие обзоры.

Исследованиям краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений посвящено очень много работ: в том или ином виде в большинстве работ присутствуют утверждения о свойствах решений краевой задачи для линейных уравнений. В то же время неулучшаемым условиям разрешимости краевых задач для семейств функционально-дифференциальных уравнений уделено значительно меньшее внимание. Мы восполняем этот пробел, получая для многих краевых задач необходимые и достаточные условия наличия исследуемого свойства у всех уравнений рассматриваемого семейства.

Первой монографией, посвященной теории функционально-дифференциальных уравнений, была книга А.Д. Мышкиса об уравнениях с запаздывающим аргументом41. Как отмечает К. Кордуняну42, именно эта книга положила начало литературе по нетрадиционным функциональным уравнениям (non-traditional functional equations). Значительным продвижением в теории уравнений с запаздыванием, в частности, в теории устойчивости и в нелинейных задачах было введение Н.Н. Красовским43 метода «функционалов Ляпунова», известных теперь как функционалы Ляпунова-Красовского.

В одном из первых обзоров работ, посвященных дифференциальным уравнениям с отклоняющимся аргументом, написанным А.Д. Мышкисом и Л. Э. Эльсгольцем в 1967 г.44, авторы посвятили отдельный параграф краевым задачам для уравнений с отклоняющимся аргументом. Источником краевых задач, в основном, были вариационные задачи45,46. Так как вариационные задачи с отклоняющимся аргументом приводят к краевым задачам для аналога уравнения Эйлера и с запаздыванием и с опережением, то уже тогда краевые задачи, в первую очередь, ставились именно для классов уравнений без специальных предположений о запаздывании. В упомянутом обзоре особо отмечались трудно-40Зверкин А.М., Каменский Г.А., Норкин С.Б., Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом // УМН. 1962. Т. 17. № 2(104). С. 77–164.

41Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.-Л.: Гостех-издат. 1951. 255 с.

42Corduneanu C., Li Y., Mahdavi M. Functional diferential equations. Advances and applications. Hoboken NJ: John Wiley & Sons. 2016. 343 p.

43Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз. 1959. 211 с.

44Мышкис А.Д., Эльсгольц Л.Э. Состояние и проблемы теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // УМН. 1967. Т. 22. № 2(134). С. 21–57.

45Каменский Г.А. Вариационные и краевые задачи с отклоняющимся аргументом // Дифференц. уравнения. 1970. Т. 6. № 8. С. 1349–1358.

46Каменский Г.А., Мышкис А.Д., Скубачевский А.Л. О минимуме квадратичного функционала и о линейных краевых задачах эллиптического типа с отклоняющимися аргументами // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. № 8. С. 1469–1473.

сти, связанные с постановкой краевой задачи и установлением для нее свойства фредгольмовости. Эти трудности впоследствии удалось преодолеть, в частности, с помощью подхода, разработанного Н.В. Азбелевым и его учениками (см., например, монографию12). Для этого пришлось пожертвовать «непрерывной стыковкой» и отказаться от рассмотрения зависимости решения от «начальной» функции как от главной задачи исследования. В результате появилась возможность применения классических методов функционального и операторного анализа. При этом в линейном случае стало возможным записывать краевую задачу в виде линейного уравнения в соответствующей паре функциональных пространств. Оказалось, что при естественных предположениях для линейных уравнений с «фредгольмовой главной частью»12 размерность фундаментальной системы решений однородного уравнения конечна и не меньше порядка дифференциального уравнения.

Одним из первых, кто также свел задачи для функционально-дифференциальных уравнений к стандартным задачам функционального анализа, по-видимому, был Дж. Хейл47. Подход Н.В. Азбелева дает возможность рассматривать линейное функционально-дифференциальное уравнение как стандартный объект с «фредгольмовой главной частью», что снимает множество трудностей, с которыми сталкивались исследователи ранее, в частности, позволяет рассматривать произвольные измеримые отклонения, а не только гомеоморфизмы16.

