Некоторые виды устойчивости в линейных системах с неограниченными коэффициентами Марголина Наталия Львовна

Показатели, связанные с устойчивостью

В этом пункте будут доказаны утверждения о совпадении некоторых формул изучаемых показателей неограниченных систем. ЛЕММА 2.1.1. Для любого неотрицательного to выполняется равенство Так как левая часть этого неравенства есть точная верхняя грань значений предела по всем последовательностям Я — +оо, то, по определению точной верхней грани, существует последовательность Нк — +оо, такая, что Значит, по свойству предела, начиная с некоторого номера ко это неравенство выполняется для всех членов последовательности Я/; с к ко. Перенумеровав По определению точной верхней грани, для любого Нк существует tk, такое, что для всех к Є N Если у последовательности tk существует подпоследовательность tkt 0) то, по свойству точной верхней границы, для всех номеров ki и, тогда, по свойству предела, Первое неравенство следует из (1.5), второе— из свойств точной верхней границы. Полученное неравенство противоречит (1.4), следовательно, все tk to, кроме, может быть, конечного их числа. Отбросив все члены последовательности tk, большие t0, получаем новую последовательность t k и, соответствующую ей, последовательность Н к, причем, t k и Н к удовлетворяют условию (1.4) для любого натурального к, и, кроме того, все t k t0. Для полученных последовательностей выполняется цепочка неравенств: Первое равенство этой цепочки следует из свойств оператора Копій. Второе неравенство—из свойств операторной нормы. Третье равенство—из свойств логарифма. Четвертое получается обозначением 0 — t k = Рк-, да 0 рк to. Пятое неравенство— использованием оценки Алл(,т) ет [3] [гл.З, 1, стр. 148]. Шестое— вытекает из неравенства: / А(т) іт /Л(т)с?т (т.к. О t k t0, Л(т) 0). Седьмое вытекает из свойства точной верхней границы: \\XA(t0 + Н к - pk,tQ)\\ sup \\XA(t + И, наконец, последнее равенство просто переобозначение Нк = Н к — рк, J \\A(r)\\dr — К, где К— постоянная, зависящая только от t0. о Переходя к верхнему пределу по к —У -foo ( при этом Н к — -foo и Нк — -foo, т.к. О Рл io), получаем: Последнее равенство приведенной цепочки следует из ограниченности рк. Неравенство противоречит (1.4), значит предположение /3Q(A) (3(A) неверно и j3Q(A) = (3(A).

