Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Нелокальные начально-краевые задачи для дифференциально-разностного уравнения диффузии с распределенным запаздыванием и дробной производной 23
1. Начально-краевая задача для дифференциально-разностного уравнения дробной диффузии с распределенным запаздыванием 23
1.1. Постановка задачи. Единственность решения. 23
1.2. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка с распределенным запаздыванием 26
1.3. Существование решения задачи 1.1 37
2. Задача Коши для дифференциально-разностного уравнения переноса с дробной производной по времени и распределенным запаздыванием 44
3. Начально-краевая задача для уравнения переноса с дробной производной и распределенным запаздыванием по времени на полуоси 56
Глава II. Начально-краевые нелокальные задачи для диффузионно-волнового уравнения с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием 60
4. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной, распределенным запаздыванием и вырождением на отрезке 60
5. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием и вырожднием на прямой 74
5.1. Задача Коши для уравнения дробной диффузии с распределенным запаздыванием и функциональное соотношение 75
5.2. Задача Коши для волнового уравнения с сосредоточенным запаздыванием и функциональное соотношение 78
5.3. Существование и единственность решения задачи 2.2 87
6. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием и вырождением на полупрямой 89
Глава III. Аналоги нелокальных начально-краевых задач Геллерстедта для диффузионно-волновых уравнений дробного порядка по времени с распределенным и сосредоточенным отклонением аргументов . 94
7. Аналог задачи Геллерстедта для уравнения смешанного типа с дробной производной и распределенным запаздыванием по времени, с опережающе-запаздывающим отклонением пространственной переменной 94
7.1. Задача Коши для уравнения дробной диффузии с распределенным и сосредоточенным запаздыванием. Функциональное соотношение 96
7.2. Задача Коши для волнового уравнения с сосредоточенным отклонением аргумента опережающе-запаздывающего типа. Функциональное соотношение 98
7.3. Существование и единственность решения задачи 3.1 103
8. Аналог задачи Геллерстедта для дробного дифференциально-разностного диффузионно-волнового уравнения с распределенным запаздыванием, опережающе-запаздывающими аргументами и отражением 105
8.1. Задача Коши для уравнения дробной диффузии с распределенным и сосредоточенным запаздыванием по временной и пространственной переменным. Функциональное соотношение 106
8.2. Задача Коши для волнового уравнения с опережающим аргументом и отражением 111
8.3. Существование и единственность решения задачи 3.4 122
Литература 125
- Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка с распределенным запаздыванием
- Начально-краевая задача для уравнения переноса с дробной производной и распределенным запаздыванием по времени на полуоси
- Задача Коши для уравнения дробной диффузии с распределенным запаздыванием и функциональное соотношение
- Задача Коши для уравнения дробной диффузии с распределенным и сосредоточенным запаздыванием по временной и пространственной переменным. Функциональное соотношение
Введение к работе
Актуальность темы.
Многие задачи трансзвуковой газовой, динамики, гидродинамики, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, моделирования процессов излучения лазера, теории плазмы и другие важные проблемы естествознания моделируются при помощи уравнений смешанного типа. К этому классу уравнений принадлежит впервые рассматриваемое в диссертации уравнение смешанного типа с дробнойгпроизводной; распределенным и сосредоточенным запаздыванием по обеим переменным; опережением и отражением вида
? uxx{x,y)--"D$u{xrt)>+^iH{y!--h)u{x - т,у- /г)+
h " к,
+71 ( ЩЮФгУ- 6^-Ь 0І | Щ)и(х - г, у - ЄЖ+
о:
(0-Ц
0= <
+& ftdtJj m(t,Qu(x-t,y~)dt;, у> 0;
о о ихх{хуу) - иуу(х,у) - Р2Н{х - т)и(х -т,у)-
—72-^(1^1 — т)и(х — rsgn х, у) —
-52Н{-у— h)u(-x, у-+ h), у < 0.
В уравнении (0.1) Б%уи(х,Ь) - оператор дробного интегродиффе-ренцирования; (в> смысле Римана-Лиувшшя), 0 < г, h = const, /%, ji, в\, Si = const, (і = 1,2), H() - функция Хевисайда, i?i(t), Щ(ї,) -ограниченные функции (г = 1,2), и(х,у) - неизвестная функция;
Теория уравнений, смешанного типа берет начало от фундаментальных исследовании Ф. Трикоми: [103]. Наряду с трудами Ф. Трикоми, базу теории заложили работы С. Геллерстедта [119] и Ф. И. Франкля [104], поставившие и изучившие краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа. Дальнейшее развитие теории уравнений смешанного типа связано с именами К.И. Бабенко [17], И..Н. Векуа [24], А. В. Бицадзе [21]. Их работы дали основополагающие результаты
при решении задач трансзвуковой газовой динамики, гидродинамики, безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака.
