Введение к работе
Актуальность темы. В диссертационной работе рассматривается круг вопросов, относящихся к исследованию нового класса эволюционных уравнении, соэкпыиощгос в теорпп упр дяенпя. Данные уравнения можно трактовать как многозначный аналог обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых роль фазового вектора играют подмножества соответствующего пространства Потребность введения п исследования подобных уравнений обусловлена прежде всего необходимостью научения эволюшт недоопределенных динамических систем, содержащих варьируемые или неизвестные точно параметры, где цс несообразно рассматривать пе отдельные, паолпрова<гаыс траектории системы, а пучки или трубкп тагах траекторий. К постановкам указанного типа приводят многие радь, ш теории управленая п пениьа-ппя, связанные с исследованием И моделированием сложных механических и иных систем, для которых характерно присутствие неопределенности в вх описаний, наличие неконтролируемых возмущеитй, неполнота текущей и априорной информации о состегана системы.
В идейном и методологическом плане работа основала па подходах, .рааэи-шх в свердловской школе по теории управления и евьлап-ных с пме: ама Н.Н.Красовсксіго, А.Б.Куржанского, А.И.Субботяна, Ю.С.Осияова н их сотрудЕсшга. Сказанное относится, о частности, к постановкам и методам решегая задач управления ш условное конфликта и неопределенности, к теории опешшжпя параметров и состояния системы по результатам иабяюдеезга н подугли* к реш~иик> обратных оадач, возникающих а'теорію уиравяешя. Во s«x первчнелея-ных областях э той или иной форме осютиаап иіїої«икгеше отображения, описание и конструктивнее построедае которых обеспечивает возможность решения задачи. Поэтому тематика, связанная с поучением названных многознаяинх отображегай в рамках единого под-хода как решений некоторых эишоцяодакх уравнении, с разработкой методоз интегрирования таких уравнеиин, вопросами шшрокяшашга решений, предстгвляется актуальной. :'..-
Говоря об исследованиях иных научных школ, отметим прежде всего, что развитие теории управления во мятом слредлгилось кл'ассн-іе-
скими результатами, полученными в середине 50-х годов 1.С.Е >нт-рягиным, В.Г.Болтянским, Р.В.Гамкредидзе, Б.Ф.Мищенко. С тех пор круг задач, рассматриваемых в рамках ваэванноп теории, существенно расширился. Потребности практики и внутренняя логика развития привели к становлению таких дисциплин как теория дифференциальных игр, теория наблюдения и оценивания, управление в условия*' неопределенности, управление с векторным показателем качества и др.
L работе используется ряд базових понятий теория дифференциальных игр: правило экстремально! J прицеливания Н.Н.Красовского, альтернированный интеграл Л.С.Понтрягшш, результаты Б.Н.Пшеничного, отвосшивеся к исследованию линейных дифференциальных игр, методы рсчешії дифференциально -игровых задач, развитые Н. Н. Красовскгм и А. И. Субботиным. Прямое или косвенное отношение к тематике работы имеют лриншшиальнып результаты в области теории управления и дифференциальных игр, полуенные в работах отечественных и зарубежных математиков: Р.Айзекса, Р.Беллмана, В.И.Благодатских, Р.Габасова, Н.Л.Григоренко, В.И.Гурмана,В.Ф.Демь-янова, А.Я.Дубовицкого, В.И.Зубова, Р.Калмана, Ф.М.Кприлловой, В.Ф.Кротова, А.В.Кряжиыского, Дж.Лейтмана, А.М.Летова, А.А.Ме-лихяна, М.С.Никольского, Н.Н.Петрова, Л.А.Петросяна, В.Н.Ушакова, Ф.Л.Червоусько.