Лемма доказана. ЗАМЕЧАНИЕ. ИЗ кусочной непрерывности оператор функции A(t) в уравнении (1) следует конечность интеграла / i4(r)dr при любых неотрицательных t и Т. При этом sup / Л(г)гіг может быть бесконечным. УТВЕРЖДЕНИЕ 2.1.1. Для систем вида (1) всегда выполняется Доказательство. В силу леммы 2.1.1 для любого неотрицательного 0 Перейдем в полученном равенстве к точной нижней грани по to СЛЕДСТВИЕ. ЕСЛИ оператор функция системы (1) интегрально ограничена, то показатель /3(A) совпадает с верхним генеральным показателем уравнения (1). ЛЕММА 2.1.2 (о КОНЕЧНОСТИ ВЕРХНЕГО ОСОБОГО ЧИСЛА). Пусть существуют Я0 О и действительная постоянная и такие, что выполняется тогда для любого натурального т Условие (1.6) означает конечность верхнего особого числа системы (1) (0(А) +оо). Доказательство. Из условий леммы следует Первое равенство этой цепочки обусловлено свойствами оператора Коши. Второе неравенство — свойствами операторной нормы. Третье равенство— свойствами логарифма. Четвертое неравенство следует из того, что точная верхняя грань суммы не превышает сумму точных верхних граней. И, наконец, последнее неравенство получено при помощи (1.7). Лемма доказана. УТВЕРЖДЕНИЕ 2.1.2. Для систем вида (1) всегда выполняется Доказательство. Очевидно 2. Пусть верхний особый показатель уравнения (1) конечен. Тогда, по определению точной нижней грани, для сколь угодно малого є 0 существует Н0 такое, что Тогда по лемме 2.1.2 для любого натурального т будет Так как нижний предел есть точная нижняя грань значений предела по всем последовательностям, по которым предел существует, то, используя свойство точной нижней грани, имеем Тогда по лемме 2.1.2 для любого натурального т будет Так как нижний предел есть точная нижняя грань значений предела по всем последовательностям, по которым предел существует, то, используя свойство точной нижней грани, имеем Такая последовательность тН0 существует для сколь угодно большого М 0. Значит Утверждение доказано. 2.2. Связь показателей с различными видами равномерной устойчивости. Известно [3][гл.З, 4, стр. 178],что из равномерной устойчивости системы (1) следует неположительность ее верхнего генерального показателя, а из отрицательности кд(А)— равномерная устойчивость системы (1). ЛЕММА 2.2.1. Система (1) остаточно равномерно устойчива тогда и только тогда, когда, существуют постоянные N, Н1 0 такие, что для оператора Коши этой системы, верно Доказательство. Достаточность. Пусть существует постоянные N, Н 0 такие, что для оператора Коши системы (1) выполняется оценка (1.8) Тогда для любого решения x(t) этой системы при t s + Н : s 0, получаем Первое неравенство этой цепочки следует из свойств нормы, второе— из (1.8). По теореме 1.2.2 система (1) остаточно равномерно устойчива. Необходимость. Пусть система (1) остаточно равномерно устойчива. По теореме 1.2.2 существует постоянные N, Н 0 такие, что для любого решения x(t) этой системы при t s + Н , s 0, выполняется Из равенства Хл( ,в) = max IM4J [2][гл.З, 7, стр. 100.] следует (1.8). ТЕОРЕМА 2.2.1. Показатель {3(A) остаточно равномерно устойчивой системы (1) неположителен. Система (1) с отрицательным показателем Р(А) остаточно равномерно устойчива. Доказательство. Необходимость. Пусть система (1) остаточно равномерно устойчива. По лемме 2.2.1 оператор Коши этой системы удовлетворяет соотношению (1.8) при некоторых N, Н 0. Тогда {3(A) = яШпо [ ln(sup\\XA(t + Я,ОН)) = = Шп" ( -ln(sup\\XA(l + H,t)\\)) Ш = 0.

Первое равенство обусловлено тем, что так как Н — +оо, то, без нарушения общности рассуждений, можно принять Я Я , неравенство следует из (1.8). Достаточность. Пусть {3(A) 0. Докажем, что для любого є 0 существует Н (є) такое, что для любого Н Н выполняется Действительно, если такого Я не существует, то для некоторого положительного є можно построить последовательность Я/; — +оо такую, что \n(snp\\XA(t + Hk,t)\\) p(A)+e. И, по определению верхнего предела, Выберем о таким, чтобы {3(A) + єо 0. Существует Я (ео) такое, что для любого Н Н \n(sup\\XA(t + H,l)\\) P(A)+e0 0. Отсюда, по свойствам экспоненты для любых t s + Н , s 0 По лемме 2.2.1 система (1) остаточно равномерно устойчива. Теорема доказана. ЛЕММА 2.2.2. Система (1) обладает совокупностью решений ограниченных равномерно по начальному отрезку, тогда и только тогда, когда существуют постоянные N, Но 0 такие, что для оператора Коши этой системы верно Достаточность. Пусть существует постоянные N, Н0 0 такие, что для оператора Коши системы (1) выполняется оценка (1.9) Тогда, для любого решения x(t) этой системы при любых ж( + тЯо) = \\XA(t + mH0,t)x(t)\\ \\XA(t + mH0,t)\\\\x(t)\\ N\\x(t)\\. Первое неравенство этой цепочки следует из свойств нормы, второе— из (1.9). По определению 0.1.6 система (1) обладает совокупностью решений ограниченных равномерно по начальному отрезку. Необходимость. Пусть система (1) обладает совокупностью решений, ограниченных равномерно по начальному отрезку. По определению 0.1.6 существует постоянные Но, N 0 такие, что для любого решения x(t) этой системы при любых t 0, т Є N выполняется Из равенства XA(i,s) = max jjfgjj [2][гл.З, 7, стр. 100.] следует (1.9). ТЕОРЕМА 2.2.2. Показатель QP(A) системы (1), обладающей совокупностью решений, ограниченных равномерно по начальному отрезку, неположителен. Система (1) с отрицательным показателем Q(A) обладает совокупностью решений ограниченных равномерно по начальному отрезку. Доказательство. Необходимость. Пусть система (1) обладает совокупностью решений, ограниченных равномерно по начальному отрезку. По лемме 2.2.2 оператор Коши этой системы удовлетворяет соотношению (1.9) при некоторых iV, Но 0. Тогда Первое равенство этой цепочки следует из утверждения 2.1.2, первое неравенство— из определения нижнего предела, второе— из (1.9). Достаточность. Пусть Q(A) = inf jj ln(sup \\XA(t + H,t)\\) J 0. По определению точной нижней грани для любого є 0 существует Н 0 такое, что ±ln(sup\\XA(t + H,t)\\) П(А)+є. Выберем Єо таким, чтобы Q(A) +SQ 0. Существует Но(єо) По лемме 2.1.2 для любого натурального т Отсюда, по свойствам экспоненты для всех t 0, т Є N По лемме 2.2.2 система (1) обладает совокупностью решений, ограниченных равномерно по начальному отрезку.

