Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Задача оптимального управления с интегро-дифференциальными ограничениями 7
1. Задача оптимального управления с интегро- дифференциальными ограничениями 8
1.1. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для интегро-дифференциального уравнения 8
1.2. Теорема о непрерывной зависимости решения интегро-
л дифференциального уравнения от начальных данных 13
1.3. Необходимые условия оптимальности 15
1.4. Формальное применение метода динамического программирования Р.Беллмана 17
2. Нахождение оптимального управления в задаче о вложении инвестиций 19
2.1. Нахождение оптимального управления и оптимальной траектории 19
2.2. Задача с постоянными параметрами 25
2.3. Примеры 27
2.4. Задача с невырожденным ядром 30
2.5. Оптимальное регулирование системой с интегро-дифференциальными ограничениями 34
Глава 2. Моментные функции решений интегро-дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами 48
1. Детерминированное интегро-дифференциальное уравнение 48
1.1. Постановка задачи 48
1.2. Решение задачи 49
1.3. Исследование решения задачи 52
2. Моментные функции I и II порядка решения интегро-дифференциального уравнения со случайными коэффициентами 58
2.1. Постановка задачи 58
2.2. Решение детерминированной задачи 59
2.3. Вспомогательная детерминированная задача для нахождения математического ожидания 60
2.4. Решение вспомогательной задачи для нахождения математического ожидания 62
2.5. Вспомогательная детерминированная задача для нахождения моментной функции второго порядка 67
2.6. Решение детерминированной задачи для нахождения моментной функции второго порядка 68
2.7. Частные случаи 71
3. Система интегро-дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами 75
3.1. Постановка задачи 75
3.2. Вспомогательная детерминированная задача для нахождения математического ожидания 76
3.3. Решение вспомогательной задачи для нахождения математического ожидания 77
3.4. Пример 80
4. Нахождение моментных функций высшего порядка 83
4.1. Вспомогательная задача с параметром 83
4.2. Нахождение моментных функций высшего порядка 88
Глава 3. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве 97
1. Дифференциальное уравнение в банаховом пространстве, содержащее вариационную производную 97
1.1. Линейное однородное уравнение 97
1.2. Линейное неоднородное уравнение 99
2. Дифференциальное уравнение в банаховом пространстве со случайными коэффициентами 102
2.1. Переход к детерминированным уравнениям 102
2.2. Решение детерминированных задач 105
Список литературы
- Теорема существования и единственности решения задачи Коши для интегро-дифференциального уравнения
- Оптимальное регулирование системой с интегро-дифференциальными ограничениями
- Вспомогательная детерминированная задача для нахождения математического ожидания
- Вспомогательная детерминированная задача для нахождения математического ожидания
Введение к работе
Обыкновенные дифференциальные уравнения или уравнения с
^ частными производными возникают при математическом моделировании
реальных процессов, которые связывают с понятием причинности, т.е. что
> процесс зависит только от настоящего состояния. Однако существуют
модели, учитывающие поведение системы в предшествующие моменты. При этом обычно приходят к дифференциальным уравнениям с запаздыванием, которые трактуют как интегро-дифференциальные уравнения или как дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. Процессы, подверженные влиянию случайных факторов, моделируют уравнениями, со случайными коэффициентами, при этом наибольший интерес представляют моментные функции решений таких уравнений.
Диссертационная работа посвящена изучению моментных функций
интегро-дифференциальных уравнений, коэффициенты которых являются
случайными процессами. Существует ряд монографий, например
Боголюбова Н.Н., Ширкова Д.В., Кляцкина В.И., Монина А.С., Татарского
^ В.И. и др., которые посвящены методам нахождения статистических
характеристик случайных процессов в прикладных задачах.
Метод нахождения моментных функций решений задач с начальными
условиями, основанный на построении вспомогательной детерминированной
задачи, разработан Задорожним В.Г. Вспомогательная детерминированная
^ задача представляет собой задачу Коши для дифференциального уравнения с
обычными и вариационными производными. Распространение метода исследования моментных функций решений на случай интегро-дифференциальных уравнений является актуальной задачей, которой и посвящена диссертационная работа.
Диссертационная работа включает три главы. Первая глава посвящена получению необходимых условий оптимальности для непрерывных систем, описываемых интегро-дифференциальными уравнениями. Формулируется и доказывается теорема существования и единственности решения задачи
Коши для интегро - дифференциального уравнения, а также теорема о непрерывной зависимости решения от начальных данных. В качестве примера изучается задача оптимального управления с линейными интегро-дифференциальными ограничениями и квадратичным критерием качества, являющаяся математической моделью процесса инвестиций в развитие производства. Рассмотрен метод приближенного нахождения решения в случае невырожденного ядра интегрального оператора.
