Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Локальные гамильтонианы в квантовом методе обратной задачи 8
I. Интегрируемые квантовые модели на решетке 8
2. Локальные решеточные квантовые гамильтонианы 16
3. ХХХ~модель произвольного спина и модель решеточный нелинейный Шредингер 35
Глава 2. Неприводимые матрицы монодромии с двумерным вспомогательным пространством 53
I. Матрицы монодромии конечной степени 53
2. Неприводимые матрицы монодромии для R, -матрицы XX*Z -модели 70
3. Матрицы монодромии для R -матрицы XXX -модели 86
Глава 3. Локальные гамильтонианы для моделей с неприводимыми матрицами монодромии 91
I. Теоремы существования локальных гаїлильтонианов. 91
2. Спектр локальных гаїлильтонианов 103
3. Модель решеточный синус-Гордон ИЗ '
Заключение 122
- Локальные решеточные квантовые гамильтонианы
- ХХХ~модель произвольного спина и модель решеточный нелинейный Шредингер
- Неприводимые матрицы монодромии для R, -матрицы XX*Z -модели
- Спектр локальных гаїлильтонианов
Введение к работе
Интегрируемые квантовые модели занимают видное место в современной математической физике. Они. проявляют многочисленные привлекательные физические свойства, и в то же время связаны с интересными математическими структурами. Предложенный в работах [і - 4](см. также обзоры [5 - 8]) квантовый метод обратной задачи является наиболее мощным средством исследования интегрируемых квантовых моделей. В его основе лежит переход от исходных операторов к зависящим от комплексного спектрального параметра матрице монодромии или данным рассеяния вспомогательной линейной задачи, в терминах которых интегрируемость модели выражается в существовании R -матрицы, задающей коммутационные соотношения матричных элементов матрицы монодромии. С помощью квантового метода обратной задачи было осуществлено динамическое вычисление спектра масс и матриц рассеяния ряда теоретико-полевых моделей. Важную роль в формулировке метода сыграли квантовое нелинейное уравнение Шредингера [і, 3] , квантовая модель sme-Goxdon ^2] , а также XYZ -модель Гейзенберга спина 1/2 [4] и ее более простой изотропный вариант XXX -модель [э] .
Особое место в формализме метода занимают модели на одномерной решетке. Такие модели естественно возникают при квантовании классических систем, скобки Пуассона которых связаны с компактными алгебрами Ли. С другой стороны, решеточные модели играют роль ультрафиолетовых регуляризации непрерывных моделей. Именно с этой целью в [iO - I3J были предложены интегрируемые модели решеточный нелинейный Шредингер и решеточный синус-Гордон. Они характе- ризуются тем, что сохраняют классическую и квантовую R. -матрицы соответствующей непрерывной модели. Кроме того, в классическом случае данные рассеяния непрерывной и решеточной моделей совпадают. Поэтому такие решеточные модели являются наиболее естественной ультрафиолетовой регуляризацией интегрируемых непрерывных моделейГ14].
Однако в квантовом методе обратной задачи еще имеется ряд нерешенных технически важных вопросов. До недавнего времени к ним относилась задача о построении квантовых гамильтонианов в терминах матрицы монодромии - квантовые тождества следов. Для нелинейного уравнения Шредингера такое построение осуществляется с помощью нормального упорядочения [з, 15] , однако к более сложным моделям этот способ уже не применим. В общем случае, чтобы не тлеть дело с ультрафиолетовыми расходимостями, эту задачу следует формулировать для решеточных моделей. При этом естественно возникает требование локальности - непосредственно взаимодействуют только несколько ближайших соседей.
В работах [і2, із] был предложен регулярный способ получения локальных гамильтонианов в классическом случае. Однако в квантовом случае он приводит, вообще говоря, лишь к квазилокальным гамильтонианам - непосредственно взаимодействуют все соседи с интенсивностью экспоненциально убывающей с расстоянием между ними. В некоторых случаях, используя специфику модели, этим методом " удается построить локальные гамильтонианы. Например, так обстоит дело для некоторой модификации модели решеточный нелинейный Шре-дингер, - в ней существует гамильтониан, описывающий непосредственное взаимодействие 8 ближайших соседей [12, із] .