Общие теоремы функционального анализа стали основным инструментом при исследовании функционально-дифференциальных уравнений. Как отмечают Дж. Хендерсон и Р. Лука в предисловии к монографии по краевым зада-чам48, «центральными результатами каждой главы являются применения теоремы Гуо–Красносельского о неподвижной точке для нерастягивающих и несжи-мающих конус операторов», «при доказательстве многих главных результатов применялись также теорема Шаудера, нелинейная альтернатива Лере-Шаудера и другие теоремы о неподвижных точках».

Результаты, полученные М.А. Красносельским и его сотрудниками49,50, по настоящее время являются основополагающими для современных исследований краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений.

Возможность применения универсальных методов функционального анализа оказалась решающей при исследовании краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений.

Для применения общих методов неподвижных точек требуются, как правило априорные оценки решения, то есть оценки в предположении, что решение

47Hale J.K. Theory of Functional Diferential Equations. Springer-Verlag New York. 1977. 48Henderson J., Luca R. Boundary Value Problems for Systems of Diferential, Diference and Fractional Equations. Positive Solutions. Amsterdam: Elsevier. 2016.

49Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений, М.: Физматгиз, 1962.

50Красносельский М.А., Лифщиц Е.А., Соболев А.В. Позитивные линейные системы. М.: Наука. 1985.

существует. Существует множество методов построения априорных оценок. Вид априорной оценки определяет и вид окончательного результата. Часто требуется только факт априорной ограниченности множества решений. Однако априорные оценки могут использоваться и для доказательства отсутствия нетривиальных решений линейной задачи, например, если показать, что если решение существует, то оно тривиально, таким образом, доказывается существование и единственность решений краевой задачи при произвольных правых частях в случае фредгольмовости. Насколько известно автору, алгоритма построения априорной оценки в сколько-нибудь общем случае не существует.

C 1970-х годов в работах И.Т. Кигурадзе и его учеников для исследования краевых задач для обыкновенных и, позднее, функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ) стали использоваться априорные оценки (в том числе и односторонние)51,52,53,54. С помощью одного нового вида априорных оценок удалось перенести некоторые результаты о периодической краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений55 на периодическую задачу для ФДУ, сохранив при этом наилучшие константы в условиях разрешимости36. Затем подобные неулучшаемые условия были получены и для двухточечной задачи37 и для задачи Коши56,57. Известные на то время условиях разрешимости этих задач для ФДУ были ослаблены в несколько раз. После этого подобные оценки были использованы и при исследовании других краевых задач для ФДУ58,38,59,60, а также для ФДУ в частных производных61,62. Эти оценки явно учитывали знаковую ассиметрию входящих в функционально-дифференциальное уравнение

51Кигурадзе И.Т. Об априорных оценках решений нелинейных дифференциальных неравенств высших порядков // Дифференц. уравнения. 1985. Т. 21. № 2. С. 198–213.

52Кигурадзе И.Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та. 1975.

53Кигурадзе И.Т., Кусано Т. Об условиях существования и единственности периодического решения у неавтономных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. № 10. С. 1301–1306.

54Кигурадзе И.Т., Кусано Т. О периодических решениях неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 1. С. 72–78.

55Lasota A., Opial Z. Sur les solutions periodiques des equations diferentielles ordinaires // Ann. Polon. Math. 1964. V. 16. P. 69–94.

56Bravyi E., Hakl R., Lomtatidze A. Optimal conditions on unique solvability of the Cauchy problem for the frst order linear functional diferential equations // Czechoslovak Mathematical J. 2002. V. 52(127). No. 3. 2002. P. 513–530.

57Bravyi E., Hakl R., Lomtatidze A. On Cauchy problem for frst order nonlinear functional diferential equations of non-Volterra’s type // Czechoslovak Mathematical J. 2002. V. 52(127). No. 4. P. 673–690.

58Lomtatidze A., Mukhigulashvili S. Some two-point boundary value problems for second-order functional-diferential equations. Folia Facult. Scien. Natur. Masar. Brunensis. Mathematica, 8. Brno: Masaryk University, 2000.

59Hakl R., Lomtatidze A., Puza B. On periodical solutions of frst order linear functional diferential equations // Nonlinear Anal.-Theor. 2002. V. 49. P. 929–945.