В работах В.Ф. Волкодавова [26], В.М. Жегалова [35]-[37], Т.Ш. Кальменова [52], Е.И. Моисеева [59]-[61], A.M. Нахушева [68], СМ. Пономарева [74]-[75] СП. Пулькина [79]-[81], Л.С Пулькиной [82]-[83], О.А. Репина [86]-[89], К.Б. Сабитова [90], М.М. Смирнова [96]-[98], А.П. Солдатова [99]-[100], и других математиков теорияурав-нений смешанного типа развивалась в различных направлениях.
Самостоятельный интерес представляют процессы, будущее развитие которых зависит не только от настоящего, но и существенно определяется всей предысторией развития. Математическое описание указанных процессов. может быть осуществлено» при помощи дифференциальных уравнений смешанного типа с отклонениями различных видов, называемыми также уравнениями с отклоняющимся > аргументом или функционально-дифференциальными уравнениями, к которым относится рассматриваемое в диссертации уравнение (0.1).
Основополагающий вклад в развитие теории обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, внесли Н. В. Азбелев [1], Н. Н. Красовский [55], А. Д. Мышкис [65]-[66], С. Б. Норкин [71], Л. Е. Эльсгольц [106]-[107], Э. Пинни [73], R. Bellman, К. L. Cooke [20], J. К. Hale [105], [115], К. Gopalsamy [113], Y. Kuang [118], J. Wu [129] и многие другие математики.
Нелокальные начально-краевые задачи для дифференциально-разностных эллиптических, параболических и гиперболических уравнений исследовали А.А. Андреев [12]-[14], А.Б. Антоневич [15], И.М. Гуль [32], А. Б. Муравник [62]-[64], А.Б. Нерсесян [70], А.В. Разгулин [84], А. Л. Скубачевский [23], [94]-[95].
Теория нелокальных задач для дифференциально-разностных урав-
нений смешанного типа впервые рассматривалась в работах А.Н. Зарубина [38]-[48]. Так, в монографии [47] изучаются краевые задачи для уравнений имеющих некарлемановский сдвиг аргумента. В статье [44] исследуется краевая задача для уравнения с распределенным запаздыванием, описывающего вероятностные и кумулятивные эффекты в модели, которая в противном случае была бы детерминированной.
В работах А. А. Андреева [12]-[14] и его учеников [72], [92]-[93] исследовались краевые задачи для уравнений смешанного типа с ин-волютивным (карлемановским) отклонением.
В настоящее время внимание исследователей обращено к развитию методов решения краевых задач для-уравнений и систем уравнений с частными производными' дробного порядка, которые, являясь обобщением уравнений целочисленного порядка, помимо огромного теоретического значения имеют довольно широкое практическое применение [67], [122], [91].
В работах А.Н. Кочубея [56]-[57] было найдено решение задачи Коши для уравнения диффузии дробного порядка с регуляризованной дробной производной.
Применение уравнений фрактальной диффузии к теории электролитов и в описании автоколебательных процессов исследовалось Я. JT. Ко-белевым [53]-[54].
В монографии A.M. Нахушева [67] были рассмотрены свойства операторов дробного интегро-дифференцирования и их применение к задачам математической биологии и физики, а также при математическом моделировании различных процессов и явлений в средах с фрактальной структурой. Им же в 1972 г. был впервые получен принцип экстремума для оператора дробного дифференцирования порядка а < 1.
Теория применения преобразования Лапласа для решения урав-
нений с дробной производной была развита словацким математиком I. Podlubny [123]. Им же в работе [124] была дана физическая интерпретация начальных условий для уравнений с дробной производной.
В монографии А.В. Псху [78] рассмотрены краевые задачи для модельных дифференциальных уравнений в частных производных дробного порядка. Получены решения краевых задач для уравнений с частными производными ниже первого порядка. Для диффузионного и волнового уравнений дробного порядка найдены функции Грина основных краевых задач. Получены условия типа Тихонова для диффузионно-волнового уравнения дробного порядка и для уравнения с частными производными ниже первого порядка.
В работах С.Х. Геккиевот[27]-[29] исследованы краевые задачи для уравнений смешанного типа с оператором дробной диффузии [28]-[29] в одной из частей смешанной области, доказаны теоремьь существования и единственности решений аналогов задачи Трикоми в канонических областях.
О. А. Репиным [86]-[89] рассматривались задачи для уравнений смешанного типа с дробными производными и интегралами в начальных условиях.
Полученные результаты находят приложения в моделировании процессов автоматического регулирования [125], в механике [120]', различных технологических процессах [108], теории вязкоупругости [110], [128], биологии [69], [31], [109], [129], медицине [127], химии [122], математической психологии [111], [112] и в других отраслях знаний.