В этой связи в работах [іб, 17] был предложен общий способ построения локальных гамильтонианов для интегрируемых квантовых моделей на решетке, который обобщал известное из литературы [8, 18, 19] построение локальных гамильтонианов в спиновых моделях с конечномерным квантовым пространством, основанное на симметрическом умножении R, -матриц - процедуре размножения. В случае моделей с двутлерным вспомогательным пространством существует способ вычисления собственных векторов и спектра следа матрицы мо-нодромии, который получил название алгебраического анзатца Бете. В работах [іб, I?] было показано, что так вычисленные собственные векторы следа матрицы монодромии являются собственными векторами построенных локальных гамильтонианов и были вычислены соответствующие собственные значения первого из них.
Большой интерес представляет также описание всех возможных матриц монодромии, поскольку это открывает путь для полной классификации интегрируемых квантовых моделей на решетке. Отметим две стороны в решении этой задачи: во-первых, построение всех возможных R, -матриц,и, во-вторых, описание всех матриц монодромии для заданной R,-матрицы. В настоящее время наиболее активно разрабатывается первое направление (см., например, обзор [20] ). Второе направление также заслуживает внимания. Возможный подход в простейшем случае матриц монодромии с двумерным вспомогательным пространством, допускающих алгебраический анзатц Бете, был предложен в работе [_2l] . Этот подход развивался автором в работах [22, 23] ', где в том же случае матриц монодромии с двутлерным вспомогательным пространством был полностью описан естественный класс неприводимых матриц монодромии конечной степени, которыми, по-видимому, исчерпываются все матрицы монодромии, допускающие алгебраический анзатц Бете.
Модели с неприводимыми матрицами монодромии конечной степени выделены и с физической точки зрения; они описывают квантовые системы с конечным числом степеней свободы, которые не распадаются на невзаимодействующие части. Как было показано в работе [23 ] , такие модели дают пример широкого класса моделей, к которым полностью применим предложенный в [l6, I7J способ построения локальных гамильтонианов, причем можно вычислить спектр всех локальных гамильтонианов. В частности, к таким моделям относятся УXX и XXZ -модели произвольного спина, модели решеточный нелинейный Шредингер и решеточный синус-Гордон.
Перейдем к изложению результатов диссертационной работы.
Первая глава посвящена общему способу построения локальных гамильтонианов для интегрируемых решеточных квантовых моделей. В 1.1 приведены необходимые общие сведения из квантового метода обратной задачи. В 1.2 излагается общая конструкция для построения локальных гамильтонианов и методом алгебраического анзат-ца Бете вычислены собственные векторы и собственные значения первых двух локальных гамильтонианов. В 1.3 рассмотренная общая схема иллюстрируется на примере трех конкретных моделей: ХХХ~М-дели спина s> ^ ~ , модели решеточный нелинейный Шредингер и модели типа решеточного нелинейного Шредингера, взаимодействующей со спиновыми примесями.
Во второй главе изучаются матрицы монодромии с двумерным вспомогательным пространством, к которым применим алгебраический анзатц Бете. Как известно, такие матрицы монодромии существуют только для R,-матриц УXX и )()(2-моделей. В обоих случаях результаты весьма близки; в работе подробно рассматривается случай R, -матрицы XXZ -модели. В 2.1 получен общий вид матрицы монодромии конечной степени. В 2.2 описаны все неприводимые матрицы монодромии конечной степени и показано, что они представляются в виде произведения неприводимых матриц монодромии степени один. Сводка результатов о матрицах монодромии в случае -матрицы XXX -модели приведена в 2.3.
В третьей главе установлена применимость общей схемы построения локальных гамильтонианов, к моделям с неприводимыми матрицами монодромии. В 3.1 получены теоремы существования для локальных гамильтонианов. Их спектр вычисляется в 3.2.В 3.3 с помощью доказанных результатов о неприводимых матрицах монодромии рассмотрена модель решеточный синус-Гордон.