Обрашаясь к теории наблюдения и оценивания параметров и состояния динамических систем, выделим монографию А.Б.Куржанского1', содержащую результаты, связанные с описанием информационных.областей в базирующимся на нем решением задач синтеза управлен .ш по неполным данным. Указанные результаты лежат в основе настоящей работы. Круг исследователей, работающих в данной области, чрезвычайно широк. Мы оставляем в стороне публикации по теории фильтрации для систем с неопределенностью, имеющей статистическое опса-иие и восходящее к исследованиям Н.Винера, А.Н:Колмогорова, К.Шеннона. Р работе пріиіят детерминистский подход, предполагающий, что описание неопределенных факторов, воздействующих на систему, дано
1 А.Б.Куржанскип.Уяравлепие и наблюдение в условиях неопррде-яепногтп. М.: Наука. 1977.- 391 с.
в виде включения, ограничивающих возможные значения неизвестных величин. Ряц принципиальных реоультатов теории наблюдения, оценивание и управлена! в условиях неполной информация получен В работах Б.И.Ананьева, Д.Бертсекаса, Х.Витсенхауоева, М.Н.Гусева, И.Я.Каца, В.А.Коиарова, Г.Н.Ковстанивова, А.В.Кряжимсхого, Д.А.Озсянникова, В.Г.Покотвло, Б.Н.Пшенпчного, Т.Ф.Фвлшшовой Ф.Л.Черноусыо, «Г Швеппе.
Наховец, в настоящей работеоатрагпваю-гж вопросы многоцелевой оптимизации. Круг даже основных публикации по данной тематике едва ли обозрим в рамках настоящего введения. В работе рассмотрена специальная обратная оадача многоцелевой оптимизации, решение ко торой представляется актуальной проблемой и может быть использовано при исследовании ирихяадгаіх задач.
Наряду с названными разделами собственно теории управления в последние десятилетия активно .развивались те направления, которые формируют современный математический аппарат указанной теории. Это теория многозначных отображений (многозначный анализ), дифференциальные включения, негладкий анализ, абстрактная теория экстремальных задач. Многие из полученных по тематике указанных направлений результатов вышла далеко за рамка вспомогательных по отношению к теории управления а имеют самостоятельное вгачение. Сказанное относится, в ч&ставсти, к исслвдовачиям В.Ф.Демьянова, Дж.Варш, АЛ.Дубовиккого, Ф.Югарка, А.А.Мидюпвжа, Ж.-П.Обена, Б.С.Половинкина, Б.Н.Пшешчаото, Р.Рокафеяяара, А.А ЛЬястояогова, В.М.Тихомироаа, А.Ф.Филвпшаа, Х.Фпанковской, ИЗзлаадь.
' Исследованию уравнений, ооватаиощвх шюкивташефуввиии, связанные с дифференциальной системой, посвшщето сршЕштешьш ще-большое количество работ. Среда sax укажем статья АЛ.Пан&свока и В.И.Панасюка, работы А.А.ТЬшгоногова, а ьоторих быяя введет и рассмотрены эволюционные соотношения, июзашне уп$&здиямя интегральной воронка дифферешпшіьиого чхяючеяия.
Блпким вопросам, огоосящнавс* к рэучедаа» здодадрнаядарс функций, отвечающие областям %мщ$щщрщ щфферввде&льных включений, посвящены работы B-fl pWRgaTCf их, ВВехьова, П.Воленсхого,
В.А.Комарова, А.В.Лотова, М.С.Никольского, А.Н.Овсеевича, Ф.Л.Черноусько.
Ряд принципиальных трудностей, связанных с получением эволюционных уравнений для трубок выживающих, т.е. удовлетворяющих заданным фазовым ограничениям траекторий дифференциального включения, был преодолен в работах А.Б.Куржанского и Т.Ф.<Рилипповой, где были установлены указанные соотношения и предложен новый подход к проблемам теории выживаемости, систематическое развитие которой связанс с именем Ж.-П.Обена. Серьезные результаты, относящиеся к названной теории, получены М.Нагумо, Дж.Хаддаі''.м..г В.В.Гончаровым, И.Кастеном, Д.Коломбо, Ю.С.Ледяевьш, А.И.Субботиным, П.Таллошем, В.Н.Ушаковым, Х.Франковской.
