Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Дифференциальные уравнения и краевые задачи четвёртого порядка на графах 37
1.1 Краткий обзор современного состояния исследований дифференциальных уравнений четвёртого порядка на графах 37
1.2 Методы исследования и подходы к изучению уравнений на графах 42
1.3 Основные понятия и обозначения 46
1.4 Математическая модель малых упругих деформаций плоской стержневой системы 54
1.5 Основные классы рассматриваемых краевых задач 63
Глава 2 Положительность функции Грина краевой задачи для уравнения четвёртого порядка на графе 68
2.1 Условия однозначной разрешимости краевой задачи 69
2.2 Условия вырожденности краевой задачи 76
2.3 Метод редукции 82
2.4 Общие свойства функции Грина 101
2.5 Критерий положительности функции Грина 110
2.6 О положительности функции Грина на бинарном графе 128
Глава 3 Осцилляционность функции Грина в случае графа цепочки 134
3.1 Постановка задачи 136
3.2 Представление функции Грина и ее ассоциированных ядер 140
3.3 Эффективный критерий положительности функции Грина 147
3.4 Свойства ассоциированных ядер функции Грина Go(x,s) 160
3.5 Условия осцилляционности функции Грина 169
3.6 Некоторые свойства функции Грина 179
3.7 Свойства спектра краевой задачи 189
3.8 Осцилляционность функции Грина краевой задачи общего вида 208
Глава 4 Неосцилляция уравнения четвёртого порядка на графе 227
4.1 Постановка задачи 229
4.2 Фундаментальная система решений уравнения четвёртого порядка на графе 229
4.3 Некоторые свойства решений однородного уравнения 231
4.4 Слабая неосцилляция уравнения 238
4.5 Об иерархии зависимости знакопостоянства решений краевых задач (4.2.1) и (4.2.2) 249
4.6 Сильная неосцилляция 260
4.7 О положительности функции Грина краевой задачи в общем случае 269
4.8 Критическая неосцилляция 282
Заключение 292
Литература
- Методы исследования и подходы к изучению уравнений на графах
- Условия вырожденности краевой задачи
- Свойства ассоциированных ядер функции Грина Go(x,s)
- Некоторые свойства решений однородного уравнения
Методы исследования и подходы к изучению уравнений на графах
Заметим, что формула (0.0.12) позволяет определить множество значений коэффициентов 5(аi), при которых функция Грина положительна (и осцилляционна) внутри своей области определения, как множество решений системы алгебраических неравенств.
В разделе 3.6 изучается поведение функции Грина задачи (Ві) в случае, когда она не является знакопостоянной. За основу в рассуждениях берутся результаты предыдущей главы и, в частности, теорема 0.0.6. Несмотря на то, что теорема 0.0.6 (в отличие от теоремы 0.0.10) не позволяет явно определить „критические" значения коэффициентов 5((li), при переходе через которые теряется свойство положительности (а значит, и осцилляционности) функции Грина, тем не менее, она имеет свои преимущества. Теорема 0.0.6 позволяет получить некоторые результаты качественного характера. В частности, удается „оценить" границы области положительности функции Грина.
В случае, когда граф состоит из двух ребер (а, а\)} (а\,Ь) (а а\ Ь) и одной внутренней вершины а\ (случай п = 1), соответствующий результат формулируется следующим образом.
Теорема 0.0.12 Пусть функция щ(х) равна нулю в точке Х\ Є (а, а{), а функция иa(х) равна нулю в точке х і Є (a\,b). Тогда функция Грина краевой задачи (В\) строго положительна на множестве, получаемом удалением из квадрата (a,b) х (а, Ъ) двух открытых прямоугольников (а,х\) х (х2,Ь) С (а, 2і) х (ai,b) и (x2,b) х (a,xi) С (ai,b) х (а, а{).