Условия совпадения показателей

Авторы [2] для систем с интегрально ограниченной оператор функцией определяют верхнее особое число дискретным способом. Этот способ дает более удобную ДЛЯ практических вычислений формулу [2][гл.З, 7-8, стр. 103-117 ]: В этой главе решается вопрос о возможности ее применения для неограниченных систем. Для величины d оказываются верными аналоги леммы 2.1.2 и утверждения 2.1.2. ЛЕММА 4.1.1. Пусть существуют Щ 0 и действительная постоянная и такие, что выполняется тогда для любого натурального т Доказательство. Из условий леммы следует Первое равенство этой цепочки обусловлено свойствами оператора Коши. Второе неравенство — свойствами операторной нормы. Третье равенство— свойствами логарифма. Четвертое неравенство следует из того, что точная верхняя грань суммы не превышает сумму точных верхних граней. И, наконец, последнее неравенство получено при помощи (2.6). Лемма доказана. 2. Пусть величина с?(Л) конечна. Тогда, по определению точной нижней грани, для сколь угодно малого є 0 существует Но такое, что Тогда по лемме 4.1.1 для любого натурального т будет Так как нижний предел есть точная нижняя грань значений предела по всем последовательностям, по которым предел существует, то, используя свойство, точной нижней грани, имеем выполняется для сколь угодно малого положительного є. Значит, учитывая получаем 3. если d(A) = — оо, то, по определению точной нижней грани, для сколь угодно большого М 0 существует Но такое, что Так как нижний предел по Я не больше нижнего предела по любой последовательности ( в часности по гаЯо), то Такая последовательность тЯ0 существует для сколь угодно большого М 0. Значит Утверждение доказано. 4.2. Условия совпадения формул. ТЕОРЕМА 4.2.1. Если для оператора Коши системы (1) при некотором Я 0 выполняется условие Доказательство. Из условия К = sup А д(,т) +оо по теореме 3.2.1 следует (3(A) +оо. Тогда для всех Н Н выполняется (2.4): Второе равенство этой цепочки обусловлено свойствами оператора Коши. Третье неравенство—свойствами операторной нормы. Четвертое неравенство— свойствами логарифма и свойствами точной верхней грани. Пятое следует из (2.7), так как Я + jt,j Н и Н + at Я . Шестое получается по свойству предела.