60Ломтатидзе А.Г., Пужа Б., Хакл Р. О периодических краевых задачах для функционально-диффе-ренциональных уравнений первого порядка // Дифференц. уравнения. Т. 39, № 3. 2003. С. 320–327.

61Lomtatidze A., Sremr J. On the Cauchy problem for linear hyperbolic functional-diferential equations //

Czechoslovak Mathematical Journal. 2012. V. 62. No. 2. P. 391–440.

62Lomtatidze A., Sremr J. Caratheodory solutions to a hyperbolic diferential inequality with a non-positive

coefcient and delayed arguments // Boundary Value Problems. 2014. no. 52.

функциональных операторов. Полученные результаты значительно улучшили известные условия существования и единственности. Однако построение соответствующей априорной оценки было связано со значительными техническими трудностями. Не всегда удавалось получить априорную оценку, приводящую к неулучшаемым условиям существования (см., например, работу63, где получены только достаточные, но не необходимые условия разрешимости, и 64,65, где доказаны условия разрешимости только для младших порядков). Построение оценок для решений систем уравнений, уравнений с промежуточными производными, а также построение оценок при поточечных ограничениях на операторы было сопряжено со значительными техническими трудностями. Работ, посвященных таким оценкам, сравнительно мало66, хотя подобные оценки могут существенно улучшить результаты многих современных работ по краевым задачам для функционально-дифференциальных уравнений, использующих итерационную технику монотонных операторов67,68,69,70,71,72. В настоящее время такие аналоги оценок из работ38,61,62 пока неизвестны из-за технических трудностей их получения.

Отметим наиболее крупную российскую школу по исследованию краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений. Работы школы профессора А.Л. Скубачевского (см., например, монографии73,74) посвящены краевым задачам для функционально-дифференциальных уравнений, возникающих в различных приложениях математической физики и других наук. Как правило, рассматриваются уравнения в частных производных и не ставится задача

63Sremr J., Hakl R. On the Cauchy problem for two-dimensional systems of linear functional diferential

equations with monotone operators // Nonlinear Oscillations. 2007. V. 10. No. 4. P. 569–582.

64Hakl R., Mukhigulashvili S. On one estimate for periodic functions // Georgian Math. J. 2005. V. 12. No. 1. P. 97–114.

65Hakl R., Mukhigulashvili S. A periodic boundary value problem for functional diferential equations of higher

order // Georgian Math. J. 2009. V. 16. No. 4. P. 651–665.

66Sremr J. On the initial value problem for two-dimensional systems of linear functional diferential equations

with monotone operators // Fasc. Math. 2007. V. 37. P. 87–108.

67Nieto J., Rodriguez-Lopez R. New comparison results for impulsive integro-diferential equations and applications // J. of Mathematical Analysis and Applications. 2007. V. 328. No. 2. P. 1343–1368.

68Nieto J., Rodriguez-Lopez R. Boundary value problems for a class of impulsive functional equations // Computers & mathematics with applications. 2008. V. 55. No. 12. P. 2715–2731.

69Jiang D., Nieto J., Zuo J. On monotone method for frst and second order periodic boundary value problems and periodic solutions of functional diferential equations // J. of Mathematical Analysis and Applications. 2004. V. 289. No. 2. P. 691–699.

70Nieto J., Rodriguez-Lopez R. Remarks on periodic boundary value problems for functional diferential equations // J. of Computational and Applied Mathematics. 2003. V. 158. No. 2. P. 339–353.

71McRae F.A. Monotone iterative technique and existence results for fractional diferential equations // Nonlinear Anal.-Theor. 2009. V. 71. No. 12. P. 6093–6096.

72Liz E., Nieto J. Periodic boundary value problems for a class of functional diferential equations // J. of Mathematical Analysis and Applications. 1996. Vol. 200. No. 3. P. 680–686.

73Скубачевский А.Л. Неклассические краевые задачи. I // СМФН. 2007. Т. 26. С. 3–132; Неклассические краевые задачи. II // СМФН. 2009. Т. 33. С. 3–179.