Тем не менее, следует отметить, что, несмотря на достаточно большое количество работ, посвященных изучению как уравнений с отклоняющимся аргументом, так и уравнений с дробными производными, теория уравнений смешанного типа с дробными производными и от-
клоняющимся аргументом находится в начале своего развития.
Наиболее близкими в этом направлении являются работы А. Н. Зарубина [45]-[46] и Е. А. Зарубина [49]-[51], где были впервые рассмотрены краевые задачи для /уравнений смешанного типа с дробной производной и сосредоточенным запаздыванием.
Центральным моментом настоящей работы является рассмотрение ранее не исследовавшихся уравнений смешанного типа с дробжнгпро-изводной, распределенным и сосредоточенным отклонением аргументов опережающе-запаздывающего вида.
Отсутствие исследований по начально-краевым задачам для* уравнений смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием по обоим аргументам, отклонением опережающе-запаздывающего типа и отражением, а также1 важные прикладные возможности этих уравнений при математическом моделировании процессов экономики [121], математематической биологии [31], [109], нелинейной оптики [85], подтверждает актуальность,темы диссертации.
Цель работы - исследование разрешимости новых нелокальных начально-краевых задач для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием, рассматриваемых в неограниченных областях, содержащих внутри себя линию изменения типа.
Для обоснования корректности впервые поставленных задач необходимо доказательство теорем существования и единственности классических решений, что определяет структуру работы и содержание глав.
Общая методика исследования. В работе используются методы теории интегральных уравнений Вольтерра, аппарат специальных
функций, дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных, интегральные преобразования, метод вспомогательных функций (метод " abc"), метод Фурье разделения переменных.
Научная новизна. Все результаты, полученные в работе, являют
ся новыми в актуальной проблеме теории дифференциально-разност
ных уравнений в частных производных - проблеме решения нелокаль
ных задач для уравнений смешанного типа с дробной производной,
; распределенным и сосредоточенным запаздыванием, а также впервые
рассмотренного в данной работе уравнения с отражением по пространственной и опережением по временной переменным. Основные результаты, выносимые на защиту:
/ 1. Решение начально-краевых задач для уравнений смешанного ти-
па с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием в неограниченных областях. Доказательство те-орем существования и единственности решения.
2. Доказательство теорем существования и единственности реше-
{ ния аналога задачи Геллерстедта для уравнения смешанного ти-
^ па с дробной производной и распределенным запаздыванием по
времени, с опережающе-запаздывающим отклонением пространственной переменной в неограниченной области.
* 3. Решение аналога задачи Геллерстедта для дробного
' дифференциально-разностного диффузионно-волнового урав-
нения с распределенным запаздыванием, опережающе-
І тт
' запаздывающими аргументами и отражением. Доказательство
( теорем существования и единственности.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит те-
оретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в качестве основы для дальнейшей разработки теории нелокальных задач для дифференциально-разностных уравнений и систем дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием в областях изменения типа уравнений.
Практическая значимость работы заключается в возможности применения полученных результатов к исследованию различных физических и биологических смешанных процессов, в частности, в теории диффузии в пористых материалах, в нелинейной оптике, в изучении колебания кристаллической решетки, в теории популяций и др.
Апробация работы,
Основные результаты и содержание работы докладывались-и обсуждались на:
ежегодных Всероссийских конференциях "Математическое моделирование и краевые задачи" (2006-2007гг.) СамГТУ, г. Самара.
второй Всероссийской конференции "СамДифф" (2007г.) СГУ, г. Самара.
научном семинаре кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений в 2003-2007 гг. Орел, ОГУ. (руководитель д. ф-м. н., профессор Зарубин А. Н.)
Третьей международной конференции "Нелокальные задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики" (2006 г.), г. Нальчик.
- Двенадцатой международной конференции "Mathematical
Modelling and Analysis" (2007 г.), Литва, Тракай.
- Международной конференции "Дифференциальные уравнения, те
ория функций и приложения" (2007 г.) НГУ, г. Новосибирск.
По материалам диссертации опубликовано 10 научных статей и тезисов докладов [2]—[11].
Содержание диссертации по главам.
Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографического списка.