Седьмое обусловлено равенствами lim - -sup ІУ(Н + 7tn) = 0 и lim sur u(H + af) = О, которые следуют из ограниченности величин s\ipu(H + 7tj) и sup (# + atJ). Восьмое равенство получается из t + H + at = ktH0, девятое неравенство — из (2.9). Таким образом из (2.8) в силу произвольности выбора последовательности Н3 следует, что Пусть величина d(A) конечна, тогда, по определению точной нижней грани, для сколь угодно малого є 0 существует Н0 такое, что выполняется (2.8) с fi = d(A)+s, значит /3(A) d(A) +є. В силу произвольности выбора є получаем (3(A) = d(A). Если же d(A) = —сю, то, по определению точной нижней грани, для сколь угодно большого М 0 существует Щ такое, что выполняется (2.8) с д = —М, значит (3(A) -М, тогда 0(A) = -со. Теорема доказана. СЛЕДСТВИЕ. ДЛЯ системы (1) с конечным показателем /3 эквивалентны следующие понятия: 1. система остаточно равномерно устойчива, 2. система обладает совокупностью решений, ограниченных равномерно по начальному отрезку. Доказательство. Если показатель (3(A) системы (1) конечен, то по теореме 4.2.1 (3(А)=П(А). Если оба показателя отрицательны, то система (1) остаточно равномерно устойчива и обладает совокупностью решений, ограниченных равномерно по начальному отрезку по теоремам 2.2.1 и 2.2.2. Если же (3(A) = П(А) О, то система не обладает ни одним из видов равномерной устойчивости в силу тех же причин. Осталось рассмотреть случай (3(A) = Q(A) = 0. Достаточно показать, что, система вида (1) для которой (3(A) = П(А) = 0, обладающая совокупностью решений, ограниченных равномерно по начальному отрезку, будет остаточно равномерно устойчивой. По лемме 2.2.2, для такой системы существуют постоянные N 0, Н0 0 такие, что для ее оператора Коши выполняется (1.9) Так как {3(A) = 0, то по теореме 3.2.1 существует Н 0 такое, что выполняется (2.3) где j— произвольное фиксированное натуральное число, не меньшее 2. Всегда сущесткует fc0eN такое, что к0Н0 Н . Зафиксируем это к0. Для него найдется Іо Є N, jo 2 такое, что (ко + 1)Я0 jQH . С выбранным jo условие (2.3) примет вид Для любых s О, t s + Н суіцествуют две возможности Первое равенство получено по свойству опрератора Коши, первое неравенство — по свойству операторной нормы. Второе неравенство следует из (1.9), третье же неравенство следует из (2.3) так как Н коЩ коЩ + р (ко + 1)HQ JQH Получили для любых s 0, t s + Н значит по лемме 2.2.1 система (1) остаточно равномерно устойчива. Следствие доказано. ТЕОРЕМА 4.2.2. Если для оператора Коши системы (1) выполняется условие или, по критерию конечности [3] [гл.З, 4, стр. 174], Кд(А) +С) Доказательство. Из условия К — sup ХА( Т) +оо по [3] [гл.З, 4, стр. 174] следует кд(А) +со. Тогда кд(А) — /3(A) [3] [гл.З, 4, стр. 175] и по теореме 4.2.1 сразу получаем Kg(A)=/3(A) = Q(A) = d(A). Теорема доказана. СЛЕДСТВИЕ. ДЛЯ системы (1) с конечным верхним генеральным показателем эквивалентны следующие понятия: 1. система равномерно устойчива, 2. система остаточно равномерно устойчива, 3. система обладает совокупностью решений, ограниченных равномерно по начальному отрезку. Доказательство. Если верхний генеральный показатель системы (1) конечен, то по теореме 4.2.2 Если все три показателя отрицательны, то система (1) обладает всеми видами равномерной устойчивости по [3] [гл.З, 4, стр. 178], теоремам 2.2.1 и 2.2.2.

Если же то система не обладает ни одним из видов равномерной устойчивости в силу тех же причин. Осталось рассмотреть случай Достаточно показать, что, система вида (1) с нулевыми показателями, обладающая совокупностью решений, ограниченных равномерно по начальному отрезку, будет равномерно устойчивой. По лемме 2.2.2, для такой системы существуют постоянные N 0, HQ 0 такие, что для ее оператора Коши выполняется (1.9) Так как кд(А) = 0, то по критерию конечности верхнего генерального показателя и предложению 3.1.1 Для любых t s 0 существует т Є NU{0} такое, что тЩ t — s (т+ 1)Я0, тогда t = s + тНо + Первое равенство получено по свойству опрератора Коши, первое неравенство — по свойству операторной нормы. Второе неравенство следует из (1.9) и (2.10). Неравенство верное для любых t s 0, означает равномерную устойчивость системы (1) [3] [гл.З, 3, стр. Следствие доказано. 5. О мажорировании старшего показателя Ляпунова. Из определений верхних показателей следует, что в общем случае ТЕОРЕМА 5.1.1. Для любой системы вида (1) всегда верно Если для некоторого действительного и существует Н0 такое, что то по лемме 2.1.2 для любого т Є N Старший показатель Ляпунова уравнения (1) может быть вычислен по формуле [3] Покажем Аі(Л) и. Выберем произвольную последовательность tj — +СО по которой существует Для каждого члена этой последовательности существуют числа rrij Є N, pj Є R, такие, что Второе равенство этой цепочки следует из свойств оператора Коши. Третье неравенство— из свойств операторной нормы. Четвертое равенство— из свойств логарифма. Пятое неравенство вытекает из (2.11) Шестое получается с помощью свойства А"л(,т)\\ ет [3] [гл.З, 1, стр. 148]. Седьмое неравенство обусловлено неотрицательностью нормы. И, наконец, последнее равенство-кусочной непрерывностью и локальной ограниченностью оператор функции A(t). В силу произвольности выбора последовательности t,- — +со, по определению верхнего предела \г и. Если Г2(А) конечен, то, по определению точной нижней грани, для сколь угодно малого є 0 существует Н0 такое, что произвольности выбора є, Лг(А) НР(А). Если П(А) = +СО, то, очевидно Лі (А) QP(A). Осталось рассмотреть случай Г2(А) = —со. Тогда, для сколь угодно болыпого К 0 верно Г2(А) —К. По определению точной нижней грани, существует Н0 такое, что ±r]n(sup\\XA(t + H0,t)\\) -K. Но t o Значит и Лі (А) —К для сколь угодно большого К 0.Отсюда следует Лі (А) = Из неравенства сразу следует Теорема доказана. УТВЕРЖДЕНИЕ 5.1.1. Для любого п Є N существуют системы вида (1) с интегрально неограниченной оператор функцией, для которых Доказательство.