74Скубачевский А.Л. Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений и их приложения // УМН. 2016. Т. 71. № 5(431). C. 3–112.

получения коэффициентных признаков разрешимости. Доказано существование решений и исследованы свойства решений многих неклассических краевых задач для актуальных классов функционально-дифференциальных уравнений.

Важные результаты по теории краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений и близким вопросам получены в работах Р. Агарвала, В.В. Власова, С.А. Гусаренко, В.Я. Дерра, Е.С. Жуковского, Г.А. Каменского, С.А. Кащенко, И.Т. Кигурадзе, В.Б. Колмановского, М.Ю. Кокурина, Дж. Мо-вена, С. Мухигулашвили, С.М. Лабовского, А.Г. Ломтатидзе, В.П. Максимова, С.Б. Норкина, В.Г. Пименова, Б. Пужи, Л.Ф. Рахматуллиной, А. Ронто, Л.Е. Россовского, А.Л. Скубачевского, А.Н. Сесекина, Е.Л. Тонкова, Дж. Хей-ла, Р. Хакла, Р.В. Шамина, Ю. Шремра, Л.Э. Эльсгольца и др.

Цель и задачи диссертационной работы. Цель диссертационной работы — развитие методов исследования краевых задач для линейных функционально-дифференциальных уравнений на конечном промежутке и получение новых условий наличия некоторых важнейших свойств краевых задач, таких как, например, однозначная разрешимость и существование положительного решения. Для достижения поставленной цели было предложено рассматривать краевые задачи для семейств функционально-дифференциальных уравнений. Для этих семейств решены следующие задачи:

I. Разработка метода получения неулучшаемых в данном семействе уравнений условий разрешимости краевой задачи для всех уравнений семейства;

II. Нахождение необходимых и достаточных условий существования и единственности решения краевой задачи для всех уравнений семейства;

  1. Разработка метода получения неулучшаемых в данном семействе уравнений условий сохранения знака решения краевой задачи;

  2. Нахождение необходимых и достаточных условий сохранения знака решения краевой задачи для всех уравнений семейства;

V. Разработка методов построения оценок решений краевой задачи, неулуч-шаемых в данном семействе уравнений.

Научная новизна. В диссертации разработан новый метод исследования краевых задач, который в отличие от известных дает возможность получать условия разрешимости и знакоопределенности решений краевой задачи, оценки решений, неулучшаемые для данного семейства функционально-дифференциальных уравнений. Все результаты, полученные в работе, являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Для широкого класса семейств линейных функционально-дифференциальных уравнений и систем предложен метод получения необходимых

и достаточных условий однозначной разрешимости краевой задачи для всех уравнений семейства и сохранения знака решений краевой задачи для всех уравнений данного семейства. Метод эффективен: проверка необходимых и достаточных условий разрешимости или сохранения знака решения краевой задачи для всех уравнений семейства сводится к проверке отсутствия нулей (или сохранения знака) эффективно строящейся по параметрам семейства вещественной функции, заданной на некотором множестве конечномерного пространства. Для многих актуальных краевых задач и семейств получены условия разрешимости в аналитическом виде.

Результаты дают новое представление о структуре необходимых и достаточных условий разрешимости краевой задачи для всех уравнений семейства и знакоопределенности всех решений. И с теоретической и с практической точек зрения важно, что получаемые признаки и оценки неулучшаемы в данном семействе функционально-дифференциальных уравнений.

Результаты существенно улучшают известные условия разрешимости краевых задач и условия положительности (отрицательности) решений краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений. Они могут использоваться для анализа нелинейных функционально-дифференциальных уравнений и различных моделей, связанных с функционально-дифференциальными уравнениями. Неулучшаемые оценки решений в достаточно «узких» семействах могут использоваться для приближенных вычислений.

Методология и методы исследования. При исследовании краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений автор опирается, в первую очередь, на подход к функционально-дифференциальным уравнениям профессора Н.В. Азбелева и профессора Л.Ф. Рахматуллиной75 и их учеников, изложенный, в частности, в монографии76. При этом на операторы функционально-дифференциального уравнения накладываются только минимальные требования «регулярности» (представимости в виде разности двух операторов, положительных в смысле соответствующих конусов неотрицательных функций).