Дальнейшие результаты раздела 3.6 посвящены вопросу о зависимости знакопостоянства функции Грина задачи (Ві) на графе-цепочке от значений коэффициентов краевых условий. Теорема 0.0.13 Знакопостоянство функции Грина краевой задачи Дирихле (В\) на графе-цепочке не зависит от значений коэффициентов $(-),/3(-) 0 краевых условий. Отметим, что на графе не гомеоморфном отрезку теорема 0.0.13 не является верной. В следующем разделе 3.7 рассматривается спектральная краевая задача, соответствующая задаче (Bi). Исследуется поведение точек спектра в зависимости от значений коэффициентов 5{аІ). Показано, что спектр краевой задачи можно разбить на две части, одна из которых при изменении значений 5{СІІ) является подвижной, а другая остается неподвижной. С увеличением коэффициентов 5(аІ) собственные значения, принадлежащие подвижной части спектра, возрастают, причем не исключается возможность двукратного вырождения некоторых собственных значений.
Пусть ASiv...:sim = {Aj№i,um)}Lo спектр краевой задачи (Ві) в случае, когда отличными от нуля являются только коэффициенты 5{сцт): 1 т п. При этом считаем, что каждое собственное значение входит в последовательность столько раз, какова его кратность. Теорема 0.0.14 Если 0 5[ 5 оо7 то при любом j = 0,1, 2,... выполнены неравенства Xj(54,..., um_1? 6 im) Xj(54,..., Si S -J XJ+i(54,..., Si S iJ. При этом, равенство каких-нибудь частей двойного неравенства имеет место тогда и только тогда, когда их общее значение принадлежит А г..д и ему соответствует собственная функция, равная нулю в точке щт. В последнем, восьмом, разделе главы теорема 0.0.11 обобщается на задачу (Ai). Такое обобщение получается путем сведения многоточеч 25 ной краевой задачи (А) к двухточечной краевой задаче для интегро -дифференциального уравнения x D:iu(x) - D:iu(a) + udH = F{x)-F{a), х Є [а,Ь], (0.0.13) a с краевыми условиями (0.0.6). В уравнении (0.0.13) интеграл понимается в смысле Римана-Стильтьеса, р(х) и q(x) те же, что и в (0.0.5), а Н{х), F{x) eBV[a,b]. Показывается, что Теорема 0.0.15 Краевая задача (Ai) эквивалентна краевой задаче (0.0.13), (0.0.6) при условии, что В четвёртой главе диссертации развивается теория неосцилляции уравнений четвёртого порядка на графе без циклов. Рассуждения ведутся для уравнения (0.0.5), порождаемого соотношениями (0.0.1) и (0.0.2), (0.0.3), хотя, как уже отмечалось в замечании 0.3.2, все результаты справедливы и для уравнения, определяемого соотношениями (0.0.2), (0.0.10). В классической теории линейное однородное уравнение п-го порядка называется неосциллирующим на промежутке /С I, если любое его нетривиальное решение имеет не более п — 1 нулей (с учетом кратностей). Свойство неосцилляции играет ключевую роль в качественной теории дифференциальных уравнений и неравенств. Оно имеет самые различные приложения в теории краевых задач [77, 29]. Естественно, что это свойство играет решающую роль и для краевых задач на графах. Особо отметим связь неосцилляции со знаковыми свойствами функции Грина краевых задач. Неосцилляция уравнения второго порядка на отрезке [а, Ь] означает невозможность нетривиальным решениям однородного уравнения иметь два различных нуля на отрезке, причем это свойство оказывается эквивалентным, с одной стороны, существованию положительного на полуинтервале [а, Ь) решения уравнения, а с другой стороны - положительности функции Грина задачи Дирихле для соответствующего уравнения второго порядка. Что касается уравнения второго порядка на графе, то определение неосцилляции через количество нулей решений оказалось неэффективным. Поэтому определение неосцилляции было модифицировано путем замены „числа нулей" на „число S— зон". 5 -зона является для непрерывной на графе Г функции аналогом промежутка между нулями, а точнее, 5 -зона - это подграф графа Г, на котором функция сохраняет строгий знак и на границе которого она равна нулю. В терминах 5 -зон уравнение второго порядка на графе не осциллирует, если любое его нетривиальное решение не имеет 5 -зон на графе. При этом, как и в случае уравнения на отрезке, условия неосцилляции уравнения второго порядка на графе оказались эквивалентны, с одной стороны, положительности решений специальных задач Дирихле, а с другой стороны - положительности функции Грина задачи Дирихле. Причем при других краевых условиях функция Грина может оказаться
Условия вырожденности краевой задачи
Причем такая ситуация имеет место даже для физически осмысленных краевых задач и, в частности, для модели плоской стержневой конструкции с условиями жесткой спайки в узлах и любыми (реальными) условиями закрепления стержней на границе. В связи с этим, становится понятно, что, в отличие от уравнений второго порядка, для уравнений четвёртого порядка на графе получение точных аналогов основных фактов классической теории неосцилляции, по всей видимости, невозможно.
