Введение к работе
Актуальность теш. Некоторые важные задачи математической физики (колебания упругих сеток,,колебания в электрических и гидравлических сетях, процессы в системе одномержк волноводов, элёктрогаше колебания сложных молекул и пр.} могут быть описаны с помощь» обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, заданного на геометрическом графе 1 с К- (в других терминах - на пространственных сетях).
Первые математические публикации для таких задач появились в Г983 году ( Павлов B.C., <їаддееп К.Д., Покорный R.B., Провоторова Е.Н.). В атих работах, также, как и в работе '. /V-icctise «5. (1986 г.) , использовались традиционные метода, что приводило либо к простым, либо к сложно описываемым результатам. Последовавшая далее серия работ Ю.В.Покорного и . его учеников основана на новом подходе, связанном с'введешь , ем понятия скалярного уравнения на графе и разработке качес-.; твенных методов анализа для таких уравнении, что привело к достаточно полной линейной теории: изучена неосцилляция та-' ких уравнений, теоремы сравнения типа теорем Штурма, аналоги задачи П'турма-Лиувилля, условия положительности функция Грина и пр. Для нелинейных уравнений на графах и краевых задач для них первые результаты получены при участии автора настоящей работы. Оказалось, чго применение общих методов нелинейного анализа требует значительно более глубокого изучения функции Грина линейных задач: условия ее непрерывности,' специальные двусторонние оценки и т.д. Именно этому кругу вопросов посвящена настоящая работа.
Целью работы является исследование нелинейных краевое задач для обыкновенных дифференциальных уравнений на графах и необходимый для этого -качественный анализ линейных задач.
Методика исследования. В диссертации используются метода качественной теорїіи краезых задач и современного анализа (теории положительных операторов в пространстве с конусом, топологические методы^ вращение векторного поля)и др.)
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Наиболее важіше из них?
необходимость неосцилляции дифференциального оператора для неотрицательности функции Грина )
необходимое и достаточное условие непрерывности функции Грина краевой задачи на графе ;
аналоги классических теорем Ктурмд о перемежаемости нулей для нелинейной задачи на графе j
условия существования полокительных рэшений краевой задачи на rpasje в случае положительных нелинейное?ей.
Практическая и теоретическая значимость. Работа Носит . теоретический харантер. Ее результаты могут использоваться в качественной теории краевых за^зч, в теории интегральных операторов, в нелинейноі.і анализе задач на графах.
Апробация работы. Оедорные результати -диссертации .докладывались на следущцих конференциях:
на Республиканской конферевдии "Теория и численные методы решения краевых задач дніу.еренцналышх урас-ненпн",-Рига, 1988 ;
на НУ шноле по теории операторов в фуннцяопальных пространствах.- Новгород, И'ПО ;
, - на Украинской научной конфереюдии "Рззрмвігие динаин-
- .5 -
ческие системи",- Ивано-Франковск, К90 ;
на Всесоюзной конференции "Интегральные уравнения и краевые задачи іїатеяіатической физики".- Владивосток, 1990 ;
на Воронежской весенней математической школе.-Воронеж, 1992 ;
а также на семинаре по качественной теории краевых задач про!. Покорного Ю.В. (1988 - 1992).
Публикации. По теме диссертации Опубликовано 5 работ. Из них. две выполнены "в соавторстве с научным руководителем, которому принадлежат постановка задач-и некоторые идей доказательств.
Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 99 страницах машинописного текста и состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Первая глава разбита на три параграфа, вторая и четвертая глава содержат по четыре параграфа, третья глава состоит из двух параграфов. Библиографический список содержит 32 Наименования.