Второй основополагающий момент работы — использование семейств операторов. Регулярность операторов позволяет в заданном семействе найти оператор самого «плохого» поведения, для которого, например, разрешимость краевой задачи влечет разрешимость данной краевой задачи для всех уравнений семейства. Оказывается, что такой оператор часто обладает простой структурой, а именно, является конечномерным. Условия разрешимости краевой задачи для таких операторов могут быть получены точно в явном виде (или прибли-75Azbelev N.V., Rakhmatullina L.F. Theory of linear abstract functional diferential equations and applications // Mem. Difer. Equ. Math. Phys. 1996. V. 8. P. 1-102.

76Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1991. 280 с.

женно с любой заданной точностью, давая тем самым хорошие достаточные условия разрешимости).

Метод позволяет свести основные проблемы, связанные с краевыми задачами (однозначная разрешимость, положительность решений, оценки решений, описание спектра) к рассмотрению семейств простых задач, допускающих решение в явном виде. Насколько известно автору, такой подход к изучению краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений ранее не использовался. В некоторых случаях наилучшие условия разрешимости (которые эквивалентны необходимым и достаточным условиям разрешимости краевой задачи для семейств уравнений) были с получены с помощью построения априорных оценок решения. Однако стандартного метода построения нужной оценки не существует. В диссертации во всех случаях предлагается алгоритм решения задачи. Этот алгоритм сводит проблему, связанную с краевыми задачи для функционально-дифференциальных уравнений, к стандартной задаче конечномерной оптимизации.

Основные результаты диссертации. Положения, выносимые на защиту.

  1. Связь однозначной разрешимости краевой задачи для всех уравнений заданного семейства линейных функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ) с однозначной разрешимостью краевой задачи для всех уравнений из подсемейства ФДУ с конечномерными операторами простой структуры. Метод получения необходимых и достаточных условий разрешимости краевой задачи и сохранения знака решений краевой задачи для всех ФДУ из заданного семейства.

  2. Необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости краевой задачи и сохранения знака решений для всех уравнений семейства ФДУ при поточечных ограничениях на операторы (в том числе и в так называемом «резонансном» случае, когда исследуется возмущение однородной задачи, имеющей нетривиальное решение). Эффективные необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости и знакоопределенности решений периодической краевой задачи для всех уравнений из различных семейств при поточечных ограничениях.

  3. Метод построения оценок решений краевой задачи, неулучшаемых в семействах уравнений с поточечными ограничениями на функциональные операторы.

  4. Общие и эффективные необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости «нерезонансных» краевых задач для всех семейств ФДУ с интегральными ограничениями (в том числе, для задачи Коши для семейств ФДУ -го порядка).

  1. Необходимые и достаточные условия существования решения краевой задачи в «резонансном» случае для всех уравнений семейств ФДУ с интегральными ограничениями.

  2. Эффективные необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости периодической краевой задачи для всех уравнений семейств ФДУ -го порядка с интегральными и поточечными ограничениями. Свойства последовательности наилучших констант в условиях однозначной разрешимости.

  3. Необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости задачи Коши для всех уравнений семейств сингулярных ФДУ -го порядка с интегральными ограничениями.

  4. Необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости краевых задач для семейств ФДУ с промежуточными производными.

  5. Общие и эффективные необходимые и достаточные условия разрешимости краевых задач (Коши, периодической, двухточечной) для всех систем из заданного семейства систем двух ФДУ первого порядка с интегральными ограничениями.

10. Необходимые и достаточные условия монотонности оператора Грина краевой задачи для всех уравнений семейства ФДУ при поточечных ограничениях на операторы.