Указанные выше подходы не позволяют, однако, получить эволюционные уравнения дли отображений, отвечающих, в частности, задачам конфликтного управления и тем задачам, где искомые решения могут быть разрывными многозначными функциями. Кроме того, применение известных схем ограничено рядом предположений о свойствах'Дифференциальной системы и фазовых огі інпченнй. Поэтому предпринятая в диссертационной работе попытка развить теорию эволюционных уравнений с достаточно широкой областью приложений представляется актуальной задачей как для собственно теории управления, так и для формирования математического аппарата исследования иных, не затронутых в работе проблем.
Цель рабог j. Целью диссертационной работы являются развитие теории обобщенных эволюцгонных уравнений, описывающих многозначные отображения, связанные с дифференциальной системой, разработка методов интегрирования названных уравнений и их приложении к решению задач управления при наличии фазовых ограничений п противодействия, а также задач оценивания состояния системы по результатам наблюдения.
Методы исследования. Диссертационная работа основана на понятиях п результатах теории управления и наблюдения в условиях неопределенности, теории дифференциальных включений, нелинейного и выпуклого анализа, теории многозначных функций, функционального анализа и теории экстремальных задач.
Научная новизна. Полученные в диссертации результаты являются новыми. D ген введен и исследован «ласе овояюцнонных уравнений (Л -уравнений), решениями которых являются многозначные отображения, связанные с дифференциальной системой, предложены методы интегрирования названных уравнений, рассмотрены приложения к задачам управления и оценивания, исследована специальная обратная оа-дача многокритериальной оптимизации,
Теоретическая и практическая ценность. Разработанные ч диссертации методы могут применяться в теории управления, паблюден"ія и оценивания состояний динамических систем в условиях яе»пр< делен-ностп."
В целом работа носит теоретический характер, однако предлагаемый в ней подход к описанию многозначных функций, связанных с дифференциальной системой, создает предпосылка для построевим новых вычислительных алгоритмов решения серьезных прикладных оадач. Алгоритмы, основанные па решении эволюционных уравнений, подобных предлагаемым в работе, уже есть. Достаточно назвать серию работ А.Б.Курясанского и И.Вали3, в которых решение аналогичных уравнений ищется в классе эшпякюидапьнозвачкых функций. Данный подход позволяет получать эллипсоидальные аппревсямапп нужных многозначных отображений, что, в свою очередь, открывает возможность распараллеливания процесса Еьгшслстга.
Апробация работы. Результаты диссертации были представлены в докладах на Чехословацкой конференции по диффереячяаиьным уравнениям и их приложениям (Братшсяаи-, 1981), ІХ-Х Всесоюзных совещаниях по проблемам управления (Еревда, 1S8S и Аша-Ата, 1Э86), DC Всемирном конгрессе IFAC (Будапешт, 19S4), ьгеащутарвдшй конференции "Многокритериальные задачи матешшгзеевдго ггрограшда-рованпя" (Ялта, 1988), на VII семинаре IFAC по приложениям нелинейного программирования - задачам унрвалшия (Тбилиси, 1988), советско-польском семгнаре "Математические методы овггамавьшого управления и их приложения" (Минск, 1989), международном семи-
»А.В.КигаЬамЬи, I.Valyi :WP-91-003,WP-9J-007,WP-ei-3a ( Work.pap./IIASA,Luxenbarg,1991)
наре "Перспективы теории управления" {Селыгяа, 1988), VII Всесоюзной конференции "Управление в механических системах" (Свердловск, 1990), международном семинаре IFAC "Негладіие и раорывные задачи управленні и оптимизации (Владивосток, 1991), а также докладывались на семинарах в Международном институте прикладного системного анализа (Лаксенбург, Австрия), Московском государственном университете, Институте математики и механики Уральского отделения Академии наук.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 22 работы. Основные реоультаты отражены в 18 работах, список которых приводит.:: в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, разбитых иа параграфы, заключения,и списка литературы, включающего 279 наименовании. Объем диссертации составляет 272 страницы машинописного текста.