В первой главе исследуются начально-краевые задачи для дифференциально-разностного уравнения (0.1) при у > 0 (/ = 0, 71 = 1)
0! = 0,8!= 0)
h
D%yu{x: t) - ихх(х, у) = j R(0u(x: у - 0«. (0.2)
В 1 в области D = (J Dk,
fc=0
Dk = {(х, у) 0 < х < т; kh < у < {к + 1)Л},
где (0 < h, т = const), рассматривается
Задача 1.1. Найти в области D решение и(х,у) уравнения (0.2) из класса DQ~lu(x,t) Є C(D), DQyu(x,t), uxx(x,y) Є C(D), удовлетворяющее начально-краевым условиям
lim D^u(x,t) = ш(х), 0 < ж < т,
u(x,y) = 0, (x, у) u(0, y) = u(t, y) = 0, 0 < у < +oo, где ш{х) - заданная непрерывная, достаточно гладкая функция, причем о;(0) = ш(т) = 0. Доказаны +оо Теорема 1.1. Однородная задача 1.1. имеет в области D = \J Dk k=o тривиальное решение. Теорема 1.2. Пусть функция R{y) - ограничена для всех у > О, а функция ш{х) имеет непрерывную производную первого порядка и кусочно-непрерывную производную второго порядка; выполнены условия согласования cj(0) = uj(t) = 0. Тогда существует регулярное решение задачи 1.1., определяемое равенством и{х, у)= u()G(x, , y)d, (х, у) Є D, 2 + G{x, , у) = - V" 5п(у) sin\пх sinЛп - т А—' п=1 фундаментальное решение задачи 1.1., Хп = —, а 5п(у) представимо выражением &п(у) = 9п{у) + / 9п{у - t)fn(t)dt, о Ш = н(у -h) J R(y - 0*„(0#; y-h Н() - функция Хевисайда; 9п{у) = hn{y) + ^2 їтппфЯтІУ - t)dt\ m=l 0 R1(y-t) = R{y-t)1 у Rm{y-t) = J Rm-i{y - s)R1{s - t)ds (ra = 2,3,...); t причем hn(y) = у,{к+1)-1К%к+1)(-%уа) (* = о. і. 2,...); E^Jt) - обобщенная функция Миттаг-Леффлера [116, с. 46]. В 2 рассматривается задача Коши Задача 1.2. Найти регулярное решение и(х,у) уравнения (0.2) в +оо области D — (J D/-, fc=0 Dk = {(я, у) : |ж| < +оо, kh <у <{k + l)h} (0 < h = const), удовлетворяющее начальным условиям lim D^uix^t) = ш(х), \х\ < +оо, у->0+ и(х,у) = 0, (х, у) Є >(-і), где о;(аг) - заданная непрерывная, достаточно гладкая функция, причем о;(±оо) = 0. Регулярным решением является класс задачи 1.1. Доказана Теорема 1.3. Пусть функцияlo{x) непрерывна, абсолютно интегрируема на (—со; +оо) и о;(±оо) = 0; R(y) - ограничена. Тогда задача 1.2. имеет единственное регулярное решение и(х,у), стремящееся к нулю при х2 + у2 —>- +оо (|#j < -\-оо, у > 0). Решение имеет вид и{х,у)= J u{^)G(x,^y)d^ —оо +оо (*,, у) = ^ У e^e-«*(A,3/)dA- —оо фундаментальное решение задачи 1.2., а 6(Х,у) определяется равенством 6(Х, у) = g(X, у) + J «/(А, у - )/(А, )#, (0.3) когда ДА, у) = Н(у -К) f R(y - ежл, о«; y-h +оо У m=l0 Ді(у-і) = Д(і/-і), Rm{y-t) = / i2m_i(2/- s)-Ri(s-t)ds (m = 2,3,...); причел* /*(A,v) = j^'-'^W-aV) (* = о, i, 2,...); E^Jt) - обобщенная функция типа Миттаг-Леффлера. +0О В 3 в области jD = (J Dfc, где fc=0 -Ofc = {(x,у) : ж > 0; kh рассматривается Задача 1.3. Найти в области D решение u(x,y) уравнения (0.2) из класса функций DtyJ'1u(x,t) Є C{D), DQyu(x,t), uxx(x,y) Є C(D), удовлетворяющее граничному «(0,у) = 0, у>0 и начальным условиям lim Dq^^x^) — uj(x), х > 0, и(ж,у) = 0, (ж,з/) eD(_i), где а;(ж) - заданная непрерывная, достаточно гладкая функция, причем и>(0) = а;(+оо) = 0. Решение задачи 1.3 найдено в форме +оо i(x,y) = / uj^G^x, , y)d, и( Gi(x, , у) = G(x, f, у) - G(x, -, у), G(x,,y) = ± J eiX^6(\,y)d\- — оо фундаментальное репіение задачи 1.2. из 2, в котором 5(Х, у) определяется равенством (0.3). Единственное решение задачи 2.3. в области D определяется выражением (5.13) , а функиональное соотношение между ш(х) и v(х) из гиперболической области D" на у = О, х 0 равенством (5.30). Вопрос существования решения задачи 2.3. сводится, на основании условий сопряжения (6.5)-(6.6), к разрешимости интегро-дифференциально-разностного уравнения (5.31) в классе функций ш{х) Є С[0, +оо) рС2(0, +оо), абсолютно интегрируемых на (0, +оо) вместе со своими производными. Решение краевой задачи (5.31)-(5.32) определяется реккурентной формулой (5.33). Из нее следует и единственность решения задачи 2.3. Нетрудно проверить выполнимость требуемых условий, откуда следует существование решения задачи 2.3. Аналоги нелокальных начально-краевых задач Геллерстедта для диффузионно-волновых уравнений дробного порядка по времени с распределенным и сосредоточенным отклонением аргументов. 