Введение к работе
Актуальность темы. Сегодня наблюдается значительный сдвиг исследовании слоеных проблем в области физики, механики, электрс ячкя .и з друтгх отраслях науки и ^ехнкгот. Релащув ро.'іь безуслов но играет широкое внедрение вычислительных алгоритмов в практике прикладных исследований. Наиболее ощугамые резу-^таты использования методов вычислительной математики оказываются по-видимому, в задачах механики сплошной среды, гидродинамики и газодинамики.
Многие задачи науки и техники (химическая технология, охрана окружавшей среды, размещение производи пленных мощностей, нефтегазовой дсОивашей промшпленности и так далее) сводятся к решенип уравнений Кавье-Стокса. В силу нелинейности и разнообразности краевых условий нахождение точного решения таких уравнений затруднительно, поэтому в настоящее время применение получили численные методы. тсСн построить эффективные устойчивые алгоритмы, необходимо чтобы задача была математически корректна.
Данная диссертация посвящается исследовании корректности некоторых краевых задач (нелокальная задача) модели океана а гидростатические модели неоднородной жидкости. Поэтому тема диссертации актуальна.
Задачи, связанные с изучением процессов, происходящих в атмосфере и океане являются одним из важнейших разделов геофизики. При исследовании этих задач широко используется математические моде.іи, оь^ирущие на линейных н квазилинейных системах уравнений в частных производных (а основном в уравнениях типа
Навье-Стокса).
Особый интерес среди таких моделей представляют гидродинамические модели, огшсквавщие атмосферные процессы. Отметил? здесь основоголагагдие работы И.А.Кибеля и его учеников. Аналитические метода, дающие явные представления решения этих задач мало примешай, поэтому чаще всего используется приближенное решение, полученное различными способами Г.И.Марчук, ВШ.Кочергиным, В.Е.Пе-венко и др. Это требует исследования корректности краевых задач для дифференциальных уравнений, их аппроксимации корректными и как правило хорошо изученными задачами. Здесь широко используется классическая теория дифференциальных уравнений и аппарат функционального анализг.
ОдЕой из первых работ, посвященных исследованию вопросов корректности математической модели метеорологии и океанологии была работа Г.В.Демидова, Г.К.Марчука. В дальнейшем эти направления развивались в работах Ю.Я.Белова, М.А.Бубнова, А.Б.Каз^хоиь, З.Смагулоьа. Более полная теория краевой задачи для атмосфери к океана создана В.И.СуханосоЕык. В ней доказана теорема существования и единственности для задачи Дирихле нелинейной модели атмосферы и океана. Интересные результаты .получены в разрешимости трехмерной модели океана с усредненными данными задачи Кошк ъ работе В.А.Шелухкна.
Целью работа являются построение аналитического аппарата для изучения моделькх задач и вывод оценок норм их решений: ус-тановлэше априорны.; оценок и разрешимость краевой (нелокальной", задачи для уравнений линейной модули океана и обоснование г>"
приближенного метсяа (метод фиктивных областей, е - аппроксимации модели). Разрешимость в I, - классах начально-краевой задачи диффузионной гидрсс"этической модели неоднородной жидкости а сально* разрешимости краезой задачи стационарной диффузионной модели неоднородной яидкости.
Методика исследования. В работе применяется метод априорных сиенск, разрешимость краевой задачи установлена на принципе Еау-дера. Для исследования корректности начально-краевой задачи используется метод регуляризация и метод ГалЭркина- для построения прио'лижоиного рзшения. А тают используется метод компактности, разработанный в монографии 1.Лїіс?--г. В работе существенно использована теория функциональных пространсть Cc-Ov.ijBa и техника получения опенок норм репения в функциональных, пространствах Соболева.
Научная ноеизяэ. В диссертации получены - сдедущие основные результаты: .
-
Получены оценки решения нелокальной краевой задачи для модельного уравнения океана, доказана теорема существования и единственности сильного решения. Математически обоснован метод фиктивных областей для этой задачи. Доказана теорема сходимости решения при а - 0. Получены оценки близости вспомогательной задачи к решению исходной задачи. Исследованы є - регуляризации (эллиптическая аппроксимация) модели скеанз. Оценена скорость сходимости решения.
-
Получена теорема разрешимости 'обобщенного решения нелокальной краевой задачи для стационарной модели океана. Далее изучены диф-
ференциальные свойства решения при определенных условиях, что обобщенное решение является сильным.
-
Доказана теорема существования обобщенного решения гидростатической диффузионной модели неоднородной КИДКОСТН.
-
Получена корректность стационарного уравнения диффузионной модели неоднородной жидкости.
Достоверность результатов. Все результаты диссертации сформулированы в виде теорем, лемм и следствий, математически строго доказаны.
Теоретическая и практическая достоверность. Работа носит теоретический характер. В ней даны ответы на фундаментальные вопросы установлення точных априорных оценок и разрешимости системы ннтегро-дафференциалъных уравнений составного типа. Исследованные в ptOoie задачи имеют приложения в различных рсздедыс гидродинамики и геодинамики. Методы полученные априорными оценками могут примрілться для исследования численного решения модели океана. Например, метод є - регуляризации, метод фиктивных областей в настоящее время используется для расчета на ЭВМ. " .Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах "Дифференциальные уравнения и функциональное пространство" под руководство»: член-корреспондента Н&Н РК д.ф.-м.н., профессора Уыбетханова Д.У., не общегородском семинаре "Уравнения математической физики" под руководством д.ф.-м.н., профессора Темирбола-това С.Е., д.ф.-м.н., профессора Аддашева С.А., на семинаре "Дифференциальные уравнения" под руководством член-корреспондента НАН ИС д.ф.-к.н., профессора Касымова К.А., на сєминасе "Краевые
задачи механики сплошной среды" под руководством член-корреспондента д.ф.-м.в., профессора ОтелОаева М.О., академика ИА РК д.ф.-м.н., профессора Смагулова Ш. и на республиканских конференциях.
Публикация. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1]-[7]. '
Структура диссертации. Диссертации объемом - 91 стр.машинописного текста состоит из введения, дьух глав и списка литературы.
Библиография содержит 56 наименований.