Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Линейная задача об источнике 30
1. Постановка задачи. Описание результатов 30
2. Вспомогательные утверждения 33
3. Вывод операторного уравнения. Фредгольмовость задачи 42
4. Корректность обратной задачи 44
5. Достаточные условия единственности 48
6. Описание ядра обратной задачи 55
7. Полнота и базисность систем функций 59
ГЛАВА 2. Спектральные методы 73
8. Постановка задачи и результаты для диагонализуемого оператора 74
9. Доказательство основных результатов 77
10. Базисы квадратично близкие к ОНБ 80
11. Полнота и базисность как следствие корректности 84
12. Оператор с базисом из собственных и присоединённых векторов 85
13. О спектре эллиптического оператора 103
14. Примеры для параболических и эллиптических обратных задач 110
ГЛАВА 3. Задачи восстановления коэффициентов уравнения 124
15. Восстановление коэффициента при и 124
16. Восстановление коэффициента при их 140
17. Восстановление коэффициента при щ (модельный случай) 154
18. Восстановление коэффициента при Ut (общий оператор) 174
ГЛАВА 4. Граничные обратные задачи 195
19. Постановка задач и результаты по восстановлению f(x) и сг(ж). 195
20. Исследование задач восстановления f(x) и сг(х) 199
21. Постановка задач и результаты по восстановлению f(t) и cr(t) 208
22. Исследование задач восстановления f(t) и cr(t) 212
Заключение 223
Список литературы
- Вывод операторного уравнения. Фредгольмовость задачи
- Доказательство основных результатов
- Восстановление коэффициента при их
- Исследование задач восстановления f(x) и сг(х)
Вывод операторного уравнения. Фредгольмовость задачи
Условия этих теорем не содержат ограничений на нормы заданных функций, а имеют вид достаточно легко проверяемых, односторонних неравенств типа положительности и монотонности. В теоремах (0.10), (0.12) для искомого коэффициента с(х) выписывается оценка снизу, а для функции u(x,t) устанавливаются свойства дополнительной гладкости. Метод доказательства основан на теории монотонных операторов и использует качественные свойства обобщённых решений параболических уравнений.
При выполнении условий теорем (0.10) или (0.12) предложен итерационный процесс нахождения решения с(х), обоснована его сходимость (см. следствие 15.1 на стр. 134), что может быть полезно с точки зрения приложений. Теорема 28 на стр. 136 является обобщением теоремы (0.12) на ситуацию, когда решение задачи ищется в классе и Є Wp 1(Q), с Є Lp(Q), с(х) М в Q при фиксированной константе М.
В конце параграфа 15 приведён ряд примеров показывающих, что класс данных задачи для которого выполнены условия доказанных теорем достаточно широк. Кроме того, приведён пример обратной коэффициентной задачи, имеющей неединственное решение (см. примеры 15.1-15.3 на стр. 138-139). Все эти примеры являются новыми, ранее не встречались даже в случае финального наблюдения.
Относительно функции граничных данных Ф(ж,і), как и выше, будем пред-полагать, что она задана во всем цилиндре Q и принадлежит W l{Q) при некотором, фиксированном далее р п-\-1. Тогда по теореме вложения (см., например, [136, лемма 3.3] с р п + 1 п/2 + 1) пространство Wp l(Q) С CX X 2(Q). В случае р = п + 1, можно выбрать Л = п/(п + 1) Є (0,1). Итак, считаем, что
Рассмотрим матрицу Н(х) = (hij(x)) с элементами hij(x) = dxi(x)/dxj, т.е. матрицу г-ой строчкой которой является вектор \?Хг(х). В силу условия (-В.З) все элементы матрицы Н{х) ограничены. В пространстве столбцов Е := (Ьоо(П)) введём оператор Ті : Е — Е по правилу 7Y6 := Н(х)Ь(х), который определён на всем Е, линеен и ограничен, т.е. Ті Є (Е). Его норма вычисляется через элементы матрицы Н(х). Наложим ещё условие на х(х):
Предположим, что существует 7і 1 Є (Е), т.е. для каждого ж Є П (С.З) существует матрица Н 1(х) с ограниченными элементами; при этом 7і_1 = К н оо. При выполнении этих условий решение задачи ищется в классе функций и Є Wp 1(Q), b Є (Loo(n)j с показателем р п + 1. Основные результаты 16 содержатся в теоремах 29-31 (см. стр. 144-145) и дают достаточные условия существования и единственности решения. Приведём один из доказанных результатов.