Приложения 1-3 относятся к первой главе и содержат дополнительные сведения из квантового метода обратной задачи. В Приложениях 4, 5 обсуждаются некоторые дополнения к 2.1.
В диссертации принята двойная нумерация формул, определений и утверждений, отдельная в каждой главе. При ссылках за пределы текущей главы используется тройная нумерация, причем первое число обозначает номер главы.
Локальные решеточные квантовые гамильтонианы
Мы уже отмечали, что след матрицы монодромии "ЬгТ С ") можно рассматривать как производящий функционал для квантовых интегралов движения модели. Однако как и в классическом случае, оператор -КИ С нелокально зависит от исходных переменных +Ї t что делает неестественным его выбор в качестве гамильтониана модели. Поэтому особый интерес представляет задача о построении операторов, локально зависящих от переменных J . и кошару-гащих со следом матрицы монодромии. Такие операторы мы назовем локальными интегралами движения или локальными гамильтонианами. Будем говорить, что лекальный гамильтониан 1 описывает непосредственное взаимодействие к ближайших соседей, если его можно представить в виде где оператор 1 отличен от единичного только в пространстве В этом разделе мы предложим способ построения локальных интегралов движения для моделей, которые близки к однородным моделям. В случае двуглерного вспомогательного пространства мы найдем спектр и собственные векторы двух простейших интегралов. Для остальных построенных локальных интегралов мы выскажем естественную гипотезу, справедливость которой не вызывает никаких сомнений. Требование, чтобы модель была близка к однородной, возникает также и в способе построения локальных гамильтонианов для классических моделей на решетке, предложенном в рабо - 17 тах [12, ІЗ] . По-видимому, оно является вполне естественным.
Наиболее просто задача о построении локальных интегралов движения решается в случае так называемых фундаментальных моделей. Опрщеленйе 2.1. Однородная модель называется фундаментальной, если а) вспомогательное и локальное квантовое пространства изо морфны Y=. ; б) существует специальное значение 0i= o , при котором L, (. 0 )= Р » гДе Р - оператор перестановки в пространстве Построение локальных интегралов движения для фундаментальной модели основано на следующем утверждении (см., например, обзор [8]). ТЕОРЕМА. 2.1. Операторы 1 к , определенные как 1 -0 Л Т , ± , (2 2) являются локальными гамильтонианами, описывающими непосредственное взаимодействие К + і ближайших соседей. Подчеркнем, что в силу коммутативности семейства Ь 1 () s операторы I к являются рациональными функциями следа матрицы монодромии и его производных при Х = X о . Используя известную формулу UP» і , «.з) - 18 где 1 - единичный оператор в пространстве } , нетрудно убедиться, что UN = T (2.4) В дальнейшем нам будет удобно включать в общую серию операторов X также и нелокальный интеграл движения \ Л , понимаемый исключительно в следующем смысле exp (-1 = 0tw . (2.5) Для частного случая XYZ -модели спина 1/2 теорема 2.1 бы ла сформулирована в работе [.25] ; данное там доказательство спра ведливо и в общем случае. Мы приведем его в Приложении 3. Для получения локальных интегралов движения в этом случае полезно рассмотреть аналог сплетающего соотношения (1.3), в котором квантовое и вспомогательное пространство меняются ролями. Предположим, что существует оператор IR ( 0 , действующий в пространстве \ % і со следующими свойствами: RCx4) - обратимый оператор, где р - оператор перестановки в пространстве первом уравнении мы отождествили пространства 2г! и J4 а и переобозначили ( ) через R OO . Будем также предполагать, что оператор \Ц (. 0 удовлетворяет уравнению Янга-Баксте - 20 pa которое почти является следствием уравнения (2.10). Отметим, что точным аналогом R, -матрицы R (А, является оператор РКС -м/") ,в терминах которого уравнение (2.10) полностью соответствует сплетающему соотношению (1.3), а уравнение (2.12) уравнению (1.4). Оператор R(V) позволяет регулярным образом сопоставить нефундаментальной модели некоторую фундаментальную модель. Роль локальной матрицы монодромии фундаментальной модели будет играть оператор R а {У), получающийся при отождествлении пространства 4 1 с I }п ... Пространство J будет играть роль вспомогательного пространства. Матрица монодромии определяется стандартным образом TNW= П R (2.13) и в силу (2.12) удовлетворяет сплетающему соотношению (1.5) с \1 -матрицей pifj (OV-K") . Тем самым операторы р (эо , где р обозначает след в пространстве j , образуют коммутативное семейство. При этом, если L(oO является при всех обратимым оператором в пространстве V (что ьсегда выполняется в конкретных моделях), то семейства операторов Н Т UV и SpT U") коммутируют, так что SP Т (ЭО яв - 21 ляется интегралом движения исходной модели.