Тем не менее, в качестве основного постулата теории выдвигается связь неосцилляции и знакопостоянства функции Грина тех или иных классов краевых задач. Поэтому построение теории неосцилляции уравнений четвёртого порядка на графе ведется с учетом таких фактов классической теории неосцилляции и теории неосцилляции уравнений второго порядка на графах как эквивалентность свойства неосцилляции положительности функции Грина некоторых краевых задач, с одной стороны, и положительной разрешимости специфических краевых задач, с другой стороны. Такой подход позволяет выявить тесную связь неосцилляции с целым комплексом разнообразных вопросов качественной теории - принцип максимума, свойства решений дифференциальных неравенств четвёртого порядка на графе, осцилляционность функции Грина некоторых краевых задач четвёртого порядка.
В данном разделе приводится набор понятий, характерный для задач на геометрических графах, а также вводятся систематически применяемые ниже обозначения и термины. Некоторые из них будет удобнее вводить по ходу изложения. Во избежание недоразумений уточняется смысл ряда употребительных терминов с неустановившимся значением.
Под геометрическим графом в настоящей работе понимается ограниченное связное множество, имеющее структуру сети и вложенное в К. . Ребро графа — это интервал в!2,а вершина графа — точка, являющаяся концом одного или нескольких ребер. При этом ребра графа занумерованы, вследствие чего мы будем приписывать им некоторый индекс и обозначать через 7«, а вершины — через а, Ь или dj, bj. При этом предполагается, что нумерация вершин независима от нумерации ребер (см. рис. 1.1.1 ниже). Граф мы обычно будем обозначать Г.
Обозначим через V(V) - множество всех вершин графа, а через J (Г) -множество вершин графа, которые являются концевыми точками двух и более ребер. Такие вершины мы называем внутренними. Вершины графа, не принадлежащие /(Г), будем называть граничными и обозначать их множество через дТ. Мы считаем, что граф Г - это объединение множества всех его ребер и множества всех внутренних вершин: Г:= MJ7iJUJ(r). При нашем определении граничные вершины в граф не входят. В общепринятом алгебраическом понимании [30] граф состоит из множества Q, элементы которого называют вершинами графа, и из пар (упорядоченных или неупорядоченных) элементов из Q, которые называют ребрами; ребра служат для выделения определенных связей между вершинами. В нашем же понимании (геометрическом) граф - это множество, включающее не только вершины (кстати, не обязательно все вершины!), но и все точки интервалов, образующих ребра, т.е. в геометрической интерпретации графа его вершины и ребра являются множествами одной природы - они есть подмножества К. . Если вершина а является концевой точкой ребра 7ь т0 будем гово 48 рить, что ребро 7i примыкает к вершине а. Иногда ребро примыкающее к граничной вершине а Є дТ нам будет удобнее обозначать 7a- Поскольку при нашем определении границы дТ графа к каждой граничной вершине а Є дТ примыкает ровно по одному ребру, то такое обозначение лишено двусмысленности. Вершины а и Ь графа будем именовать смежными, если они являются различными концами некоторого ребра.