Доказательство существования решения использует принцип Шаудера, а единственность — метод сжимающих отображений. Часть условий отмеченных теорем не относится к разряду легко проверяемых, поэтому ключевую роль играет построение примеров обратных задач, для которых можно гарантиро-вать выполнение условий этих теорем. Этому вопросу посвящён пункт 16.5 (см. стр. 149-153), где показано, что при п = 2 для некоторого класса задач в круге условия теорем выполнены при достаточно малом диаметре этого круга.
Результаты параграфа 16 опубликованы в [82]. Автору неизвестны другие работы с результатами по коэффициентным обратным задачам в близкой постановке в многомерном случае.
Параграфы 17 и 18 посвящены задаче восстановления коэффициента перед щ. В 17 рассматривается модельная обратная задача для уравнения теплопроводности, состоящая в нахождении пары функций {u(x,t);r(x)} из условий:
Здесь функции g, щ, /3, [і, х заданы, А — оператор Лапласа. При выполнении соответствующих условий гладкости и согласования, решение этой задачи ищется в классе функций и Є Wp 1(Q) (р п + 1), г Є L00(Q), r(x) 0 в П. Такое модельное уравнение позволяет достаточно полно проанализировать схему исследования и получить наиболее простые условия разрешимости задачи в этом, важном для приложений, частном случае.
Задача определения коэффициента перед щ в параболическом уравнении по условию финального наблюдения изучалась в работах [70], [317]. Решение рассматривалось в классах Гёльдера, что исключало возможность разрывных коэффициентов. В работах [182], [183] автором проведено исследование подобной коэффициентной обратной задачи в классах С. Л. Соболева, причём сразу для финального и интегрального наблюдения. В диссертации отдельно рассмотрен случай интегрального наблюдения для гладкой весовой функции uj(t), который ранее не изучался. Для него удалось установить теорему об однозначной разрешимости обратной задачи при более слабых ограничениях на заданные функции. Дадим формулировку основного результата для задачи с интегральным наблюдением, предположив, что выполнены следующие условия гладкости и согласования
Задача определения коэффициента r(x) перед щ в нестационарном параболическом уравнении (0.45) ранее не изучалась даже для частных случаев фи-нального и интегрального наблюдений. В связи с этим все дальнейшие ссылки относятся к стационарным параболическим уравнениям. Задача с финальным наблюдением в пространствах Гёльдера рассматривалась в работах [70], [317], где требуемая гладкость решения исключала возможность разрывных коэффициентов. В работах [182], [183] автором подобная коэффициентная обратная задача изучалась в пространствах С. Л. Соболева, причём сразу для финального и интегрального наблюдения. В параграфе 18 результаты работ [182], [183] усиливаются и развиваются для случая нестационарного уравнения (0.45), общих краевых условий и более общего переопределения (0.47), предложен и обоснован итерационный метод нахождения коэффициента г(х) в классе ограниченных функций. Отдельно рассмотрен случай интегрального наблюдения с гладкой весовой функцией о; (і), для которого приведём здесь основной результат.
Доказательство основных результатов
Обратная задача (8.1), (8.2) (для «стационарного» оператора А) достаточно хорошо изучена как в абстрактном виде, так и для конкретных уравнений (см. [184], [194], [189], [175], [312]). Для неё получен ряд достаточных условий единственности (корректности), некоторые из которых мы здесь приведём и как следствие получим полноту (базисность) соответствующих систем элементов.
В этом параграфе будем предполагать, что Н - полуупорядоченное гильбертово пространство с конусом Н+, условие х Є Н+ будем, как обычно, записывать х 0, а соотношение х у означает что у — х Є Н+. Относительно конуса Н+ предполагается, что он воспроизводящий, то есть замыкание множества конечных линейных комбинаций элементов Н+ совпадает с Н. Оператор В такой, что ВН+ С Н+ будем обозначать В 0. Напомним, что элементы /і, /г Є Н называются дизъюнктными, если inf{/i, /г} = 0, здесь / = sup {/, — /}.