Достаточные условия конечности верхнего генерального показателя

Наряду с верхними показателями авторы работ [3], [2] вводят в рассмотрение соответствующие нижние показатели. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.1.1. [3] [гл.З, 4, стр. 171]. Нижним генеральным показателем к д(А) уравнения (1) назовем точную верхнюю грань чисел р\ для которых формула с Npt О, t г, t,r Є [0, +оо) справедлива для всех решений уравнения (1). КРИТЕРИЙ КОНЕЧНОСТИ. [3] [гл.З, 4, стр. 173] Для того чтобы нижний генеральный показатель уравнения (1) был конечен: необходимо и достаточно, чтобы Если нижний генеральный показатель конечен, то он представим формулой ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.1.2 [2] [гл.З, 7,8, СТР.111,119]. Определим нижний особый показатель и , как верхний особый показатель сопряженной системы, взятый с противоположным знаком. Учитывая, что между операторами Коши сопряженных систем существует связь [2][гл.З, 8, стр.119 ]: Аналогично определим нижний показатель р системы (1): ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.1.3. Заметим, что равенство к д(А) = —кд(—А ) верно и для нижнего генерального показателя. Этот факт следует из [2][гл.З, 8, стр.117 ]: х(т)\ maxlg \\XA{T,t)\\ \\Х?&т)\\ Таким образом на нижние показатели неограниченных систем переносятся все результаты о верхних. Для любого n Є N существуют системы вида (1), для которых В общем случае Приведенные неравенства доказывают, что для верхних и нижних показателей верно Чтобы получить основные результаты этого параграфа потребуются аналоги леммы 2.1.2 и теоремы 3.2.1. ЛЕММА 7.1.1. (о КОНЕЧНОСТИ НИЖНЕГО ОСОБОГО ЧИСЛА). Пусть существуют #0 О и действительная постоянная и такие, что выполняется тогда для любого натурального т Условие (2.14) означает конечность нижнего особого числа системы (1) (си0 (Л) —сю). Доказательство. Условие (2.14) и равенство Х_д.( ,r) = A J1(i,r) означают по лемме 2.1.2 конечность верхнего особого показателя сопряженной системы: Q(-A ) +00. Значит, по определению 7.1.2 ш(А) = -ОР(-А ) -со. Лемма доказана. ТЕОРЕМА 7.1.1.( КРИТЕРИЙ КОНЕЧНОСТИ ПОКАЗАТЕЛЯ (3І) Для того чтобы показатель (З (А) уравнения (1) был конечен: необходимо и достаточно, чтобы существовало Н 0 такое, что для всех Н Н выполнялось и = —/? (Л) + є, где е 0. Доказательство. Условие (2.15) по теореме 3.2.1 является необходимым и достаточным для /?(—А ) +СО, причем, если показатель (3{—А ) конечен, то можно взять и = (3{—А ) + є, є 0. Так как по определению 7.1.3 /5 (Л) = —/3(—Л ), то теорема доказана. 7.2. Конечность верхнего генерального показателя. ТЕОРЕМА 7.2.1. Если для показателей системы (1) выполняется: то верхний генеральный показатель этой системы конечен и кд(А) = Р(А). Доказательство.