Свойства ассоциированных ядер функции Грина Go(x,s)
В данной главе рассматривается краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения четвёртого порядка на геометрическом графе, являющаяся моделью стержневой конструкции с условиями жесткой спайки стержней в местах сочленения. Основной интересующий нас в этой главе вопрос - это условия положительности соответствующей функции Грина, которая в отличие от случая задач для уравнения с условиями шарнирного (или упруго-шарнирного) соединения может быть знакопеременной. В разделах 2.1, 2.2 будут изучены условия однозначной разрешимости самой общей краевой задачи (А), обеспечивающие сам факт существования функции Грина, а в разделе 2.3 - разработан метод редукции для задачи (А) на графе-дереве. Далее, в разделе 2.4, формулируются некоторые вспомогательные утверждения для функции Грина задачи (А). К сожалению, решить вопрос об условиях положительности функции Грина задачи (А) в общей постановке задачи пока не удается. Поэтому приходится накладывать дополнительные ограничения на данные задачи. В разделе 2.5 будет сформулирован критерий положительности функции Грина задачи (В), который играет основополагающую роль в следующих главах. Условия положительности функции Грина задачи (В) даются в терминах свойств однозначно определяемой системы решений однородного уравнения (1.5.6), что позволяет осуществлять их эффективную проверку с применением численных методов. И наконец, в последнем разделе 2.6 данной главы рассматривается один исключительный случай, когда дифференциальный оператор четвёртого порядка на графе допускает факторизацию в виде двух дифференциальных операторов второго порядка. Показывается, что в этом исключительном случае соответствующая функция Грина положительна.
Краевую задачу (А) назовем невырожденной} если соответствующая однородная задача имеет только тривиальное решение.
Очевидно, что задача (А) однозначно разрешима для любой правой части / Є С [Г] тогда и только тогда, когда она невырождена. Прежде, чем приступить к исследованию вопроса о невырожденности краевой задачи (А), предварительно установим одну вспомогательную формулу, к которой впоследствии будем не раз обращаться. Пусть z(x),w(x)- функции класса С4(Г), удовлетворяющие условиям (1.5.2). Умножая функцию w на Lz и интегрируя по частям, имеем Lz wdx = / (pz")"w — {qz ) w + hzw dx г г = [{рг")иі - Dlzw]x=a адГ + 2 2 \(P i)w iv Dlz wHx=a + / pz"w" + qz w + hzwdx. Для произвольной внутренней вершины а Є /(Г) рассмотрим сумму У [{Ptz")w w - Dizlvw x=a. iGl(a) Привлекая условия непрерывности функции w(x) в вершине а Є «/(Г), получим Y i(p )ww - Dl wi\x=a = Y (PiZiWM - w(a) Yl DlzM iGl(a) iGl(a) iGl(a) Далее используя условия для первых производных функции w(x) из (1.5.2), при некоторых базисных индексах j, к Є /(а), разобьем первую сумму справа на две суммы: Yl (p iWM iGl(a) = w kv{a) Y ttki{a)Pi{a)z"{a) + w 3V{a) aJt(a)pt(a)z (a) іІ(а) iGl(a) Напомним, что для базисных индексов j, к Є 1(a) мы всегда полагаем ajj(a) = акк(а) = 1, ctjk(a) = ot-kj(a) = 0. Поскольку функция z(x) удовлетворяет в вершине а условиям (1.5.2), то обе суммы справа равны нулю и мы приходим к равенству Y [(PiZiWiv DlztWi\x=a = -w(a) Y Dl (a) іІ(а) iGl(a) Таким образом, получаем, что для любых функций z(x), w(x) Є С4(Г), удовлетворяющих условиям (1.5.2), имеет место формула /іг.» = Ф К(а)- («м«) аЄдГ аЄдГ 2.1.