Будем говорить, следуя [194], что оператор функция Ф() сохраняет дизъ-юнктность, если для любых /і, /2 – дизъюнктных элементов Н и для любого t Є [0, Т] элементы Ф(і)/і и Ф()/2 дизъюнктны. В работе [194] доказана следующая теорема единственности для обратной задачи (8.1), (8.2). Теорема (Прилепко-Тихонова, см. [194]). Предположим, что Со - полугруппа S(t), порождённая оператором (—А), удовлетворяет условию S(t) 0 при t 0, а спектр оператора (—А) лежит в полуплоскости Re Л 0. Пусть Ф() сохраняет дизъюнктность на [0, Т], причем Ф() 0, Ф () 0 при 0 t Т, а КегФ(Т) = {0}. Тогда решение обратной задачи (8.1), (8.2) единственно.
В качестве следствия из этой теоремы и доказанной выше теоремы 11, стр. 76 получим такой результат. Теорема (Прилепко-Костина, см. [188]). Пусть оператор (—А) является генератором компактной при t 0 Co-полугруппы S(t), Ф Є С1 ([0,Т]; ,(Н)), Ф(Т)-1 є (Н). Кроме того пусть ш{—А) 0, S(t) 0, Ф()Ф(Т)_1 0, Ф ()Ф(Т)-1 0 при t Є [0,Т]. Тогда для любого х Е D(A) существует единственное решение обратной задачи (8.1), (8.2) и справедлива оценка устойчивости: max Au + f C-AY, [о, її то есть обратная задача (8.1), (8.2) - корректна. В качестве следствия из этой теоремы (см. также теорему 3 работы [104]) и доказанной выше теоремы 14 получим такой результат Теорема 17. Пусть выполнены условия предыдущей теоремы. Тогда система {фк} – базис Рисса в Н.
Замечание 11.1. Результаты, изложенные в этой части диссертации, были получены автором вначале для параболических уравнений (см. [184], [100], [104]). Схема исследования без изменений оказалась применима в случае обратной задачи для абстрактного уравнения, что здесь и проделано. Чуть позже А. И. Прилепко предложил другое доказательство теоремы 14, оно опиралось на сведение обратной задачи к операторному уравнению второго рода.
Замечание 11.2. Результаты параграфа 11 используют теорему Прилепко-Тихонова из работы [194], а также статью [188]. В последней работе А. И. Прилепко принадлежит постановка задачи. Результат из работы [194] взят для иллюстрации полученного критерия единственности (теоремы 11).
Здесь мы развиваем результаты 8-11, где рассматривался случай оператора с ортонормированным базисом из собственных векторов. Полученные в 8-11 результаты дают критерии полноты и базисности соответствующих систем элементов в терминах обратной задачи об источнике. Вместе с тем, в стороне остался вопрос о полноте и базисности такого вида систем в случае, когда оператор (например, эллиптический с соответствующими краевыми условиями) не является самосопряжённым. Результаты работ (Келдыш, Browder, Agmon, Крейн, Лидский, Ильин, Маркус, Агранович) дают достаточные условия полноты и базисности систем собственных и присоединённых функций для несамосопряжённых дифференциальных операторов. Эти результаты дают возможность изучить в таком случае связь вопросов единственности решения обратной задачи и её корректности с полнотой и базисностью соответствующих систем функций. Так же как в 8-11, для простоты изложения ограничимся задачей с финальным наблюдением. Как следствие из имеющихся результатов по корректности обратной задачи получена базисность со скобками таких систем. Отметим, что ситуация в несамосопряжённом случае более разнообразна и интересна даже для конечномерного пространства. Соответствующие примеры даны ниже. При изложении понадобятся некоторые известные факты и определения из теории операторов, они взяты из курса лекций М. С. Аграновича, прочитанных в НМУ в 2004/2005 учебном году (эти лекции пока не опубликованы, но выложены Михаилом Семёновичем на его страничке в интернете http://www.agranovich.nm.ru).