Так как по (2.13) -оо ш(А) (3(A) +оо, то и0(А) и (3(A) - некоторые константы. Зафиксируем произвольное положительное е. По определению точной нижней грани, для него существует Щ(е) такое, что По лемме 7.1.1 для любого натурального т или \n(\\XA(t + H,t)\\) Н(р(А)+є) Н(\р(А)\+є), для любых t 0. Н Н . (2.17) Всегда существует натуральное mo такое, что (m0 - 1)#о Я т0Я0. Воспользуемся критерием конечности верхнего генерального показателя, покажем что Достаточно показать, что для любых t 0, 0 р 1 Первое неравенство этой цепочки получено логарифмированием. Второе следует из 2.16 и 2.17, а третье — из 0 р 1. Величина KQ определяется константами Но, Н и є, которые не зависят от tup, значит неравенство верно для любых t 0, 0 р 1 и верхний генеральный показатель кд(А) конечен. Теорема доказана. УТВЕРЖДЕНИЕ 7.2.1. (НЕУЛУЧШАЕМОСТЬ УСЛОВИЙ ТЕОРЕМЫ 7.2.1). Для любого п є N существуют системы вида (1), для которых кд(А) = +со, Q(A) +оо, и0(А) —сю. Доказательство. При п = 1 вычислим показатели системы (1.3): х = b(t)x, Так как точная верхняя грань по всем неотрицательным Н не меньше значения выражения по знаком sup при Н = 2-п, то, учитывая следствие леммы 1.3.4, получаем Построенная система естественным образом обобщается на случай более высокой размерности рассмотрением диагональной системы х = b(t)Ex, где Е - единичная матрица. Утверждение доказано. ТЕОРЕМА 7.2.2. Если для показателей системы (1) выполняется: то верхний генеральный показатель этой системы конечен и кд{А) = &{А). Доказательство. Так как по (2.13) то Q(A) и (З (А) - некоторые константы. Зафиксируем произвольное полжительное е. По определению точной нижней грани, для него существует іїо (є) такое, что По лемме 2.1.2 для любого натурального т Воспользуемся критерием конечности верхнего генерального показателя, покажем что Достаточно показать, что для любых t 0, 0 р 1 где KQ— константа, не зависящая от t и р. Первое неравенство этой цепочки получено логарифмированием. Второе следует из 2.18 и 2.19, а третье — из 0 р 1. Величина К0 определяется константами Н0, Н и є, которые не зависят от t и р, значит неравенство верно для любых О, 0 р 1 и верхний генеральный показатель кд{А) конечен. Теорема доказана. Решим вопрос об обратимости теорем 7.2.1 и 7.2.2. Рассмотрим функцию где fcN, E(") — 0, на полуинтервале [0,+oo). Там она определена, непрерывна и обладает следующими свойствами. Доказательство. Непосредственным интегрированием, используя периодичность косинуса, получаем УТВЕРЖДЕНИЕ 7.2.2. (НЕОБРАТИМОСТЬ УСЛОВИЙ ТЕОРЕМ). ДЛЯ любого п є N существуют системы вида (1), для которых кд(А) = /3(A) = $7(А) +со, а /? (Л) = ш(А) = -со. Доказательство. При п = 1 рассмотрим уравнение Воспользуемся критерием конечности верхнего генерш]ыюго показателя. В одномерном случае оператор Копій системы (2.20)— Первое равенство следует из неотрицательности экспоненты, неравенство обусловлено неположительностью функции g(t) на полуоси [0, +оо). По теореме 4.2.1 П(д) = /3(g) = кд(д) +оо. Оценим старший показатель Ляпунова уравнения (2.20). Подставляя в формулу старшего показателя Ляпунова [3] [гл.З, 4, стр. 170] Xg(t) = е и используя определение логарифма, имеем Первое неравенство этой цепочки получается по определению верхнего предела, второе равенство следует из аддитивности интеграла, третье — из леммы получается с помощью формулы суммы бесконечной геометрической прогрессии. Получили Вычислим нижний особый показатель уравнения (2.20) с помощью формулы В одномерном случае — д = —д, тогда Зафиксируем произвольное Н 0 для него всегда существует натуральное число к0 такое, что для любого к к0 будет выполняться - Н 2к+1. Тогда Первое неравенство этой цепочки следует из свойств верхней грани, второе равенство обусловлено аддитивностью интеграла и формулой g(t): третье — леммой 7.2.1.