7. Аналог задачи Геллерстедта для уравнения смешанного типа с дробной производной и распределенным запаздыванием по времени, с опережающе-запаздывающим отклонением пространственной переменной. В области D = D+\JD \JJ, где D+ = J D+, 1=0 Dt = (О, У) N +оо, lh y (1+ 1)Л}; + х +0О k=0 fc=0 DIk = {(ж, У) : кт - у х (к + 1)т + у, -т/2 у 0} , 2fc = {(ж У)--{к + 1)т-у х -кт + у, -т/2 у 0} J = {(ж, у):\х\ +оо, у = 0} , рассматривается диффузионно-волновое уравнение h {х,у) - D%yu(x,t) + ГR()u{x - т,у - )d, у 0, ,? Uxx 0 = о , uxx(x,y)-uyy(x)y)-H(\x\)u(xsgiix,y), у 0, - 95 в котором 0 а 1; R(Q - ограниченная функция; Н() - функция Хевисайда; 0 г, h = const; Dfiy - оператор дробного [98, с. 16] (в смысле Римана-Лиувилля) интегродифференцирования, действующий на функцию и(х, у) по переменной у, определяемый соотношением У D%yu(x,t) = D u{x,t) = J (у - t)-au(xtt)dt, о а Г() - гамма-функция [30, с. 947]. Решение и(х,у) уравнения (7.1) будем называть регулярным в области , если D u{x,t) Є C{D+), y1-LD yu{x,t) Є C(D+[JJ), , Uyy[X, У) Є C(D-). Задача 3.1. Найти регулярное решение и(х,у) уравнения (7.1) в области D, удовлетворяющее начальному и граничным условиям к yj \ и(х,у), (x,y)eD ] к ) и(х,кт-х) = ф1к(х), кт ,х (2к + 1)т/2 (А; = 0,1, 2,...); (7.3) и{х, х + кт) = ф2к(х), {2к + 1)г/2 х -кт {к = 0,1, 2,...); (7.4) условиям сопряжения lim DQ 1u(x,t) = lim и(х,у) =cv(x), ж Є J, (7-5) lim y1 aDQ u(x,t) = lim uy(x,y) = v{x), x Є J, (7.6) зде фік{х) (г = 1,2; к = 0,1, 2,...) - заданные непрерывные, достаточно гладкие функции, причем фю(0) = ф2о(0). Теорема 3.1. Пусть Щу) ограничения функция; Фік(х) Є С [кт, (2к + 1)г/2] П С2 {кт, {2к 4- 1)г/2); ф2к{х) Є - 96 Є С [-(2k 4- 1)т/2, -кг] П С2 (-(2fc + 1)т/2, -fcr) ( = 0,1, 2, ...) и lim max l ifcOc)! = 0, lim max 1 2 ( )1 — 0, fc- +ooxG[fcr,(2fc+l)T/2] fc-H-ooxG[-(2fc+l)T/2,-fcr] 10(0)= (0). Тогда существует единственное регулярное решение задачи 3.1. в области D. Доказательство теоремы проведем следуя схеме 5. Наиболее близкими в этом направлении являются работы А. Н. Зарубина [45]-[46] и Е. А. Зарубина [49]-[51], где были впервые рассмотрены краевые задачи для /уравнений смешанного типа с дробной производной и сосредоточенным запаздыванием. Центральным моментом настоящей работы является рассмотрение ранее не исследовавшихся уравнений смешанного типа с дробжнгпро-изводной, распределенным и сосредоточенным отклонением аргументов опережающе-запаздывающего вида. Отсутствие исследований по начально-краевым задачам для уравнений смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием по обоим аргументам, отклонением опережающе-запаздывающего типа и отражением, а также1 важные прикладные возможности этих уравнений при математическом моделировании процессов экономики [121], математематической биологии [31], [109], нелинейной оптики [85], подтверждает актуальность,темы диссертации. Цель работы - исследование разрешимости новых нелокальных начально-краевых задач для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием, рассматриваемых в неограниченных областях, содержащих внутри себя линию изменения типа. Для обоснования корректности впервые поставленных задач необходимо доказательство теорем существования и единственности классических решений, что определяет структуру работы и содержание глав. Общая методика исследования. В работе используются методы теории интегральных уравнений Вольтерра, аппарат специальных функций, дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных, интегральные преобразования, метод вспомогательных функций (метод " abc"), метод Фурье разделения переменных. Научная новизна. Все результаты, полученные в работе, являют ся новыми в актуальной проблеме теории дифференциально-разност ных уравнений в частных производных - проблеме решения нелокаль ных задач для уравнений смешанного типа с дробной производной, ; распределенным и сосредоточенным запаздыванием, а также впервые рассмотренного в данной работе уравнения с отражением по пространственной и опережением по временной переменным. Основные результаты, выносимые на защиту: 1. Решение начально-краевых задач для уравнений смешанного ти па с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием в неограниченных областях. Доказательство те-орем существования и единственности решения. 