Пусть Н - сепарабельное (комплексное) гильбертово пространство, А - линейный замкнутый оператор с областью определения D(A), плотной в Н, резольвентное множество которого р(А) /0и пусть для удобства О Є р(А), т. е. ЗА-1 Є (Н). Данное условие не является ограничением общности, поскольку всегда достижимо экспоненциальной заменой в задаче (12.1), (12.2). Предположим, что оператор А имеет компактную резольвенту, т.е. спектр оператора А — дискретен, обозначим {А } С С — его собственные значения, множество {А } не имеет конечных предельных точек. Как обычно, если А — собственное значение А, то Кет(А — XI) — собственное подпространство, а N(A — XI) — корневое подпространство оператора А. В наших предположениях все корневые подпространства конечномерные, поэтому все жордановы цепочки имеют конечную длину. Величины dimKer(A — XI) и dimN(A — XI) называют геометрической и алгебраической кратностью собственного значения А соответственно. Отметим также, что Кет(А — XI) С N(A — XI) и Кет(А — XI), N(A — XI) — инвариантные подпространства для А — ці при любом ц Є С. Аналогичные свойства справедливы для множеств Кет(А — XI) и N(A — XI), причём это инвариантные подпространства для А — р,1.
Введём в рассмотрение систему элементов Н, полнота и базисность которой тесно связана с обратной задачей (12.1), (12.2). Для построения этой системы фиксируем Л — собственное значение оператора А . По предположению, сделанному выше, подпространство N(A — XI) — конечномерное и инвариантное, поэтому сужение А на N(A — XI) есть конечномерный оператор. По теореме Жордана в N(A — XI) можно построить базис, состоящий из жордановых цепочек. Рассмотрим одну из таких цепочек, т.е. собственный вектор е и к нему присоединённые е1, е2, ... , ег. По определению имеем равенства
Обозначим е(Л) базис Жордана корневого подпространства N(A — XI), полученный объединением соответствующих жордановых цепочек, занумеруем эти векторы, введём систему
В этих обозначениях считаем, что собственные значения занумерованы в порядке неубывания модулей, без учёта их кратностей, а все собственные векторы нормированы, т.е. 0 Лі Лг ... Лга ..., е = 1. В дальнейшем мы также будем считать, что все векторы системы (12.3) занумерованы одним натуральным параметром в порядке неубывания Л последовательно в каждом из корневых подпространств. Обозначим (х,у) скалярное произведение элементов х, у Є Н, фиксируем произвольный / Є Н и для решения задачи (12.1) и = u{t] /) запишем тождества:
Восстановление коэффициента при их
Данное уравнение имеет корни А = 0иА = А = 2,1491258, других действительных корней нет. Подставив в (15.61), получим два решения обратной задачи (15.58)–(15.60). Эти же функции дают пример неединственности решения для П = Шп.
Замечание 15.5. В работах [182], [183] совместных с А. И. Прилепко, ему принадлежит постановка задачи, результаты этих работ получены автором самостоятельно. В совместной с В. Л. Камыниным работе [79] рассматривались две разные задачи, объединённые условием интегрального наблюдения. Результаты по обратной задаче восстановления старшего коэффициента а(х) получены В. Л. Камыниным (они не включены в диссертацию), а результаты по младшему коэффициенту с(х) принадлежат автору. Отметим ещё работу [81] где рассматривались параболические уравнения с негладкими коэффициентами, удовлетворяющие условию Кордеса, применялись тонкие результаты о гёльдеровости их решений и принцип Шаудера.
В данном параграфе изучается задача определения вектор-функции Ъ{х) = (Ь\(х),... , Ьп(х)), входящей в слагаемое (6(X),VM) линейного параболического уравнения - это цилиндр, в основании которого лежит ограниченная область П С Ш.п. Для нахождения функции u(x,t) и неизвестного векторного коэффициента Ь(х), помимо начального и граничного условий, зада-ётся интегральное наблюдение или переопределение вида u(xA)uj(t) at = заданные вектор-функции. Автору неизвестны работы по коэффициентным обратным задачам в близкой постановке в многомерном случае, кроме совместной с В. Л. Камыниным работы [82]. В одномерном же случае (п = 1) отмечу работу [80], где рассматривалась задача с интегральным переопределением и были доказаны теоремы существования и единственности решения. Отмечу ещё работу [224], где рассматривалась задача определения скалярной функции f(x) в слагаемом f(x)h(x,t,u,ux), входящем в квазилинейное параболическое уравнение. Коэф-фициенты этого уравнения считались гладкими и не зависящими от t функциями, а в качестве дополнительной информации задавалось условие финального наблюдения
При этом условия, наложенные в работе [224], исключали случай линейного параболического уравнения даже при п = 1, а функция f(x) искалась в классе Ca(Q). Здесь же рассматривается обратная задача с интегральным переопределением для линейного параболического уравнения второго порядка, причём коэффициенты перед Ut(x,t) и u(x,t) могут зависеть от х и t. Для такой задачи доказаны достаточные условия разрешимости и единственности обобщённого решения, при этом вектор-функция Ь(х) ищется в классе ограниченных функций. Доказательство существования решения проводится с применением принципа Шаудера, а единственность доказывается методом сжимающих отображений. Наше доказательство отличается от данного в работе [80], поэтому даже в одномерном случае даёт другой результат.