Ограниченность решения

Представленная работа относится к той области качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, которая занимается вопросами, связанными с асимптотическим поведением решений линейных систем. Для исследования устойчивости и условной устойчивости движения А. М. Ляпуновым в [9] было введено понятие показателя. Показателем Ляпунова, или показателем экспоненциального роста, А/ функции f(t) действительного переменного, принимающей значения в нормированном пространстве, называется (In 0 считается равным —со). Показатель Ляпунова конкретной функции может быть действительным числом или одним из символов —сю, +СО. Спектром показателей Ляпунова линейной дифференциальной системы называют кортеж, составленный из показателей Ляпунова решений этой системы, образующих нормальный базис, расположенных в порядке невозрастания [9]. Отрицательность к-то показателя Ляпунова гарантирует условную устойчивость с индексом п — к + 1 нулевого решения. Условной устойчивостью А. М. Ляпунов назвал устойчивость по отношению к возмущению начальных значений, удовлетворяющих некоторому условию, состоящему в том, что возмущенные начальные значения должны принадлежать некоторму многообразию (проходящему через невозмущенное значение). Размерность этого многообразия называют индексом условной устойчивости. Старший показатель Ляпунова Ai осуществляет оценку верную для всех решений системы (1) и, поэтому, позволяющую судить в какой-то мере об их поведении в совокупности. Однако, здесь требуется известная осторожность, поскольку константа Вє, вообще говоря, зависит не только от є, но и от решения x(t). В работах [10], [11], [12] В. М. Миллионщиковым определены показатели Ляпунова семейсва эндоморфизмов метризованного векторного расслоения и получена формула А;-го показателя Ляпунова. Общая теория показателей Ляпунова подробно изложена во.многих источниках, весьма полный список которых можно найти в [7][ 1, Комментарий, стр. 29]. Развитие теории линейных систем привело к созданию целого ряда различных показателей. Один из показателей, служащий для оценки оператора Коши системы (1) введен впервые П. Болем в 1913 г. [1] под названием индекса [3] [гл.З, 4, стр. 211]. Позднее этот показатель был независимо введен К. П. Персидским [16] под названием особого [7][ 3, стр. 66]. В работе [3] [гл.З, 4, стр. 171-176] индекс Боля, взятый с противоположным знаком, называется верхним генеральным показателем кд.

Там же доказан критерий конечности верхнего генерального показателя и формула, по которой предлагается вычислять кд, если он конечен. Верхним генеральным показателем кд уравнения (1) называется точная нижняя грань чисел р, для которых формула \\x{t)\\ Npe \\x(r)l с Np 0, t т, t,r Є [0, +оо) справедлива для всех решений уравнения (1). Критерий конечности. Для того чтобы верхний генеральный показатель уравнения (1) был конечен: необходимо и достаточно, чтобы Здесь и ниже ХА($, т)-оператор Коши уравнения (1). Формула для кд. Если верхний генеральный показатель конечен, то он представим формулой В случае интегрально ограниченной оператор функции A(t): где M - константа, верхний генеральный показатель уравнения (1) всегда конечен. В дальнейшем ограниченной системой будем называть систему, матричная функция A(t) которой ограничена интегрально. В [2][гл.З, 7-8, стр. 103-117 ] верхний генеральный показатель уравнения (1) называется верхним особым числом и обозначается Q0. Там же приведены три способа его определения для ограниченных систем. Способ верхних функций. Верхним особым показателем П уравнения (1) назовем точную нижнюю грань чисел р, осуществляющих оценку \\ХА&т)\\ NneMW, с Np,e 0,і т,і,тЄ [0, +оо) . Учитывая утверждение [2][гл.З, 7, стр. 101 ]: Для матрицы Коши линейной системы (1) при любых фиксированных , г справедливо соотношение где max берется по всем решениям x(t) системы (1), способом верхних функций в точности определяется верхний генеральный показатель [3]. Способ стекловских усреднений. Авторами доказана эквивалентность этих определений в случае интегрально ограниченной оператор функции [2][гл.7, 19, стр.252 ] и возможность замены знака inf на lim. Определения показателей. В представленной работе рассматриваются показатели линейных систем с неограниченными коэффициентами. В этом случае равносильность приведенных определений может нарушаться (см. главу 2 диссертации). Становится необходимым закрепить за конкретными формулами обозначения, введенные упомянутыми авторами, или ввести новые. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.1.1. [3][гл.З, 4, стр. 171] Верхним генеральным показателем кд{А) уравнения (1) назовем точную нижнюю грань чисел р, для которых формула с Np 0, t г, t, г Є [0, +со) справедлива для всех решений уравнения (1). ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.1.2. [2][гл.З, 7-8, стр. 103-117 ] Показателем Боля р(А) уравнения (1) ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.1.3. [2][гл.З, 7-8, стр. 103-117] Верхним особым показателем Q(A) уравнения (1) назовем Разумеется, показателями Боля не исчерпываются всевозможные модификации показателей Ляпунова.

