Введение к работе
Актуальность темы. Ряд краевых задач теории упругих систем естественным образом допускает, при соответствующих операторных трактовках уравнений, эквивалентную постановку в виде вариационной задачи
У\{х) —> inf,
в которой V\(x) — гладкое семейство гладких фредгольмовых функционалов 1 2, заданное на банаховом пространстве Е} А — параметр со значениями в некотором банаховом пространстве L (конечномерном или бесконечномерном). Фредгольмовость функционала означает, по определению, фредгольмовость (нулевого индекса) соответствующего ему градиентного отображения f\ : Е —> F, где F — некоторое банахово пространство (пространство значений градиента). Градиент определяется
традиционным образом — через соотношение
— {x)h = (f(x),h),
где (,) — скалярное произведение, взятое из некоторого гильбертова пространства Н, содержащем Е и F как непрерывно и плотно вложенные подпространства. Предполагается также, что Е непрерывно вложено в F. В этом случае говорят, что функционал V обладает градиентной реализацией в тройке пространств {Е, F, Н}7 и используется обозначение / = gradV.
В диссертации рассмотрены два (основных) примера краевых задач: 1) задача о 2-модовых закритических прогибах слабо неоднородной упругой балки на упругом основании, определяемых уравнением
.з
d2 ( d2w\ d2w
, о і ?тт + ктт + ^ + ад = 0> q(x) = 1 + є'УІх), (e.l) dxl \ dxl J dxz
1 Красносельский M.A., Бобылев H.A., Мухамадиев Э.М. Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисления// Доклады АН
СССР, 1978.- Т.240, вып.З.- С.530-533.
2Сапронов Ю.И. Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах// Успехи матем.
наук. - 1996. - Т.51, вып.1. - С.101-132.
при краевых условиях
ЦО) = Ці) = «/'(О) = w"{\) = О, (6.1)
и 2) задача о 2-модовых закритических прогибах слабо неоднородной упругой пластины, определяемых уравнениями Кармана
A(q Aw) - [w, tp] + \wxx = A2
при краевых условиях
w = Aw =
na. (6.2)
(w и (p — функции прогиба и напряжения пластины, А - оператор Лапласа, [w,(p] := wxxLpyy + wyyLpxx - 2wxyipxy, Qa = [0,a] x [0,1], A — параметр нагрузки).
Потенциалами этих задач служат соответствующие функционалы энергии
1 / fd2w\ (dw\ о \ w4 \
ДЧ^І "КЫ +aw)+T)dx (3)
^\Aw\2 - \\wxxf} +-\A-l[w,w\t)dxdy. (4)
При є = 0 (в случае однородных балки и пластины) полный бифуркационный анализ этих задач был осуществлен Ю.И. Сапроновым и Б.М. Даринским 3 4. В диссертации изложен результат анализа этих краевых задач при малых є Ф" 0. Переход к случаю неоднородной балки и неоднородной пластины потребовал перестройки в вычислительной схеме Даринского — Сапронова, в основе которой лежало условие постоянства пары собственных функций е\, Є2 линейной части уравнения в нуле
3Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов, "Двухмодовых бифуркациях решений одной вариационной краевой задачи для уравнения четвертого порядка", Понтрягинские чтения - XI, Сборник трудов.
Часть 1, Воронеж, ВГУ, 2000, 57-64.
4Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов, С.Л. Царев, "Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов", Современная математика. Фундаментальные направления, М.: МАИ. Т.12. 2004, 3-140.
при всех значениях параметров. В случае неоднородности это условие нарушается и, более того, оно не допускает обобщения, например, в виде условия существования непрерывного семейства собственных функций. В схеме, предложенной в диссертации, условие постоянных собственных функций заменено условием существования пары гладких параметрических семейств функций Єі,Є2, линейная оболочка которых инвариантна относительно линейной части уравнения в нуле. Такая пара, в случае ее построения, позволяет, как показано в диссертации, провести полный анализ ветвления равновесных конфигураций балки и пластины в условиях слабой неоднородности. Решение данной задачи представляет реальный интерес для теории посткритического анализа упругих систем. Представляет интерес и задача выяснение зависимости "геометрии прогиба" от "характера неоднородности".
Цель работы. Основная цель диссертационной работы — разработка и апробация методов бифуркационного анализа нелинейных краевых задач теории упругих систем в условиях многомодового вырождения и понижения дискретной симметрии, а также описание каустики и классификация раскладов бифурцирующих равновесных конфигураций слабо неоднородных упругих балок и пластин в случае 2-модовых вырождений.
Методика исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы общей теории бифуркаций решений нелинейных краевых задач, вариационного исчисления и теории гладких функций многих переменных. Базу развитой в диссертации аналитической схемы составляет модифицированный метод Ляпунова - Шмидта, оснащенный конструкциями теории особенностей гладких функций.
Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.
Разработана новая схема анализа бифуркаций нелинейных краевых задач в условиях многомодового вырождения и понижения симметрии параллелепипеда.
Дано описание каустики и получена классификация раскладов би-фурцирующих решений в случаях 2-модовых вырождений уравнений равновесных состояний слабо неоднородных упругих балок и пластин.
Дано описание аналитической зависимости закритических прогибов упругих балок и пластин от характера неоднородности.
Проведена компьютерная апробация разработанной аналитической схемы и, как следствие, получена полная визуализация бифуркационного анализа слабо неоднородных упругих балок и пластин.
Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование и новое развитие методу фредгольмовых уравнений в теории бифуркаций решений нелинейных краевых задач. Описание геометрии каустик, классификация бифурцирующих раскладов решений и описание аналитической зависимости прогибов упругих балок и пластин от характера неоднородности могут найти применение в задачах современной теории посткритического анализа упругих систем.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения" (г. С-Петербург, 2006, 2008 г.г.), на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной памяти И.Г. Петровского (г. Москва, 2007 г.), на семинаре ВГУ по бифуркационному анализу нелинейных задач (руководитель — проф. Сапронов Ю.И.), на Воронежской зимней математической школе С.Г.Крейна (г. Воронеж, 2004 г., 2006 г. 2008 г.).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 12 работах [1] - [12]. В совместных публикациях [1] ,[12] соавтору принадлежит постановка задач.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы из 69 наименований. Общий объем диссертации — 111 стр.