Рассматриваемые в этом параграфе пространства функций Wp 1(Q), W (Q), Wp(0,T), LP(Q) с соответствующими нормами при 1 р оо понимаются в общепринятом смысле, все равенства и неравенства понимаются почти всюду, а все производные - как обобщённые по С.Л. Соболеву (см., например, [136]). В тексте этого параграфа используется полужирный шрифт для обозначения столбцов из функций, например, Ъ{х) = (Ь\(х),... , Ъп{х))т, а кроме того обозначим Е := L00(H) с нормой Ье = Ьоо,п и Е := Еп - пространство столбцов с нормой Ь Е = піах{Ьіе г = 1,... , п}. Аналогичные обозначения применяются для столбцов функций из других функциональных пространств, например, Wp(Q) - пространство столбцов функций из Wp(Q) с соответствующей нормой
Для функции u{x,t), как оовгчно, про-странственный градиент обозначаем Vw = (иХ1,... ,иХп) и тогда можем запи-сать тождество (6(X),VM) = У "-і bj(x)uXi = (Vu)b(x), используя стандартные матричные обозначения. Норму в пространстве C(G), непрерывных на компакте G функций, будем обозначать G (так называемая sup - норма). В оценках пункта 16.5 будем использовать, следуя [136], такие обозначения для норм про-изводных
Для пространства функций u(x,t) непрерывных в Q и удовлетворяющих там условию Гёльдера по ж с показателем а Є (0,1) и по t с показателем а/2 ис-пользуем обозначение Ca a 2(Q). Норму в этом пространстве обозначим, следуя [136, 1], так (и)п := {и) "п + (u)iQ + \\U\\Q Постановка задачи и формулировка результатов. Пусть П С Ш.п - ограниченная область с границей 8Q Є С2. В цилиндре Q = П х (0, Т) с боковой поверхностью S = дП х [0, Т] и параболической границей Г := S U {(х,0)\х Є Q} рассматривается задача нахождения пары функций {u(x,t);b(x)}, удовлетворяющих условиям:
Исследование задач восстановления f(x) и сг(х)
В силу единственности решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа 1(и)(х) = х(х) в П и пара {м;0} - решение обратной задачи, причём по теореме 33 это решение единственно. Аналогичное рассуждение можно провести и для теоремы 34 при 70 А.
Замечание 17.5. Из условий А[1(и) — х] Ов О и 1(и)(х) = х(х) на , присутствующих в теоремах 33 и 34 следует неравенство х(х) 1(и)(х) в Q. Выполнение же последнего неравенства, при таких данных обратной задачи, является необходимым условием её разрешимости. В самом деле, если предпо-ложить, что решение задачи (17.3)–(17.5) существует, то с некоторым г Є Е+ выполнено равенство 1(иг)(х) = х(х) в . Вместе с тем, по лемме 17.1 имеем неравенство 1(иг) 1(и) в Q. Таким образом, в предположениях теорем 33 и 34, неравенство А[1(и) — х] 0 в П не может быть заменено на противоположное.
Замечание 17.6. Теорема 33 относится к случаю интегрального наблюдения с гладкой весовой функцией ui(t) и это по существу используется при её доказа-тельстве. Случай интегрального наблюдения с абсолютно непрерывной мерой ц (т.е. при dfi(t) = ui(t) dt), но при этом с негладкой функцией ui(t) содержится в теореме 34. Отметим, что для функции и Є L/2(0,T) коэффициентная обратная задача в близкой постановке рассматривалась в работах [182], [183]. В этих работах А. И. Прилепко принадлежит постановка задачи и общая схема исследования, а все её результаты доказаны автором. В уже упоминавшейся работе [79], восстанавливался коэффициент а(х) перед Аи в случае интегрального наблюдения. Отметим, что рассматриваемая в 17 задача к такому случаю не сводится.
