Введение к работе
Актуальность темы. Сингулярно возмущенные системы (СВС), к которым относятся, в частности, сиотемы дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных, принадлежат к одной из наиболее интенсивно изучаемых в последние 20 лет областей современной математики. Это обусловлено большим прикладным значением СВС: они широко встречаются в самых различных областях физики, техники, химии, биологии (релятивистская теория поля, теории движения плазмы, жидкостей и газа, нелшейных колебаний, задачи динамики полета, оптимального управления электродвигателями постоянного тока, ядернымл реакторами, процессами термообработки, экология и химическая кинетика и т.п.). Указанными процессами необходимо управлять, переводя состояние объекта из одного положения в другое, восстанавливать значения начальных или текущих координат по доступной наблюдателю информации. Данные задачи составляют существо 'проблем управляемости и наблюдаемости.
Для исследования разнообразных задач, описываемых СВС, успешно применяется метод усреднения Крылова-Боголюбова, метод пограничных функций Васильевой, метод регуляризации Ломова.
История возникновения и развития методов малого параметра насчитывает около века. Хорошо известно, что при,составлении математических моделей реальных процессов неизбежно приходится пренебрегать теми или иными малыми ьеличинами. Естественно возникает вопрос о том, насколько точно упрощенная модель описывает исследуемый процесс. В математической постановке ответ на него часто сво-, дится к проблеме исследования зависимости решений соответствующих уравнений от малых параметров. Эта зависимость может иметь либо
регулярный,либо нерегулярный характер. Первый случай хорошо изучен в литературе. Задача существенно усложняется во втором случае, т.е. з случае сингулярно возмущенных уравнений. Характерной особенностью решений таких уравнений является наличие пограничных и переходных слоев, т.е. областей быстрого изменения решения, в которых оно, в отличие от регулярного случая, не может быть описано рядом по степеням малого параметра.
Интенсивное исследование сингулярно возмущенных уравнений началось с работ А.Н.Тихонова (1948, 1950, 1952). Первые результаты по управляемости стационарных СВС принадлежат P.V.Kokotovio, A.H.Haddad (1975). В работах T.R.-Giohev, A.L.Dontchev (1975, 1978, 1979, 1983), P.Sannuti (1977, 1978), P.V.Kokotovio, H.K.Khalil, O'Reilly (1986), P.V.Kokotovio, J.O'Malley, P.Sannuti (1976) вти результаты были распространены на линейные нестационарные и нелинейные СВС. Однако все доказанные результаты для линейных СВС, выраженные через условия управляемости вырожденной системы и системы погранслоя, носили достаточный характер а использованные метода исследования не позволяли дать ответ на вопрос: каковы условия управляемости СВС в случае невыполнения втих условий. Ответ на поставленный вопрос впервые был дан Т.Б.Копейкиной в работе "О необходимых и достаточных условиях управляемости линейных автономных сингулярно возмущенных- систем" (Междунар. советско-польский семинар "Математичеокие методы оптимального управления и их приложение". Тезисы докл. Мн., 1989- С.64-66.).
Достаточные условия управляемости систем, не разрешенных относительно старшей производной (частный случай СВС), а также разнотемповых СВС, получены Г.А.Куриной.
Задача наблюдаемости СВС почти не исследована. Автору извес-
тен лишь результат P.V.Kokotovio, H.K.Khalil, O'Reilly (1986), где доказаны достаточные условия наблюдаемости нестационарных СВС, выраженные через условия наблюдаемости вырожденной системы и системы погранслоя.
Многие физические объекты содержат элементы задержек и их поведение описывается дифференциальными системами с запаздывающим аргументом. Построение асимптотики решения дифференциально-раз-ностних уравнений с малым запаздыванием рассматривалось А.Б.Васильевой. Способ построения асимптотического разложения по малому параметру решения нестационарной сішгулярно возмущенной начальной задачи для дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием, основанный на методе пограничных функций, предложен В.И.Фодчуком, И.В.Якимовым. Исследование управляемости линейных СВС і запаздыванием (СВСЗ) проводилось Т.Б.КопеЙкиней. Ею предложены три метода решения задачи управляемости линейной СВСЗ: 1) модифицированный метод пегранфункций; 2) метод невырожденной замены переменных; 3) метод'пространства состояний. Для линейных стационарных СВСЗ с помощью втих методов получены достаточные условия, критерии управляемости. Исследование управляемости нестационарных СВСЗ не проводилось.
Настоящая работа посвящена вопросам управляемости и наблюдаемости линейных нестационарных сингулярно возмущенных систем (ЛНСВС). Цель работы состояла в получении аффективных, выраженных ч^рез параметры исследуемых систем, условий управляемости ЛНСВС бег запаздывания, о запаздыванием (ЛНСВСЗ), наблюдаемости ЛНСВС.
В соответствии о целью для сингулярно возмущенных систем управления и наблюдения были поставлены следующие основные задачи.
1. Построить асимтотическое разложение решений ЛНСВС и ЛНСВСЗ
в ряд по малому параметру.
-
Получить алгебраические достаточные условия рангового типа управляемости ЛНСВС и ЛНСВСЗ, наблюдаемости ЛНСВС, выраженные через параметры исходных систем.
-
Найти критерии управляемости и наблюдаемости ЛНСВС.
-
Установить принцип двойственности'свойств управляемости и наблюдаемости ЛНСВС.
Научная новизна и практическая значимость работы. В данной работе впервые получены следующие результаты.
-
Модифицирован метод погранфункций А.Б.Васильевой, на основании которого получен ряд дйстаточных условий управляемости ЛНСВС и ЛНСВСЗ, наблюдаемости ЛНСВС, имеющих алгебраический характер и выраженных через параметры исходных систем.
-
Разработан метод пространства состояний исследования управляемости и наблюдаемости ЛНСВС.
3- Предложены правила построения определяющих уравнений для ЛНСВС и ЛНСВСЗ управления, ЛНСВС наблюдения, в терминах решений которых доказаны критерии управляемости ЛНСВС и ЛНСВСЗ, наблюдаемости ЛНСВС.
7. Установлен принцип двойственности свойств управляемости и наблюдаемости ЛНСВС.
Результаты, полученные в диссертации, имеют теоретическое и прикладное значение. Проведенные исследования могут найти применение при изучении физических, технических, биологических и т.д. процесов, динамика которых описывается СВС, а также служить основой для разработки методов исследования управляемости и наблюдаемости нелинейных сингулярно возмущенных систем.
Публикации и апробация работы. Результаты исследований доло-
жены на 2-ых научных чтениях "Динамические системыt устойчивость, управляемость, оптимизация" (МиноК, 1990), объединенном семинаре "Качественная теория оптимального управлення*' института математики АНБ и Белгооуниверситета (Минок, 1990), Республиканской конференции "Динамика твердого тела и устойчивость движения" (Донецк, 1990), Меїідународной математической конференция "Ляпуновскиэ чтения" (Харьков, 1992), конференции математиков Беларуси (Гродно, 1992), Международной математической конференции, посвященной 200-летию Лобачевского (Мийок, 1992).
По теме диссертации опубликовано 9 работ,2 находятся в печати.
Структура и объем работы. ДиооертащМ состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 115 источников. Диссертация содержит 2 рисунка. Объем работы 146 страниц Машинописного текста.
