Введение к работе
Актуальность темы. Развитие современного естествознания приводит к возникновению качественно новых задач в теории дифференциальных уравнений в частных производных. В последнее время особое внимание математиков привлекают задачи, названные нелокальными.
Теория краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений исследовалась еще в работе Д. Гамаркина в 1917 г. на нелокальные краевые условия, возникшие в теплопроводности, указывали В.А. Стеклов в 1922 г. и Ф.И.Франкль в 1956 г. Однако особое внимание эти задачи привели после публикаций работ А.В. Бицадзе и А.А. Самарского в 1969 г. и А.А. Самарского в 1980 году.
К нелокальным задачам можно отнести различные задачи, в т.ч. задачи типа Франкля. Эти задачи для уравнений смешанного типа исследовали Ю.В. Девингталь, А.П. Солдатов, К.Б. Сабитов. Рассмотрению следующего класса нелокальных задач, т.е. задач со смещением, посвящены работы значительного числа математиков, в частности, В.И. Жегалова, A.M. Наху-шева, В.Ф. Волкодавова, Н.Я. Николаева. К нелокальным задачам можно отнести и задачи с интегральными условиями. Возникновение условий подобного рода обусловливается тем, что зачастую невозможно измерение точных характеристик искомой величины. В таких случаях пользуются усредненными (интегральными) характеристиками упомянутых величин. Подобные задачи возникают, например, при исследовании физики плазмы1, при математическом моделировании демографических процессов2. Задачи с интегральными условиями для уравнений гиперболического и параболического типа изучались В.Ф. Волко-давовым, Н.И. Ионкиным, Л.С. Пулькиной и т.д.
Настоящая работа посвящена доказательству существования и единственности решения ряда новых краевых задач с интегральными и граничными условиями для некоторых уравнений гиперболического типа, вырождающихся в одной точке. В ней продолжаются исследования, проводившиеся для задач такого рода Л.С. Пулькиной, Н.Д. Голубевой, А.А. Игнаткиной, Н.А. Мижаревой.
1 Самарский А.А. О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений // Дифферен
циальные уравпеиня. - 1980. Т. 16. № 11. - С. 1925-1935.
2 Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. - М.: Высшая школа, 1995. 304 с.
Цель работы. Целью настоящей работы является постановка новых задач с интегральными и граничными условиями и доказательство теорем существования и единственности классического решения этих задач для уравнений гиперболического типа с вырождением в одной точке.
Методы исследования. При исследования задач, изучаемых в данной работе, использованы классические методы решения дифференциальных уравнений с частными производными и интегральных уравнений: метод Римана, принцип локального экстремума, метод последовательных приближений, теория интегральных уравнений Вольтерра II и III рода, а также аппарат специальных функций.
Научная новизна. В работе доказаны существование и единственность решений ряда известных краевых задач с интегральными условиями и задач с условиями сопряжения по производной по нормали и производной дробного порядка. Впервые поставлены некоторых краевые задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения, вырождающегося в одной точке, доказаны существование и единственность их решений. Решения этих задач получены в замкнутой форме.
Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются новыми в указанном смысле и имеют теоретический характер, продолжая исследование краевых задач с интегральными условиями для некоторых известных уравнений гиперболического типа. Результаты предлагаемой работы могут быть использованы в качестве основы при дальнейших исследованиях, например, в доказательстве существования и единственности решений поставленных задач для указанных уравнений при других значениях параметров, а также при решении уравнений более общего вида.
На защиту выносятся;
На защиту выносятся следующие результаты:
1) Доказательство существования и единственности решения
краевых задач с интегральными и локальными условиями
для уравнения
L{U) = U„+ Р&&ЇУ Ux=0, 0 (і)
' x+ysgny
в области G+ = {(х,у) :0
2) Доказательство существования и единственности решения
задачи с условиями сопряжения по производной по нор
мали и производной дробного порядка для уравнения (1)
на множестве G -G u G~, где
G = {(x,y):-y
-
Доказательство существования и единственности решения серии новых краевых задач At, і = 1,7. Решения построены в явном или замкнутом виде.
-
Доказательство существования и единственности решения двух новых краевых задач для уравнения
U^+-2-{ux+Uv)=0, q>\, (2)
J х + у
на неограниченном множестве G = G+ U С , где
G+ - {(х,у) :h
h > О с условиями сопряжения на линии у — х.
Апробадни работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах 1998-2000 г.г.:
в Самарской государственной архитектурно-строительной академии (Самара, 1998 г., научные руководители профессор В.Ф. Волкодавов, профессор Н.Я. Николаев),
в Самарском государственном педагогическом университете (Самара, 1999, 2000 г., научный руководитель профессор В.Ф. Волкодавов),
в Самарском государственном университете (Самара, 2000г., научный руководитель профессор О.П. Филатов),
а также
на ежегодной научно-технической конференции сотрудников СамГАСА по итогам НИР за 1998, 1999 г. (Самара, 1998, 1999 г.),
на Международной конференции "Актуальные проблемы математики и механики", (Казань 1-3 октября 2000 г.).
Публикация. Основные результаты данной диссертационной работы представлены в работах [1] - [8] из списка публикаций, приведенных в конце автореферата. Работа [1] выполнена в соавторстве с научным руководителем В.Ф. Волкодавовым.
Структура и объем работы. Диссертация изложена на 96 страницах и состоит из введения, двух глав и списка литературы, который содержит 48 наименований.