ХХХ~модель произвольного спина и модель решеточный нелинейный Шредингер
Для иллюстрации общих построений предыдущего параграфа мы выберем три известные модели: XXX -модель спина s , модель решеточный нелинейный Шредингер (РНШ) и модель типа РНШ со спиновыми примесями. Последняя модель служит решеточной аппроксимацией квазиодномерной модели сверхизлучения Дикке, введенной в работе [26] . Наш выбор определяется, во-первых, простотой и изученностью R. -матрицы этих моделей, что позволяет написать явные выражения для операторов, фигурирующих в построении локальных интегралов движения; во-вторых, - желанием продемонстрировать эквивалентность модели РНШ и XXX -модели спина s , если разрешить s принимать произвольные вещественные, а не только положительные полуцелые значения.
Перейдем к рассмотрению XXX -модели. Эта модель связана с неприводимым представлением алгебры Ли sa(2) в пространстве (P2s+1 . Локальная матрица монодромии модели имеет вид где операторы спина - эрмитовы генераторы неприводимого представления su(2) в пространстве Я = С.
XXX -модель спина 1/2 является фундаментальной моделью. Ее локальная матрица монодромии непосредственно связана с R, -матрицей (3.2). А именно, если выбрать генераторы представления в пространстве С2, в стандартном виде 8 = g oa , где б -матрицы Паули, то R,( ,fO = L/ ( - +1 « (3.5) Локальная матрица їлонодромии спина S выражается через и С?Л с помощью симметрического произведения [8, 18] "is к Ь Ы фП [/ ( + (K-s-iS)C +iCK-sfl9, (3.6) 22s где ф - симметризатор в С Локальное квантовое пространство і следует отождествить с образом 9 . Б XXX -модели спина s существует единственный оператор Р СО удовлетворяющий (2.10), (2.II), (2.27). Его можно построить из локальной матрицы монодромии L (л ) с помощью симметрического произведения [8, 18] : Здесь тензорное произведение берется по вспомогательным пространствам. Эту формулу можно принять за определение и, используя (3.5), (3.6), убедиться, что введенный таким образом оператор IR( ) , обладает требуемыми свойствами. То, что этими свойст - 38 \ЯЫ вами оператор IdUj определяется однозначно, мы покажем несколько позже.