Во второй главе предлагается методика для нахождения моментных функций решений интегро-дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами. Полученная методика обобщается на случай системы интегро-дифференциальных уравнений. Получены формулы для нахождения моментных функций высшего порядка.
В третьей главе методика нахождения статистических характеристик решений интегро-дифференциальных уравнений обобщается на линейные уравнения в банаховом пространстве.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши для интегро-дифференциального уравнения
В последние годы большое внимание уделяется вопросам оптимизации характеристик систем. В частности, задача может заключаться в максимизации дальности полета ракеты, максимизации доходов какого -либо предприятия, минимизации ошибки оценивания координат объекта, минимизации энергии или затрат, требуемых для достижения некоторого конечного состояния. Можно указать множество аналогичных задач. Исследование управления, изучение поведения и конструирования систем управления, обладающих требуемыми в тех или иных приложениях свойствами, являются ключевой задачей теории управления. При этом на первый план выдвигаются такие свойства систем, как устойчивость, оптимальность, поведение в присутствии неопределенных помех и т.д. [1]
Математические системы могут описываться различными способами. К числу наиболее часто встречающихся способов представления и описания систем относятся: непрерывные системы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями; системы с распределенными параметрами, описываемые уравнениями в частных производных; стохастические системы и др. К числу относительно новых моделей, используемых при описании динамических систем, относятся модели управления с интегро - дифференциальными ограничениями. Подобного рода модели используются при описании поведения экономических систем. Необходимо отметить, что одна и та же реальная физическая система может быть описана разными математическими моделями в зависимости от целей исследования и требований точности и адекватности описания.
Одна из характерных особенностей в постановке современных задач управления состоит в том, что действующие на систему силы можно разделить на два класса: управляющие и возмущающие. Характер ограничений, наложенных на управляющие силы, в этих задачах часто оказывается таким, что применение методов классического вариационного исчисления, а также других современных методов оптимизации становится невозможным. Например, для систем, описываемых линейными интегро -дифференциальными уравнениями не выполняется «условие причинности», поскольку состояния системы в предшествующие моменты времени зависят от будущих состояний системы. По этой причине встает вопрос о корректности применения принципа максимума Понтрягина или метода динамического программирования в подобных задачах .
Целью настоящей главы явилось исследование необходимых условий оптимальности управления для непрерывных систем, описываемых как обыкновенными дифференциальными уравнениями, так и интегро — дифференциальными уравнениями.
При достижении поставленной цели решались следующие задачи.
1. Получение необходимых условий оптимальности для систем с интегро -дифференциальными ограничениями. Формулировка и доказательство теоремы существования и единственности решения задачи Коши для интегро - дифференциального уравнения, а также теоремы о непрерывной зависимости решения от начальных данных.
2. Нахождение оптимального управления и оптимальной траектории в задаче о вложении инвестиций, математическая модель которой представляет собой линейное интегро - дифференциальное уравнение с квадратичным критерием качества управления.
Первый параграф посвящен получению необходимых условий оптимальности для систем с интегро - дифференциальными ограничениями. Формулируется и доказывается теорема существования и единственности задачи Коши для решения интегро - дифференциального уравнения, а также теорема о непрерывной зависимости решения от начальных данных.
Во втором параграфе рассматривается математическая модель процесса инвестиций в развитие производства, представляющая собой линейное интегро - дифференциальное уравнение с квадратичным критерием качества управления. Находятся оптимальное управление и оптимальная траектория в рамках полученных необходимых условий оптимальности. Рассматривается также задача с постоянными параметрами и задача, в которой нельзя аналитически получить оптимальную траекторию и управление. В последнем случае при решении задачи используется разложение подынтегральной функции в ряд Фурье.
Оптимальное регулирование системой с интегро-дифференциальными ограничениями
Рассмотрим следующую задачу оптимального управления: требуется найти такую кусочно - непрерывную на отрезке [0,7,] функцию u(t), которая доставляет максимум функционалу x(0)= o, (3) где x{t) - n-мерный вектор, и(ґ)-т-мерньш вектор, (, )-скалярное произведение векторов, А -постоянная матрица размера пхп, G{t,s)-переменная матрица размера пхп, Ф(/)-переменная матрица размера пхт, В -постоянная симметрическая положительно определенная матрица размера тхт, -заданное число, At(t) 0, і = \..п, /є[0, fj, Л:С[0, t{] - R".
Задача (1)-(3) представляет собой динамическую задачу о накоплении инвестиций в производственной сфере, где результаты деятельности зависят от предыдущих результатов, а также от оценки будущих перспектив роста доходов от производства. Здесь xK(t), к = \..п - производственные фонды к-го предприятия в момент времени t. Процесс изменения X на промежутке времени [0, J описывается уравнением (2). ut{t), i = \..m - управление (фонды, которые мы вкладываем или забираем из / -ой сферы производства).
