Введение к работе
Актуальность темы. Течения проводящей жидкости, находящейся в магнитном поле, давно привлекали к себе внимание как математиков, так и гидр о динамиков. Интерес к исследованию этих течений возрос в связи с созданием нового материала - феррожидкости, которая нашла широкое применение при создании новых технологий, в частности, к изучению течений со свободными границами. В большинстве рассматриваемых в магнитной гидродинамике ситуациях токами смещения пренебрегают. Однако применимость этих уравнений магнитной гидродинамики требует соблюдения условия aL/V 3> 1, где а - проводимость среды, a L и V - характеристические параметры длины и скорости, определяющие свойства данного движения жидкости. Для плохих проводников (например, полупроводников), при высоких частотах поля и особенно при частотах, близких к резонансным (в данном случае роль частоты играет отношение V/L) ток смещения существенно меняет картину взаимодействия электромагнитных и гидродинамических явлений, которую надо рассматривать на основе совместной системы уравнений поля и уравнений движения жидкости (или газа). Такая ситуация возникает в астрофизике, в частности, в физике Земли. Все эти задачи магнитной гидродинамики требуют строгого математического анализа.
Научная новизна. Впервые разрешимость краевых задач (стационарных и нестационарных) магнитной гидродинамики для вязкой несжимаемой жидкости, в предположении, что среда обладает большой проводимостью и можно пренебречь токами смещения по сравнению с токами проводимости, исследована О.А. Ладыженской и В.А. Солонниковым и В.А. Со-лонниковьш. В главе 1 диссертации мы учитываем токи смещения. Следует, однако , отметить, что в этом случае при изучении начально-краевых задач магнитной гидродинамики возникают существенные трудности и нельзя непосредственно применить методы исследования, развитые в работах О.А. Ладыжеской и В.А. Солонникова. В ней доказана однозначная разрешимость нелинейных задач в "малом", т.е.
только для некоторого, вообще говоря, малого промежутка времени, величина которого определяется данными задачи. Разбираемые здесь задачи с математической точки зрения интересны не только тем, что они нелинейны. В том случае, когда мы имеем дело с совокупностью нескольких различных соприкасающихся сред, каждая из которых обладает своей магнитной проницаемостью ц, диэлектрической постоянной є и проводимостью среды и, нестационарная система уравнений магнитной гидродинамики весьма своеобразна: она не принадлежит к изученным типам и содержит коэффициенты ft, єна, терпящие разрывы на границах разнородных сред (благодаря чему мы вынуждены удовлетворить целой серии условий "согласования" на этих границах раздела). Система уравнений магнитной гидродинамики привлекает к себе внимание и тем, что она резко меняет свой тип при переходе из одной среды в другую и обладает яркой специфичностью. Лля доказательства разрешимости начально-краевых задач этой системы уравнений в гельдеровских пространствах необходимо изучить начально-краевые задачи для системы уравнений Максвелла в разнородных средах. Для доказательства коэрцитивных оценок решений этих задач необходимо, в свою очередь, построить решение модельной пространственной начально-краевой задачи для системы уравнений Максвелла в виде суммы потенциалов и установить предельно точные оценки этого решения в гельдеровских нормах. Этим вопросам и посвящена глава 2. В главе 3 рассмотрена краевая задача для нелинейной стационарной системы уравнений магнитной гидродинамики, которая возникает при исследовании задач со свободными границами. Изучена разрешимость этой задачи и исследована зависимость гладкости решений от гладкости данных задачи. Это позволяет рассмотреть одну из модельных задач о движении расплавленного металла при наличии свободной поверхности. Начально-краевые задачи для уравнений, которые резко меняют свой тип при переходе из одной области в другую, с чисто математической точки зрения также представляют несомненный
интерес. Кроме того, они возникают не только в магнитной гидродинамике (например, в биологии). В том случае, когда первая краевая задача для эллиптического уравнения в своей области задания имеет только тривиальное решение, эти задачи изучены в работах О.А. Ладыженской и Л. Сту-пялиса и Л. Ступялиса. Если это условие не соблюдено, то задачи такого типа некорректны по отношению к возмущениям коэффициентов уравнений. Поэтому возникает вопрос: имеют ли место теоремы разрешимости указанных выше начально-краевых задач в последнем случае? В главе 4 дан положительный ответ на этот вопрос.
Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты, кратко охарактеризованные выше, дают возможность утверждать, что выполненные в работе исследования формируют новое перспективное направление по магнитной гидродинамике, которое будет способствовать успешному решению ряда важных практических проблем.
Аппробация работы. Результаты работы докладывались автором на конференциях Литовского математического общества, на семинарах по краевым задачам математической физики Института математики и информатики, на семинарах по дифференциальным уравнениям Вильнюсского университета, на семинарах по прикладной механике Каунасского Технологического университета.
Публикации. По теме диссертации опубликовано одиннадцать печатных работ.
Структура и объем работы. Работа состоит из введения, 4 глав и списка литературы, содержащего 119 наименований работ. Общий объем диссертации вместе со списком литературы - 248 страниц.