Метод следящих областей в задачах динамического поиска Чхартишвили, Александр Гедеванович

Введение к работе

Актуальность темы. Конфликтные задачи об управлении объектами, которые описываюки обыкновенными дифференциальными уравнениями, принт о объединять термином дифференциальные игры, Типичным примером дифференциальной шры является іадача преследования одного подвижного управляемою обьекіа другим. К таким задачам относится и рассматриваемая в предлагаемой работе динамическая задача поиска подвижного объекта.

Основополагающими в разработке математической теории поиска принято считать публикации Кунмаиа в середине 50-х годов. Выделяют два класса задач поиска -поиск неподвижного объекта и поиск подвижного объекта. В случае когда объект поиска активно противодействует обнаружению, удобно формулировать возникающие при этом задачи в терминах дифференциальных игр.

Фундаментальный вклад в развитие теории дифференциальных игр внесли Р.Анзекс, Л.С.Понтрягин, Н.М.Красовский, Р.В.Гамкрелидзе и др.

Ликршура но поиску довольно обширна. Интересные результаты получены Д.П.Кимом, Л.А.Петросяном, А.Ю.Гарнаевым, Н.А.Зенкевичем, Ф.Л.Черноусько н др. В большинстве работ рассматриваются вероятностные постановки задач, причем ранение игры нередко ищется в смешанных стратетнях.

Дифференциальная игра поиска с участием двух

точечных объектов п (ищущий) и D (уклоняющийся)

в достаточно общей постановке может быть описана
системой уравнений следующего вида

xtXcR\ ytYcR\_MUcl2^p_f ?tVc

(ідесь \J и V управляющие компакты, а А и Ї

линейно связные множества, по которым объекты

перемещаются). Кроме того, в поисковой игре задается
ісрминальное множество

ЇЇ с /*Y с R

с+п

при первом попадании на которое пары (fTjO игра

считается оконченной.

Булем считать, что поведение ищущего объекта описывается соотношениями

Ь-fM ,х(0)*т_о, *tXcj>\ п1^усК^р,

а поведение уклоняющегося объекта D

В дифференциальных шрах, как правило,
предполагается, что обоим игрокам швестны функции 4
н *- , множества X_:Y₇ U , V и М .а также

текущие фазовые координаты объектов. При ггом
оказывается возможной разработка методов, основанных на
рассмотрении игры на бесконечно малом промежутке
времени, что даст возможность выписывать в
дифференциальной форме необходимые условия

оптимальности управлений игроков.

В задачах поиска координаты уклоняющегося объекта обычно неизвестны ищущему вплоть до окончания игры (информационная дискриминация ищущего), Поэтому последний выбирает свое управление К ("і) программно, то есть фиксирует как функцию времени еще до начала игры. Довольно ясно, что точечное совпадение объектов не может служить условием окончания игры, поскольку в таком жестком предположении даже задача поиска неподвижного объекта может быть содержательной лишь в одномерном случае (поиск на графе). Поэтому естественно считать, что игра оканчивается при попадании объекта Ъ в некоторую окрестность объекта А (например в круг или тар с центром в А ). Возможна и такая постановка задачи

поиска: ні роки перемешаются по области с вырезами, и условием обнаружения является попадание в прямую видимость.

В данной работе рассматривается динамическая задача
поиска при простом движении конфликтующих объектов.
Эго оіначаст, чго математическая модель поисковой
ситуации описывается системой обыкновенныч

дифференциальных уравнений

і * U , I -- V , где

л<Хс1!\ уеїсК*. _ueVcH\ nVcR\

а ісрминіїльное множество имеет следующий вид

Задачу динамического поиска будем иіучать в

следующей постановке: сформулировать и обосновать

И
достаточные условия на множества Ц

и 1 , при выполнении которых существует кусочно-
непрерывная функция U(t/ (управление ищущего) и
отвечающее ей решение -\' * / ' первої о уравнения
(траектория ищущего), такие, что для любой кусочно-
неіірерьшккі функции 'С{ї) (управіеиня уклоняющеюся)

7 .

и любого отвечающего ей решения /I' ' (траектории

уклоняющегося) можно указать момент времени 1 , в

который точка (^ П/,/j (Т )J впервые попадает на заданное терминальное множество / I .

Основным методом решения задач динамического поиска, который нспользуегся в данной работе, является геометрический метод, основанный на _f привлечении некоторого класса вспомогательных областей переменной во времени структуры, называемых следящими областями.

Научная новизна. В диссертации содержатся следующие новые результаты:

1. Указан способ построения стандартной следящей
области на плоскости, на сфере, на многообразии
постоянной кривизны, в трехмерном евклидовом
пространстве.

2. Найдены некоторые геометрические свойства
стандартной следящей области.

1. Рассмотрены различные типы следящих областей, которые возникают в процессе решения поисковых задач при учете различных факторов.

2. Исследованы задачи поиска на плоскости, на поверхности цилиндра, на сфере, * на односвязной поверхности вращения,' на звездной поверхности. При помощи следящих областей найдены достаточные условия на параметры задачи, выполнение которых гарантирует успешный поиск. Указаны траектории ищущего игрока и верхняя оценка минимума времени поиска.

Цель работы. Разработки нового метода исследования двумерных ц трехмерных задач динамического поиска. Получение новых доааточных условий успешного поиска (обнаружения) подвижного объекта и построение соответствующих стратегии,

Общая методика исследован» я.

Для обоснования результатов, содержащихся в
диссертационной работе, исполыованы факты теории
обыкновенных дифференциальных уравнений и

дифференциальной геометрии, специально разработанные геометрические методы.

Теоретическая и практически я ц с н н о с т ь. Полученные результаты могут быть использованы для теоретических исследований динамических задач поиска как одним, так и несколькими ищущими.

Практическая ценность работы заключается в кшможкостм применения полученных результатов к решению задач, возникающих в технике, военном деле и тл.

Исиачмоканне следящей области в задачах поиска позволяет ответить на ряд важных вопросов, возникающих в ходе их решения, например, таких, как поиск оптимальной траектории движения ищущего игрока. отыскание максимальной контролируемой области в задаче. патрулирования, сравнение различных стратегий поиска и яр.

Апробация. Результаты работы докладывались на научных конференциях "Лобачевский и современная геометрия" (Казань, 1992 г.) и "Понтрягинские чтения-lV" (Воронеж, 1993 г.), на семинаре под руководством

*>

профессора Э.Г. Позняка (механико-матемашчсскин факультет МГУ), в МИРАНе на семинарах "од руководством член-корреспондента РАН Р.В. Гамкрспидзс и профессора В.Ю. Благодатскнх.

П у б л и к а и и и. Результаты диссертации опублако-ваиы в работах [1]-[8].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из пнедсния и двух глин, Объем работы - 97 машинописных страниц, библиография - 45 наименований.