В этой главе предлагается методика для нахождения моментных функций решений интегро-дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами. В первом параграфе проводится качественное исследование поведения решений интегро-дифференциального уравнения в зависимости от коэффициентов уравнения.
Во втором параграфе получены формулы для нахождения моментных функций решений интегро-дифференциального уравнения со случайными коэффициентами, заданными характеристическим функционалом.
В третьем параграфе разрабатывается метод нахождения моментных функций решений систем интегро-дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами.
Четвертый параграф посвящен нахождению моментных функций высшего порядка.
Такое уравнение допускает следующую экономическую интерпретацию: teR - время, x(t) - капиталовооруженность работника в момент времени /, ,2 - коэффициенты пропорциональности, K(t,s) - дисконтная функция, интеграл моделирует накопление фондов, зависящее от оценки будущих перспектив экономического роста, Єп if) - учитывает баланс части фондов, потребляемых на одного работника [3]. Подобные модели рассматривались в работе Змеева О.А. [17], [19], [20], Яценко Ю.П. [9], Глушкова В.М. [10], Розоноэра Л.И., Седых Е.И. [11], Ахмедовой Д.Д., Терпугова А.Ф. [12-14], Panjer Н.Н., Willmot G.E. [15], Маталыцкого М.А., Романюка Т.В. [16], Адашкина Л.Ф. [18], Сирота Е.А. [64], [65], [66]. Обычно рассматриваются детерминированные модели.
Обобщая полученные результаты, получаем, что при выполнении условий утверждения решение задачи (1-2) возрастает и выпукло вверх, что означает интенсивный рост производства
Мы рассматривали детерминированную модель. Но, в условиях нестабильности экономики коэффициенты изменяются в зависимости от складывающейся ситуации.
Мы будем считать, что х0, е2 являются случайными величинами, еъ (t) — случайным процессом, причем случайная величина х0 не зависит от є2 и є3. Каждой реализации случайных величин х0,є2 и случайного процесса еъ отвечает некоторое решение задачи (1), (2) xif). Таким образом, x(t) является случайным процессом. Мы рассмотрим задачу об отыскании важнейших характеристик этого процесса - математического ожидания М x(t) и моментной функции второго порядка М(х(t)x(s)).
Вспомогательная детерминированная задача для нахождения математического ожидания
Мы будем считать, что XQ является n-мерной случайной величиной, е случайной величиной I порядка, Єп {t) - n-мерным случайным процессом, А постоянная матрица размера пхп. Значения XQ, "0 3 ( ) не зависимы Для любого t. Каждой реализации случайных величин Хл, и случайного процесса Єл отвечает некоторое решение задачи (1), (2) x(t). Таким образом, x(t) является n-мерным случайным процессом.
Задача (1)-(2) представляет собой динамическую задачу о накоплении инвестиций в производственной сфере, где результаты деятельности зависят от предыдущих результатов, а также от оценки будущих перспектив роста доходов от производства. Здесь хк(0, к = \..п - производственные фонды к го предприятия в момент времени t. Процесс изменения X на промежутке времени [0, J описывается уравнением (2). , 2 - коэффициенты пропорциональности, K(t,s) - дисконтная функция, интеграл моделирует накопление фондов, зависящее от оценки будущих перспектив экономического роста, g (t) - учитывает баланс части фондов, которые мы вкладываем или забираем из данной сферы производства. Обычно рассматриваются детерминированные модели. В условиях нестабильности экономики коэффициенты изменяются в зависимости от складывающейся ситуации.
Мы рассмотрим задачу об отыскании важнейшей характеристики этого процесса - математического ожидания Mx(t). Используя обозначения (11), получаем линейную систему относительно неизвестных cM2,V) (12). Решение этой системы было получено с помощью прикладного пакета Maple V.
Для проверки полученных результатов найденное решение было подставлено в исходное уравнение. Рассмотрим интегро-дифференциальное уравнение
Как и прежде будем считать, что XQ,S2 являются случайными величинами, случайным процессом, причем случайная величина XQ не зависит от f2 и Еъ- Каждой реализации случайных величин XQ,S2 И случайного процесса s отвечает некоторое решение задачи (1), (2) x(t). Таким образом, x(t) является случайным процессом.
Мы рассмотрим задачу об отыскании важнейших характеристик этого процесса - математического ожидания М x(t).