Локальная матрица монодромии XXX -модели L(?0 обратима как оператор в пространстве С j- . Действительно, нетрудно проверить, что LWL(l = LO L» -(л+is-) u-ics+i» (3.20) Возникающие в точках -is , i(s + o . простые полюса обратного оператора не существенны, поскольку все рассматриваемые операто - 41 ры мероморфно зависят от спектрального параметра X . В заключение рассмотрим квазиклассический предел XXX -модели. Для этого следует ввести константу Планка 1\ , заменить в (3.9) S на "k Sa и считать, что - о , s -» , \\ s =. с con,st . В таком пределе оператор 5 переходит в Vis Ci , где s - классические поля, удовлетворяющие условию ss ca . Используя формулу Стирлинга для ГС ) в виде Г С -eoj осі4) , - +- , (3.2I) получаем из (3.13), (3.15) H(s - н№ = - Ч ( ) (3-22) - классический гамильтониан интегрируемого изотропного решеточного магнетика Гайзенберга (см. [27] ). Рассмотрим модель решеточный нелинейный Шредингер (РНШ). (Далее до конца параграфа мы будем специально отмечать операторы, относящиеся к XXX -модели.) Модель РНШ связана с бесконечномерным представлением алгебры Ли sa(2) . Локальная матрица монодромии модели имеет вид flO, 12, ІЗ] \ + 1+ +2 (3.23) - 42 Здесь параметр Д называется шагом решетки, зе - константой связи; Ц/ , - канонические операторы рождения и уничтожения в пространстве =. C CR ) : С Ц ,4у ] -4- » а і а ?Ссо=(1+2 х (3_24) Для локальной матрицы монодромии L (V) справедливо сплетающее свойство (1.3), где R, -матрица имеет вид (І.І7) с функциями -Ч? м --яг (3.25) Локальный вакуум определяется условием +со=0 (3.26) - фоковский вакуум, так что (ШЬІ- - , cLC =i+i . (3.27) Операторы (3.28) - 43 участвующие в матричных элементах L (зО , являются генераторами неприводимого представления алгебры SuCS.} в пространстве ; спин представления равен S-- - (3.29) В физической литературе формулы (3.28) называются представлением Холыптейна-Примакова [28] . При специальных значениях константы связи %= —— , I =1,2.,... , представлБНие (3.28) становится приводимым в Ха (R ) и от него отщепляется неприводимое конечномерное представление в пространстве I ,2 , которое и следует считать истинным локальным квантовым пространством.
Таким образом, модель РНШ связана с XXX -моделью произвольного, не обязательно положительного полуцелого спина S Такая связь этих моделей не удивительна, поскольку в классическом непрерывном случае они калибровочно эквивалентны [29] .
Формула (3.35) устанавливает унитарную эквивалентность рассматриваемых моделей. Тем самым задача о построении локальных гамильтонианов для модели РНШ свелась к аналогичной задаче для XXX - модели. Для ее решения достаточно заметить, что основные результаты, относящиеся к XXX - модели с конечномерным локальным квантовым пространством, справедливы и для бесконечномерного случая. А именно, для последнего случая оператор R (А), действующий теперь в пространстве Ха(К,)Хг() , существует и по-прежнему дается формулами (3.9), (3.II), (3.12).
Обратголся теперь к примеру неоднородной модели. Мы рассмотрим модель типа РНШ, взаимодействующую со спиновыми примесями. Локальная матрица монодромии основной модели - L Cvy - совпадает с локальной матрицей монодромии модели РНШ (см. формулу (3.23)).
Неприводимые матрицы монодромии для R, -матрицы XX*Z -модели
Неприводимые матрицы монодромии естественным образом выделены среди всех матриц монодромии. Следующие два утверждения позволяют полностью описать все возможные неприводимые матрицы монодромии. ТЕОРЕМА. 2.1. Пусть Q(E) - рациональная функция, имеющая П полюсов (с кратностями), считая бесконечность. Существует единственная с точностью до эквивалентности неприводимая матрица монодромии Т(эО , такая, что хМ /cLC: = Q.CO , причем ее степень равна W . ТЕОРЕМА 2.2. Неприводимая матрица монодромии степени а 1 эквивалентна произведению гь неприводимых матриц монодромии степени один. Отметим, что неприводимая матрица монодромии первой степени эквивалентна локальной матрице монодромии обобщенной XXZ-MO-дели произвольного спина. Таким образом, рациональные функции на комплексной плоскости однозначно параметризуют классы эквивалентности неприводимых матриц монодромии. Как мы знаем, произвольная матрица монодромии Т.