Коэффициентные обратные задачи для параболических уравнений являются предметом изучения во многих работах (см., например, [277]-[283], [20], [70], [190], [312], [182], [183], [317], [193]), интерес к ним не ослабевает ([94], [79], [80], [81]). Коэффициенты параболического уравнения определяются свойствами среды, в которой рассматривается процесс, а при моделировании эти свойства часто оказываются неизвестными наряду с самим решением. Кроме того, такие задачи допускают трактовку, как своеобразные задачи управления (см. [180]). Эти обстоятельства, по-видимому, и являются основной причиной интереса к обратным коэффициентным задачам. С общими методами решения обратных задач возникающих в математической физике и обзором литерату-ры можно ознакомиться, например, по монографиям [209], [49], [332], [317]. В данном параграфе ищется коэффициент г(х) 0, входящий в параболическое уравнение в котором функции p(x,t) po 0, d(x,t), g(x,t) - заданы, po фиксированная постоянная, а стационарный оператор Lo вида
Коэффициенты оператора L0 известные, действительнозначные, достаточно гладкие функции. Уравнение рассматривается в цилиндре Q = П х (0,Т), П -ограниченная область Шп (п 1) с границей дП, х = (хі,... ,хп).
Для нахождения пары функций u(x,t) и г(х) из уравнения (18.1), помимо начального условия и соответствующих условий на боковой поверхности S = дП х [0, Т] (данных прямой задачи), задаётся условие нелокального наблюдения (или переопределения) следующего вида где fi(t) и х(х) – известные функции. Условие наблюдения (18.3) было предложено в работе [192] для линейной обратной задачи и имеет, вообще говоря, нелокальный по переменной t характер. Такое условие включает в себя, как частный случай, финальное наблюдение
Задача определения коэффициента г(х) перед щ в нестационарном параболическом уравнении (18.1) ранее не изучалась даже для частных случаев финального и интегрального наблюдений. В работе [79] восстанавливался коэффициент перед Ам в случае интегрального наблюдения, допускалась зависимость от t младших коэффициентов уравнения. Отметим, что рассматриваемая нами задача к случаю работы [79] не сводится. В связи с этим все дальнейшие ссылки относятся к стационарным параболическим уравнениям. Задача с финальным наблюдением в пространствах Гёльдера рассматривалась в работах [70], [317], где требуемая гладкость решения исключала возможность разрывных коэффициентов. В работах [182], [183] подобная коэффициентная обратная задача изучалась в пространствах С. Л. Соболева, причём сразу для финального и интегрального наблюдения. В настоящей работе результаты работ [182], [183] усиливаются и развиваются на случай нестационарного уравнения (18.1) и более общего переопределения (18.3), предложен и обоснован итерационный метод нахождения коэффициента г(х) в классе ограниченных функций. Отдельно рассмотрен случай интегрального наблюдения с гладкой весовой функцией ui{t). Это позволило получить теорему об однозначной разрешимости обратной задачи при более слабых ограничениях на заданные функции.
Обратная задача восстановления коэффициента г(х) с переопределением (18.3), в котором функция ціі) имеет ограниченную вариацию на [0, Т], ранее не исследовалась. Отметим также, что даже в случае финального и интегрального наблюдений и стационарного параболического уравнения, теоремы 36 и 37 дают новые, по сравнению с работами [182]–[317], условия однозначной разрешимости обратной задачи. В частности, рассмотрены более общие краевые условия, снято требование нулевых начальных данных, присутствующее в [182]–[317], найдена явная оценка искомого коэффициента. Доказательство основных теорем использует качественные свойства обобщённых решений параболических уравнений и метод монотонных операторов.
Параграф состоит из шести пунктов. В 18.2 приведены точные постановки исследуемых задач и сформулированы основные результаты работы, а в пунктах 18.4, 18.5 даны их доказательства. В 18.3 для удобства ссылок собраны некоторые вспомогательные утверждения. Пункт 18.6 посвящён примерам и заключительным замечаниям.