2. Доказательство теорем существования и единственности реше { ния аналога задачи Геллерстедта для уравнения смешанного ти па с дробной производной и распределенным запаздыванием по времени, с опережающе-запаздывающим отклонением пространственной переменной в неограниченной области. 3. Решение аналога задачи Геллерстедта для дробного дифференциально-разностного диффузионно-волнового урав нения с распределенным запаздыванием, опережающе запаздывающими аргументами и отражением. Доказательство ( теорем существования и единственности. Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в качестве основы для дальнейшей разработки теории нелокальных задач для дифференциально-разностных уравнений и систем дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием в областях изменения типа уравнений. Практическая значимость работы заключается в возможности применения полученных результатов к исследованию различных физических и биологических смешанных процессов, в частности, в теории диффузии в пористых материалах, в нелинейной оптике, в изучении колебания кристаллической решетки, в теории популяций и др. Апробация работы, Основные результаты и содержание работы докладывались-и обсуждались на: - ежегодных Всероссийских конференциях "Математическое моделирование и краевые задачи" (2006-2007гг.) СамГТУ, г. Самара. - второй Всероссийской конференции "СамДифф" (2007г.) СГУ, г. Самара. - научном семинаре кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений в 2003-2007 гг. Орел, ОГУ. (руководитель д. ф-м. н., профессор Зарубин А. Н.) - Третьей международной конференции "Нелокальные задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики" (2006 г.), г. Нальчик. В работах В.Ф. Волкодавова [26], В.М. Жегалова [35]-[37], Т.Ш. Кальменова [52], Е.И. Моисеева [59]-[61], A.M. Нахушева [68], СМ. Пономарева [74]-[75] СП. Пулькина [79]-[81], Л.С Пулькиной [82]-[83], О.А. Репина [86]-[89], К.Б. Сабитова [90], М.М. Смирнова [96]-[98], А.П. Солдатова [99]-[100], и других математиков теорияурав-нений смешанного типа развивалась в различных направлениях. Самостоятельный интерес представляют процессы, будущее развитие которых зависит не только от настоящего, но и существенно определяется всей предысторией развития. Математическое описание указанных процессов. может быть осуществлено» при помощи дифференциальных уравнений смешанного типа с отклонениями различных видов, называемыми также уравнениями с отклоняющимся аргументом или функционально-дифференциальными уравнениями, к которым относится рассматриваемое в диссертации уравнение (0.1). Основополагающий вклад в развитие теории обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, внесли Н. В. Азбелев [1], Н. Н. Красовский [55], А. Д. Мышкис [65]-[66], С. Б. Норкин [71], Л. Е. Эльсгольц [106]-[107], Э. Пинни [73], R. Bellman, К. L. Cooke [20], J. К. Hale [105], [115], К. Gopalsamy [113], Y. Kuang [118], J. Wu [129] и многие другие математики. Нелокальные начально-краевые задачи для дифференциально-разностных эллиптических, параболических и гиперболических уравнений исследовали А.А. Андреев [12]-[14], А.Б. Антоневич [15], И.М. Гуль [32], А. Б. Муравник [62]-[64], А.Б. Нерсесян [70], А.В. Разгулин [84], А. Л. Скубачевский [23], [94]-[95]. Теория нелокальных задач для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа впервые рассматривалась в работах А.