С Л однозначно определена своими вакуумными собственными значениями и коммутативной алгеброй, порожденной операторами SK . Требование неприводимости позволяет восстановить эту алгебру, зная отношение вакуумных собственных значений. Теоремы 2.1, 2.2 являются точными формулировками утверждений, высказанных в работах [30, 32] . Нам потребуется несколько вспомогательных утверждений. ЛЕММА 2.1. Пусть I ( ) - неприводимая матрица монодро-мии степени п . Тогда полиномы (X и d не имеют общих корней и степень хотя бы одного из них равна rv . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Заметим, что из коммутационных соотношений (I.I.2I), (I.II) следует, что для любого вакуумного вектора 1 матрицы монодромии і (b) пространство LQ.1 -инвариантное подпространство для Т(?0
Предположим противное. Если Р - общий корень а и а. , то из равенств (I.2I) видно, что D. = E Cp")Q. - вакуумный вектор Т(тО . Если степени обоих полиномов and мень-ше la ,то Q = n Q - вакуумный вектор Т (Л") . В силу (1.8) [ Q. ] - собственное инвариантное подпространство ТС , и мы приходим к противоречию. Лемма доказана. Заметим также, что для любой матрицы монодромии Т1 (ЭО оператор С(ЭЛ является понижающим: С (г V" с V1"1"0. {2Л) Поэтому, если J - собственное инвариантное подпространство ТС О » то существует ненулевой вектор РС J , аннулируемый семейством операторов СС : СР 6 VCex С н s ( Кег С С ") . Поскольку J - собственное подпрост ранство, то РР \Q) . Таким образом, неравенство Кет. С = (Q_) является необходимым условием существования собственного инвариантного подпространства у матрицы монодромии TW. доказательство теоремы 2.1. Построим требуемую неприводимую матрицу монодромии. Пусть Го ( - свободная матрица монодромии с вакуумными собственными значениями 0 (30 и cU(: 0: = GKO. (2.2)
Предположим теперь, что ТТЛ) - некоторая неприводимая матрица монодромии с заданным отношением вакуумных собственных значений: аСэ / сЦэО = 0.(Л\ Из леммы 2.1 следует, что CiC /dC -GiC , несократимая дробь. Поэтому полиномы а и dl однозначно с точностью до числового множителя восстанавливаются по функции Q. и наибольшая из их степеней равна п, . С другой стороны, степени полиномов а и & не превосходят степени ТО") и по лемме 2.1 ТЧЭО - матрица монодромии степени ft.
Пусть TQCX") - свободная матрица монодромии степени п с полиномиальной частью вакуумных собственных значений Q.CE,") и сі СО .По теореме 1.2 такая матрица монодромии единственна с точностью до эквивалентности и найдется ее инвариантное подпространство У , такое что ТЧэО - У По доказанному выше То вО/j неприводима, только если J - максимальное инвариантное подпространство Т0(ЭО . Окончательно получаем, что рациональная функция Q.CO определяет свободную) матрицу монодромии Г0 СэЛ степени п. , а следовательно, и неприводимую матрицу монодромии ТЧ ЭО единственным образом с точностью до эквивалентности, и степень Т( 1 равна W . Теорема доказана.
При доказательстве теоремы 2.2 необходимо иметь в виду следующее обстоятельство. Если Т (ЭО - произведение матриц монодромии, то квантовое пространство ТЧэО есть тензорное произведение квантовых пространств сомножителей. (Напомним, что мы понимаем умножение матриц монодромии как матричное умножение, а матричные элементы как квантовые операторы перемножаются тен зорно.) При этом возможно, что ни один вакуумный вектор Т(л) не является вакуумом, т.е. Т(оО не есть матрица монодромии в принятом нами смысле. Тем не менее внешне Т ( совпадает с матрицей монодромии суммарной степени, и нам будет удобно пользоваться принятыми для этого случая обозначениями. Предпо-линомиальную функцию для ТЧ ЭО будем выбирать стандартным образом в виде произведения предполиномиальных функций сомножителей и дополнительного веса еоср йО-m.} ( т. - число сомножителей) .
Спектр локальных гаїлильтонианов
В случае R, -матрицы XXX -модели все приведенные теоремы и леммы остаются справедливыми, если в формулировках опус-тить условие отсутствия у полиномов а , сЦ нулевого общего корня; при этом доказательства модифицируются естественным образом.
