Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ .Теория уравнений смешанного типа является одним из центральных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частным» производными . Интерес к этим вопросам объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов , так и их. многочисленными практическими приложениями в газовой динамике , теории бесконечно малых изгибаний поверхностей , в безмоментной теории оболочек и в других областях.
Впервые на важность изучения уравнений смешанного типа указал С.А. Чаплыгин в 1902 году в своей работе « О газовых струях « . После известных работ Ф.Трикоми [1], С.Геллерстедта систематическое изучение уравнений смешанного типа продолжалось в работах А.В.Бнцадзе [2,4] , Лаврентьева [3],Ф.И.Франкля , К.И.БабенкО , М.Проттера , С.Моравец , Ю.М.Березанского , А.М.Нахушева [7-11], В.Н.Врагова [16], М.М.Смирнова [15], Ю.М.Крикунова [5,6], Т.Ш.Кальменова [18,20], Н.Г.Сорокиной [19], Е.И.Моисеева [17,21], С.М.Пономарева и других.
Проблемам теории краевых . задач для уравнений смешанного типа посвящены многочисленные работы отечественных и зарубежных авторов . Достаточно полный обзор полученных результатов содержится в книгах :А.В.Бицадзе [2,12], М.М.Смирнова [15], М.С.Салахитдинова [13], Т.Д.Джураева [14].
Принципиальные , известные к настоящему моменту , результаты по темам , близким к рассматриваемым в настоящей диссертации , и весьма исчерпывающая библиография содержится' в монографиях Ф.Трикоми [1], А.В.Бнцадзе [2,12] , М.М.Смирнова [15], Е.И.Моисеева [17], Т.Ш.Кальменова [18].
Одним из актуальных вопросов теории уравнений смешанного типа является выяснение вопроса о совпадении слабого и сильного решений краевых
задач . Во всех известных работах этот вопрос связывался с ограничением на форму границы области в ее эллиптической части . В работе Ю.М. Березанского без такого ограничения , доказано существование слабых решений из L2(Q) "для краевой задачи Трикоми , но его единственность и совпадение с сильным решением доказаны не были . В работе Н.Г.Сорокиной [19] методами развитыми О.К.Фридрихсом , П.Лаксом , Р.Филлипсом для уравнения Чаплыгина доказано совпадение слабого и сильного решений задачи Трикоми при некоторых ограничениях на границу эллиптической части области.
В работах Т.Ш.Кальменова и А.Б.Базарбекова [27,28] был получен критерий сильной разрешимости Lp(Q.) для уравнения Лаврентьева-Бицадзе
Lu=-sgnyuss-uyy=f(x,y) (1)
в случае когда эллиптическая часть области ограничена дугой окружности:
Критерий сформулирован в терминах угла подхода а кривой ст8 к отрезку АВ в точке А.
Далее , в работе Т. Ш. Кальменова , М. А. Садыбекова, Н.Е. Ержанова [29] задача Трикоми исследована для случая произвольных контуров а. Ими доказан критерий сильной разрешимости задачи Трикоми в L: ъ терминах углов а и р подхода кривой а к отрезку АВ в точках А к В соответственно. Причем, углы- а и р по разному влияют на сильную разрешимость задачи.
Затем , в работе М.А.Садыбекова , Н.С.Калиева [36] была исследована краевая задача со смешением для уравнения Лаврентьева-Бицадзе (1) для случая произвольных контуров а.Ими доказан критерий сильной разрешимое-
ти выше указанной задачи в L2. При этом сильная разрешимость зависит не только от углов подхода кривой к отрезку АВ , но и от значений коэффициента а(х) в краевом условий в точках А или В .
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Исследование сильной разрешимости в Lp(Cl) задачи-
Трикоми и краевой задачи со смещением для уравнения Лаврентьева-Бицадзе (1) в случае .когда эллиптическая часть области ограничена произволвной гладкой кривой .
ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ основана на классическом интегральном представлении решения , методе сингулярных интегральных уравнений с применением элементов теории конформных отображений и методов функционального анализа.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА . В работе получены следующие новые результаты:
1. Доказан критерий сильной разрешимости в Lp задачи Трикоми для
уравнения Лаврентьева-Бицадзе (1) . При этом сильная разрешимость зависит от углов подхода кривой а к отрезку АВ .
-
Получена априорная оценка решения задачи Трикоми для уравнения (1) в норме Wp(il) через норму в Lp(Cl) правой части уравнения .
-
Доказан критерий сильной разрешимости в Lp краевой задачи со
смещением для уравнения Лаврентьева-Бицадзе (1). Сильная разрешимость в данном случае зависит от углов подхода auaa,f)<.f)t кривой сг к отрезку АВ и от значений коэффициента а(х) из краевого условия в точках А или В .
4. Получена априорная оценка решения краевой задачи со смещением для
уравнения (1) в норме весовых пространств типа С.Л.Соболева через норму
L (D.) правой части уравнения , при а <а0 ,/?0-в норме W*(l) через
норму в Lp (СІ) правой части уравнения .
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ . Результаты работы представляют теоретический интерес . Они могут быть использованы в теории краевых задач для широкого класса дифференциальных уравнений в частных производных , для дальнейшей разработки спектральной теории краевых задач уравнений смешанного типа , а также при изучении математических вопросов газовой динамики , теории распространения волн , теории бесконечно малых изгибаний поверхностей .
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты диссертации и отдельные её части докладывались на 1 съезде математиков РК, на семинаре, руководимом член- корр. АН Руз, д.ф.-м.н., профессором М.С. Салахитдиновым, на семинаре, руководимом член- корр. АН РК, д.ф.-м.н., профессором Н.К.Блиевым, на семинаре, руководимом член- корр. АН РК, д.ф.-м.н., профессором М.О. Отелбаевым, на семинаре, руководимыми член- корр. АН РК, д.ф.-м.н., профессором Кальменовым Т.Ш. и д.ф.-м.н., профессором P.O. Ойнаровым, на семинаре, руководимыми член- корр. АН РК, д.ф.-м.н., профессором С.Н. Харнным и д.ф.-м.н., профессором М.А. Абдрахмановым, на семинаре, руководимыми д.ф.-м.н., профессором СИ. Темирбулатовым и д.ф.-м.н., профессором Алдашевым С.А.
ПУБЛИКАЦИИ . Основные результаты диссертации опубликованы в
работах [1-5].
СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ . Диссертационная работа состоит из
Похожие диссертации на Критерий сильной разрешимости задачиТрикоми и краевой задачи са смещениемдля уравнения Лаврентьева -Бицадзе впространствах Lp