Н. Зарубина [38]-[48]. Так, в монографии [47] изучаются краевые задачи для уравнений имеющих некарлемановский сдвиг аргумента. В статье [44] исследуется краевая задача для уравнения с распределенным запаздыванием, описывающего вероятностные и кумулятивные эффекты в модели, которая в противном случае была бы детерминированной. В работах А. А. Андреева [12]-[14] и его учеников [72], [92]-[93] исследовались краевые задачи для уравнений смешанного типа с ин-волютивным (карлемановским) отклонением. В настоящее время внимание исследователей обращено к развитию методов решения краевых задач для-уравнений и систем уравнений с частными производными дробного порядка, которые, являясь обобщением уравнений целочисленного порядка, помимо огромного теоретического значения имеют довольно широкое практическое применение [67], [122], [91]. В работах А.Н. Кочубея [56]-[57] было найдено решение задачи Коши для уравнения диффузии дробного порядка с регуляризованной дробной производной. Применение уравнений фрактальной диффузии к теории электролитов и в описании автоколебательных процессов исследовалось Я. JT. Ко-белевым [53]-[54]. В монографии A.M. Нахушева [67] были рассмотрены свойства операторов дробного интегро-дифференцирования и их применение к задачам математической биологии и физики, а также при математическом моделировании различных процессов и явлений в средах с фрактальной структурой. Им же в 1972 г. был впервые получен принцип экстремума для оператора дробного дифференцирования порядка а 1. Теория применения преобразования Лапласа для решения уравнений с дробной производной была развита словацким математиком I. Podlubny [123]. Им же в работе [124] была дана физическая интерпретация начальных условий для уравнений с дробной производной. В монографии А.В. Псху [78] рассмотрены краевые задачи для модельных дифференциальных уравнений в частных производных дробного порядка. Получены решения краевых задач для уравнений с частными производными ниже первого порядка. Для диффузионного и волнового уравнений дробного порядка найдены функции Грина основных краевых задач. Получены условия типа Тихонова для диффузионно-волнового уравнения дробного порядка и для уравнения с частными производными ниже первого порядка. В работах С.Х. Геккиевот[27]-[29] исследованы краевые задачи для уравнений смешанного типа с оператором дробной диффузии [28]-[29] в одной из частей смешанной области, доказаны теоремьь существования и единственности решений аналогов задачи Трикоми в канонических областях. О. А. Репиным [86]-[89] рассматривались задачи для уравнений смешанного типа с дробными производными и интегралами в начальных условиях. Полученные результаты находят приложения в моделировании процессов автоматического регулирования [125], в механике [120] , различных технологических процессах [108], теории вязкоупругости [110], [128], биологии [69], [31], [109], [129], медицине [127], химии [122], математической психологии [111], [112] и в других отраслях знаний. Найти в области D решение u(x,y) уравнения (0.2) из класса функций DtyJ 1u(x,t) Є C{D), DQyu(x,t), uxx(x,y) Є C(D), удовлетворяющее граничному «(0,у) = 0, у 0 и начальным условиям lim DQ X ) — UJ(X), х 0, и(ж,у) = 0, (ж,з/) eD(_i), где а;(ж) - заданная непрерывная, достаточно гладкая функция, причем и (0) = а;(+оо) = 0. - 16 Решение задачи 1.3 найдено в форме +оо фундаментальное репіение задачи 1.2. из 2, в котором 5(Х, у) определяется равенством (0.3). Глава II посвящена задачам для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием. В 4 для уравнения (0.1) (/ = 0, 7і = 1, #i = 0, і = 0, / = 0, 72 = 0, S2 = 0 ) У) - D%yu{x, t) + j Д(0«(яг, y)d, у 0, (0 4) [ ихх{х, у) - иуу(х, у), у 0, +оо в области D = + (J D (J J, где Z)+ = (J Z?jf, fc=0 + = {(x, y) : 0 x T, kh у (k + l)h} (0 /i, r = const); J = {(x,y) : 0 x T, у = 0}, D - область, ограниченная характеристиками x + y = 0, ж — у = т (у 0) к отрезком [0,т] прямой у = 0, исследуется Задача 2.1. Найти решение и(х, у) уравнения (0.4) в области D, удовлетворяющее граничным и начальному условиям и (0, у) = и{т, у) = 0, 0 у +оо, - 17 u(x, —x) = ф(х), 0 x r/2; \ (ж,?