В заключение параграфа вернемся к исследованию применимости общей схемы построения локальных интегралов движения. Для однородной модели неприводимость локальной матрицы монодромии эквивалентна неприводшлости полной матрицы монодромии. По доказанному для однородной модели с неприводиїлои локальной матрицей монодромии существует единственное решение уравнения (1.2.10) с условием нормировки (1.2.27), причем оно удовлетворяет также и
- 103 уравнениям (I.2.II), (1.2.12). Для неоднородной модели неприводимость всех локальных матриц монодромии необходима, но не достаточна, чтобы полная матрица монодромии была неприводимой. Если все локальные матрицы монодромии неприводимы, то при некоторых условиях существуют единственные решения уравнений (1.2.20) с условием нормировки (1.2.51), причем они также удовлетворяют уравнению (1.2.21). Неприводимость полной матрицы монодромии гарантирует выполнение требуемых условий, а также приводит к существованию и обратимости полученных операторов к, (}Л при \ О , что используется при доказательстве локальности построенных интегралов движения.
Таким образом, мы показали применимость общей схемы построения локальных интегралов движения к широкому классу моделей, -фактически ко всем физически интересным моделям с двумерным вспомогательным пространством, к которым применим алгебраический анзатц Бете. В следующем параграфе мы докажем в полном объеме теоремы 1.2.3, 1.2.4 о спектре локальных интегралов движения моделей с неприводимыми локальными матрицами монодромии.
Отметим, что для неприводимых матриц монодромии I С Х " , Т М из существования сплетающего оператора следуют огра-ничения на полиномы Qa , d1 , содержащиеся в условиях теорем 2.1 и 2.2.
По теореме 2.1 или 2.2 бетевские векторы матрицы монодромии Т С Л являются собственными векторами для всех операторов Sp lR C O ,а значит и собственным вектором оператора Sp /і R.C X ; его собственные значения есть произведения собственных значений операторов Sp RLO ) вида (2.3) или (2.19). В том случае, когда у (эо - локальная, а ТгСэЛ - полная матрица монодромии однородной модели, из соотношений (1.2.15), (1.2.17) видно, что оператор loa Spd IR.СЛ" является производящей функцией локальных интегралов движения модели.
- 112 Если t СЪ") - локальная матрица монодромии основной модели, а ТЯ(}Л - полная матрица монодромии неоднородной модели, то оператор ;Ьоч Spi ЯС Л точно так же является производящей функцией локальных гамильтонианов (см. формулу (1.2.22)). В этих случаях точки с , определяемые соответствующими сомножителями в произведении (2.22), являются корнягяи функции Q,z кратности N , следовательно, всегда существуют операторы
—s SpilR( M , s=o,..., IS/-1 с собственными значениями A\s П aC/ "V на бетевском векторе П B-U Qo.
Локальные гамильтонианы выражаются через эти операторы рациональным образом и потому всегда существуют, что уже отмечалось в первой главе из других соображений, а для их .собственных значений на бетевских векторах справедливы теоремы 1.2.3 и 1.2.4.
В заключение отметим, что формула (2.19) для собственных значений оператора р4 1(Л") в случае R, -матрицы XXX -модели при конечном т. была впервые доказана Н.Ю.Решетихиным с использованием процедуры размножения. Формулы (2.3) для собственных значений оператора Sp RC в случае R, -матрицы XX Z - модели являются естественными обобщениями равенств (2.19), но их полное доказательство даже при конечном гп ранее известно не было.
Тем самым, они пропорциональны. Обозначая множитель пропорциональности через \ (а, 0 и проверяя уравнение Ян-га-Бакстера для оператора І&СЛ") (мы знаем, что оно выполнено), получим, что \ (л,м" - 1 . Полагая і= №«. О и используя равенства (3.21), мы придем к требуемому соотношению:
Рассмотрим модель РСГ на решетке из 2N узлов. Она эквива - 119 лентна однородной модели с неприводимой локальной матрицей мо-нодромии (ЭЛ на решетке из Л/ узлов, к которой применжл алгебраический анзатц Бете. В соответствии с общей схемой мы можем построить N коммутирующих локальных интегралов движения, диагонализуемых методом алгебраического анзатца Бете. Явный вид операторов 1 , 4.,.... -4 с точностью до константы можно получить из представления (3.14).