Вернемся к задаче (1-2). Будем лишь считать, что e (t) является случайным процессом, алгл, как и прежде, являются случайными величинами, є (t) — случайным процессом, причем случайная величина xQ не зависит от є2 и Єу Тогда В данной главе, рассмотренная ранее, методика нахождения статистических характеристик решений интегро-дифференциальных уравнений обобщается на линейные уравнения в банаховом пространстве. Доказываются теоремы существования решения для линейного однородного и неоднородного уравнений с обычными и вариационными производными в банаховом пространстве. Далее рассматривается дифференциальное уравнение в банаховом пространстве со случайными коэффициентами. Получены формулы для нахождения моментных функций решений задачи Коши.
Пусть Y- банахово пространство, А - линейный ограниченный оператор, A:Y- Y. Отрезок fo o+ J будем обозначать просто Т. V(T) банахово пространство функций v:T- R с нормой \v\\f, u(r,0)czV(T) окрестность нуля радиуса г.
Рассмотрим задачу Коши для линейного однородного дифференциального уравнения в банаховом пространстве вариационная производная, А -линейный ограниченный оператор, действующий в этом пространстве. Известна теорема: для того, чтобы имела место оценка (t 0) необходимо, чтобы для точек спектра оператора А выполнялось условие RQX J при ЛЄ(Т(А) и достаточно выполнения условия КеЯ сг при Я є J(A). Эта теорема пригодится нам в дальнейшем.
Вспомогательная детерминированная задача для нахождения математического ожидания
Обыкновенные дифференциальные уравнения или уравнения с частными производными возникают при математическом моделировании реальных процессов, которые связывают с понятием причинности, т.е. что процесс зависит только от настоящего состояния. Однако существуют модели, учитывающие поведение системы в предшествующие моменты. При этом обычно приходят к дифференциальным уравнениям с запаздыванием, которые трактуют как интегро-дифференциальные уравнения или как дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. Процессы, подверженные влиянию случайных факторов, моделируют уравнениями, со случайными коэффициентами, при этом наибольший интерес представляют моментные функции решений таких уравнений.
Диссертационная работа посвящена изучению моментных функций интегро-дифференциальных уравнений, коэффициенты которых являются случайными процессами. Существует ряд монографий, например Боголюбова Н.Н., Ширкова Д.В., Кляцкина В.И., Монина А.С., Татарского В.И. и др., которые посвящены методам нахождения статистических характеристик случайных процессов в прикладных задачах. Метод нахождения моментных функций решений задач с начальными условиями, основанный на построении вспомогательной детерминированной задачи, разработан Задорожним В.Г. Вспомогательная детерминированная задача представляет собой задачу Коши для дифференциального уравнения с обычными и вариационными производными. Распространение метода исследования моментных функций решений на случай интегро-дифференциальных уравнений является актуальной задачей, которой и посвящена диссертационная работа.
Диссертационная работа включает три главы. Первая глава посвящена получению необходимых условий оптимальности для непрерывных систем, описываемых интегро-дифференциальными уравнениями. Формулируется и доказывается теорема существования и единственности решения задачи
Коши для интегро - дифференциального уравнения, а также теорема о непрерывной зависимости решения от начальных данных. В качестве примера изучается задача оптимального управления с линейными интегро-дифференциальными ограничениями и квадратичным критерием качества, являющаяся математической моделью процесса инвестиций в развитие производства. Рассмотрен метод приближенного нахождения решения в случае невырожденного ядра интегрального оператора.
Во второй главе предлагается методика для нахождения моментных функций решений интегро-дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами. Полученная методика обобщается на случай системы интегро-дифференциальных уравнений. Получены формулы для нахождения моментных функций высшего порядка.
В третьей главе методика нахождения статистических характеристик решений интегро-дифференциальных уравнений обобщается на линейные уравнения в банаховом пространстве.
В последние годы большое внимание уделяется вопросам оптимизации характеристик систем. В частности, задача может заключаться в максимизации дальности полета ракеты, максимизации доходов какого -либо предприятия, минимизации ошибки оценивания координат объекта, минимизации энергии или затрат, требуемых для достижения некоторого конечного состояния. Можно указать множество аналогичных задач. Исследование управления, изучение поведения и конструирования систем управления, обладающих требуемыми в тех или иных приложениях свойствами, являются ключевой задачей теории управления. При этом на первый план выдвигаются такие свойства систем, как устойчивость, оптимальность, поведение в присутствии неопределенных помех и т.д. [1]
Математические системы могут описываться различными способами. К числу наиболее часто встречающихся способов представления и описания систем относятся: непрерывные системы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями; системы с распределенными параметрами, описываемые уравнениями в частных производных; стохастические системы и др. К числу относительно новых моделей, используемых при описании динамических систем, относятся модели управления с интегро - дифференциальными ограничениями. Подобного рода модели используются при описании поведения экономических систем. Необходимо отметить, что одна и та же реальная физическая система может быть описана разными математическими моделями в зависимости от целей исследования и требований точности и адекватности описания.