/), (ж, г/) Є і) ; условиям сопряжения lim DQ xu{x,t) = lim u(x,y) = ш(х), 0 x г, lim yl aDQ u(x,t) = lim uy{x,y) = (ж), 0 ж r, где ф(х) - заданная, достаточно гладкая функция, причем ф(0) = 0. Доказана Теорема 2.1. Пусть функция ф{х) Є С[0, т] f]C2(0, т), R{y) -ограничена и ф(0) — 0. Тогда задача 2.1. имеет единственное решение, такое, что D 1u(x,t) Є C(D ), j/1_aDQVU(X, t) Є C(D+{J J), u(x,y) Є C(D ),uxx(x:y) e C(D+\JD-), uyy(x,y) Є C(D ). Вопрос существования решения задачи 2.1. сводится к разрешимости уравнения ш"(х) - Г(а)ш (х) = -Г(а)ф (х/2), 0 х т, при условии, что ш(0) = ш{т) = 0. В 5 в области D = D+ \J D \J J, где +oo D+ = [J D+, Df = {(ж, у) : \х\ +оо, to у (I + 1)Л}; +00 D = U Dfc D = {( 2/): - У х (к + г + У» -т/2 У }; fc=0 J = {(ж, г/) : 0 х +0О, у = 0}, (0 h, т = const), рассматривается уравнение (0.1) (/ = 0, 71 = 1, #1 = 0, й = 0, / = 1, 72 = 0, Л2 = 0 ) 0 = гл ж, 2/) - D%yu(x, t) + R{)u{x, у - f)df, 3/ 0, ,Q 5ч о uxx{x, у) - uyy(x, у) - H(x - т)и(х -г,у), у 0, - 18 для которого ставится Задача 2.2. Найти регулярное решение и(х:у) уравнения (0.5) в области D, удовлетворяющее начальным и граничным условиям limeys, ) = /( ), 0, и \ и(х,у), (х,у) Є D , и(х, кг — х) = фк(х), кг х (2к + 1)т/2; условиям сопряжения lim Dn uixA) = lim и(х.у) = ш(х), х Є J, 2/-Ю+ иу ч у- 0- ч v lim y1 aDQ u(x,t) = lim uy(x,y) = (rc), x Є J, 2/-»0+ v y-s-0 где /(ж), фк{х) - заданные непрерывные, достаточно гладкие функции. Здесь и далее под регулярным решением понимается класс, указанный в теореме 2.1. Доказана Теорема 2.2. Пусть функция f(x) Є С2(—оо,0) и абсолютно ин тегрируема на (—со, 0) вместе со своими производными; R(y) - огра ничена; фк(х) Є С [кг, (2k + 1)т/2] П С2 (кт, (2к + 1)т/2) и /(-оо) = 0, /(0) = -0О(О), lim max \фк(х)\ = 0. Тогда существует единственное регулярное решение задачи 2.2. в области D. В 6 для уравнения Г) і ХХ (ж, у) - D%yu(x, t) + / R()u(x, у - f )df, 2/ 0, ,Q g, о uxx(x,y) -uyy(x,y) - H(x - T)U(X - т,у),у 0, - 19 в области D — D+ [JD (J J, где +oo D+ = U D Dt = {(ж У) : x lh y {l + l)h} ; 1=0 + 00 Я" = U Dk Dk = {( У) :кт-у х (к + 1)т + у} -т/2 у 0} ; ifc=0 J = {{x,y) :x 0,y = 0} (0 h,T = const), поставлена Задача 2.3. Найти решение и{х,у) уравнения (0.6) в области D удовлетворяющее граничным и начальному условиям ЩХ У) \и(х,У), (x,y)eD-, «(0,у) = 0, 2/ 0; и(х, кг — х) — фк{х), кт х 2{к + 1)т/2; условиям сопряжения lim Dn xu(x,t) — lim ( , /) = а;(ж), ж Є J, у_ю+ иу v у у-Ю lim y1 aDZ,u(%,t) = lim гіи(ж,?/) = (ж), ж Є J, г/- 0+ иу 2/-»0- у где фк{х) заданные непрерывные, достаточно гладкие функции, причем Фо(0) = 0, lim max 1 ( )1 = 0. fc- +oo »Є[1Ьт,(2А:+1)т/2] Доказана Теорема 2.3. Пусть фк{х) Є С[кт; (2Jfc+l)r/2] f] С2{кт; (2fc+l)r/2) функция R(y) - ограничена и фо(0) = 0, lim max (а;) = 0. fc-Я-оо хЄ[кт,(2к+1)т/2] Тогда задача 2.3. имеет единственное решение такое, что D u(x,t) Є C(D+), y -"D%yu{x,t) Є C{D+{JJ), u(x,y) Є C(D"), UXx \X 5 , Uyy[X, У) Є C{D ). - 20 В главе III исследуются аналоги задач Геллерстедта для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробной производной по времени, распределенным и сосредоточенным запаздыванием, отклонением опережающе-запаздывающего типа и отражением. В 7, в области D = D+ (J D \J J, где D+ = Q D+, 1=0 Df = {(x, у) : \x\ +oo, lh y {l + l)h} ; +oo +oo k=0 fc=0 Dik = {(ж У) кт - у x (k + 1)т + у, -т/2 у 0} , D2k = {(xiV) -{к + 1)т-У х -кт + у,-т/2 у 0}, J = {(я, У) \х\ +, У = 0} , (0 h, т = const), рассматривается уравнение смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием при у 0 и отклонением опережающе-запаздывающего типа при у 0 (0.1) (/ = 0, 71 = 0, 01 = 1, й = 0, / = 0 , 72 = 1, й = 0 )Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка с распределенным запаздыванием
Начально-краевая задача для уравнения переноса с дробной производной и распределенным запаздыванием по времени на полуоси
Задача Коши для уравнения дробной диффузии с распределенным запаздыванием и функциональное соотношение
Задача Коши для уравнения дробной диффузии с распределенным и сосредоточенным запаздыванием по временной и пространственной переменным. Функциональное соотношение
Похожие диссертации на Начально-краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений с дробной производной и распределенным запаздыванием