Библиография в обзорах Н. А. Изобова [5], [б] по теории показателей Ляпунова насчитывает несколько сотен наименований. В качестве примера могут быть приведены вспомогательные показатели, введенные в ряде работ В. М. Миллионщикова [13], [14], [15], экспоненциальные показатели, введенные Н. А. Изобовым [8]. Для оценки оператора Копій системы х = A(t)x служит и введенный Р. Э. Виноградом центральный показатель—О. [2][гл.З, 7-8, стр. 103-117 ], который определен, как точная нижняя грань интегральных средних ограниченных измеримых функций R(r), для которых при всех s t справедлива оценка Центральный показатель может быть также определен способом стекловских усреднений и дискретным способом. Наряду с верхними показателями авторы работ [3], [2] вводят в рассмотрение соответствующие нижние показатели. В случае системы с постоянными коэффициентами показатели: старший Ляпунова, верхний особый и центральный равны между собой. Для ограниченных систем справедлива цепочка Однако К. Е. Ширяевым [17] построен пример неограниченной системы, центральный показатель которой, определенный дискретным способом, меньше старшего показателя Ляпунова. Более полно о перечисленных показателях можно прочитать в [2], [3], [5]. Определения устойчивости. Верхний генеральный показатель служит для оценки равномерной устойчивости линейных систем. Для заданного натурального числа п рассмотрим линейную систему где A: R+ — EndR", /:R+ — Rn непрерывны или кусочно непрерывны, х Є Rn, и соответствующую ей однородную систему (1) ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.1.4. [4][гл.2, 1, стр.67] Система (2) (или (1)) называется равномерно устойчивой при t — +оо, если для любого ее решения х — x{t) и любого є 0 существует такое 5 0, что для любого t0 0 и произвольного решения у — у[t) этой системы, удовлетворяющего условию \\y(t0) — я(о) 5, выполнено.

Похожие диссертации на Некоторые виды устойчивости в линейных системах с неограниченными коэффициентами

Каноническая система двух дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами : вопросы существования периодических решений и их устойчивостиЖукова Анна Александровна

Теоремы единственности решения задачи Коши для эволюционных уравнений и систем с растущими коэффициентамиТуртин, Дмитрий Витальевич

Построение функции Ляпунова для линейных систем со случайными коэффициентамиХайтхам, Абдулраззак Махди

Некоторые классы двумерных интегральных операторов с подвижными и неподвижными особенностями и их приложения к краевым задачам для эллиптических систем с сингулярными коэффициентами Зарифбеков Мародбек Ширинбекович

Периодические решения систем дифференциальных уравнений с переменными коэффициентамиКоломина, Марина Владимировна

Непрерывные решения эллиптических систем на плоскости с сингулярными коэффициентами и краевых задачТунгатаров, Алиаскар

Непрерывные решения краевых задач для эллиптических систем на плоскости с сингулярными коэффициентамиКалинина, Галина Ахметовна

Вопросы разрешимости систем типа Коши-Римана с сингулярными коэффициентамиГончаров Алексей Леонидович

Интегральные представления решений для одного класса переопределенной системы дифференциальных уравнений с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами Мирзоев Неъматулло Хакимович

Совпадение классических и обобщенных решений некоторых краевых и смешанных задач для систем уравнений второго порядка с неограниченными младшими коэффициентамиСафиев, Эльшан Кавы оглы