Степень достоверности и апробация результатов. Результаты диссертации приведены в виде строгих математических утверждений и примеров, иллюстрирующих применение этих утверждений. Все результаты диссертации строго обоснованы. Достоверность и непротиворечивость исследований подтверждена строгостью применяемых математических методов доказательств, публикациями в ведущих рецензируемых изданиях и апробацией результатов диссертации. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

Воронежская математическая школа «Понтрягинские чтения» (Воронеж, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013, 2015 гг.); Международная конференция «Func-tional Differential Equations» (Ариэль, Израиль, 2010, 2012 гг.); Научная конференция-семинар «Теория управления и математическое моделирование» (Ижевск, 2008 г.); Международная конференция по математической теории управления и механике (Суздаль, 2009 г.); Шестая Всероссийская конференция «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2009 г.); Международная конференция по дифференциальным уравнениям “Equadif 12” (Брно, Чешская

республика, 2009 г.); Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Актуальные проблемы механики, математики, информатики — 2010» (Пермь, 2010 г.); Четвертая Международная конференция, посвященная 90-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН Л.Д. Кудрявцева (Москва, 2013 г.); VII международная конференция по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, 2014 г.); Международная конференция «Динамика систем и процессы управления», посвященная 90-летию со дня рождения академика Н.Н. Красовского (Екатеринбург, 2014 г.); Всероссийская конференция с международным участием, посвященная памяти профессора Н.В. Азбелева и профессора Е.Л. Тонкова (Ижевск, 2015 г.); III международная конференция, посвященная 85-летию со дня рождения профессора чл.-корр. РАН В. И. Зубова «Устойчивость и процессы управления» (Санкт-Петербург, 2015 г.); Симпозиум, посвященный столетию Пермского государственного национального исследовательского университета «Дифференциальные уравнения. Сто лет математической науке Урала» (Пермь, 2016 г.); Международная конференция «Diferential Equations and Applications» (Брно, Чешская республика, 2017 г.); Пермский семинар по функционально-дифференциальным уравнениям, руководители семинара — профессор Н.В. Азбелев, профессор Л.Ф. Рахматуллина, профессор В.П. Максимов (2002–2017 гг.); Семинар Лаборатории конструктивных методов исследования динамических моделей ПГНИУ, руководитель — профессор В.П. Максимов (2008–2017 гг.); Семинар Института математики Чешской академии наук (филиал в г. Брно), руководитель — профессор А.Г. Ломтатидзе (2009, 2013, 2017 гг.); Семинар кафедры вычислительной математики Челябинского государственного университета под руководством академика РАН А.М. Ильина (2011 г.); Семинар кафедры прикладной математики РУДН по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям под руководством профессора А.Л. Скубачевского (2012 г.); Семинар кафедры вычислительной математики Уральского федерального университета под руководством профессора В.Г. Пименова (2011, 2015 гг.); Семинар кафедры дифференциальных уравнений МГУ им. М.В. Ломоносова, руководитель семинара — профессор А.С. Шамаев (2015 г.); Семинар по качественной теории дифференциальных уравнений кафедры дифференциальных уравнений МГУ им. М.В. Ломоносова, руководители семинара — профессор И.В. Асташова, профессор А.В. Боровских, профессор Н.Х. Розов, профессор И.Н. Сергеев (2016 г.), Семинар отдела динамических систем Института математики и механики имени Н.Н. Красовского УрО РАН, руководители семинара — чл.-корр. РАН В.Н. Ушаков, профессор А.М. Тарасьев (2017 г.).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 59 печатных работах, из них одна монография [], 31 статья в рецензируемых журналах, включенных список ВАК и в международные реферативные базы данных и системы цитирования Web of Science, Scopus, zbMATH [–], 5 статей в сборниках тру-

дов конференций [33-], остальные 22 работы — тезизы докладов [-.

Личный вклад автора. Все основные результаты диссертации получены автором лично. Теорема 1.3 из совместной работы [4] принадлежит диссертанту и соавторам А. Ломтатидзе и Р. Хаклу в равной мере.

Исследования рассматриваемых в диссертации задач проводились при поддержке грантов РФФИ 10-01-96054-р-урал-а, 01–01–00511–а, 03 01 00255-а, 06-01-00744-а, 14-01-00338.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и библиографического списка. Общий объем диссертации 334 страниц. Библиография включает 267 наименований.