Ґ — 2_] w(a) 2_J Dlzi(a) + pz"w" + qz w + hzw dx. a(EJ(r) ІЄІ(а) p Теперь мы можем приступить к исследованию невырожденности краевой задачи (А). Теорема 2.1.1 Пусть дГ ф 0. Если в уравнении (1.5.1) функция q(x) такова, что qi(x) ф 0 для каждого ребра І Є Г7 то задача (А) невырождена. Пусть и{х)- некоторое решение однородного уравнения Си = О, удовлетворяющее краевым условиям (1.5.5). Умножим функцию и на Си и проинтегрируем по всему графу Г. Тогда, привлекая формулу (2.1.1), получим О = / Си udx = 2_, р{а)и" {a)u v{a) — 2_\ D?lu(a) и(а) р аедГ аедГ - 2 и(а) DluM + / P(U"Y + УЫ)2 + hu2 dx. a(EJ(T) ІЄІ(а) p Поскольку функция u(x) удовлетворяет на /(Г) однородным условиям (1.5.3), то из последнего равенства получаем 2_] р{а)и" {a)u v{a) — 2_\ Df,u(a) и (а) аедГ аедГ + Y16 а 2 + / p(u"Y+q(u Y + hy2 dx = - (2Л-2) a(EJ(r) р Здесь все внеинтегральные слагаемые неотрицательны. Это следует из условия 5(a) 0, а Є /(Г), краевых условий (1.5.5) и знаковых свойств коэффициентов этих условий. Неотрицательным является и интеграл. Это, в свою очередь, следует из знаковых свойств функций р(х) и q(x). Следовательно, каждое внеинтегральное слагаемое и интеграл в (2.1.2) равны нулю. Более того, из условия inf р(х) 0 следует, что и"(х) = О о жЄГ о на Г, а из неравенства Qi(x) ф 0, справедливого на каждом ребре 7« С Г, о следует, что и (х) = 0 на Г. Последнее, вместе с условием и(х) Є С(Г), о означает, что и(х) = const на Г, а значит, Dzu(x) = 0 на Г. Поскольку и(а) + a(a)Dlu(a) = 0 в каждой граничной вершине а, то и(а) = 0.
Некоторые свойства решений однородного уравнения
В настоящей главе рассматривается краевая задача (А) в случае когда граф Г является цепочкой, т.е. состоит из последовательно соединенных ребер. В случае задачи на графе-цепочке результаты предыдущей главы допускают существенное продолжение и развитие. В частности, для задачи (А) на графе-цепи будут установлены алгоритмически эффективные условия положительности и осцилляционности соответствующей функции Грина.
Впервые осцилляционные ядра были исследованы Келлогом [158] [160], и далее теория таких ядер была развита в работах Ф.Р. Гантмахера и М.Г. Крейна [22, 23, 46, 47]. Изучению знакорегулярных и осцилляци-онных свойств функций Грина двухточечных краевых задач посвящено множество работ, среди которых мы выделим работы А.Ю. Левина и Г.Д. Степанова [81, 81], [121] [123], а также, монографию С. Карлина [156] и работы И. Шенберга [179] [181]. Вопросам, связанным с функцией Грина разрывных краевых задач, посвящен целый цикл работ Ю.В. Покорного, А.В. Боровских и К.П. Лазарева, в которых изучались вопросы о принадлежности функций Грина разрывных краевых задач к классам осцилляционных и знакорегулярных ядер [13, 14, 15, 97, 101, 109]. В частности, в [97, 101] установлена „почти" осцилляционность функции Грина неклассической задачи Валле-Пуссена, а в работе [109] была доказана осцилляционность функции влияния краевой задачи, моделирующей малые деформации цепочки шарнирно сочлененных стержней. Достаточные условия знакорегулярности функции Грина разрывных краевых задач, обобщающие известный результат Калафати-Гантмахера-Крейна [44, 81], формулируются в работе [11].
В центре нашего внимания - задача о „балке с упругими опорами". Вопрос об осцилляционности функции Грина этой задачи нетривиален даже в случае одной опоры: если жесткость опоры равна нулю, то выполнены достаточные условия знакорегулярности (а значит и осцилляционности) функции Грина, сформулированные в работе [11]. Если же жесткости опор стремятся к бесконечности, то мы в пределе получаем функцию Грина так называемой „задачи с шарнирной опорой", которая меняет знак „в шахматном порядке" (эта задача и ее обобщения исследовались Н.В. Азбелевым, Ю.В. Покорным, В.Я. Дерром и А.Л. Тептиным (см. работы [28, 82, 97, 125] и библиографию в них). Поэтому актуальным является вопрос, до каких пор можно увеличивать жесткость опоры, чтобы функция Грина оставалась осцилляционным или хотя бы положительным ядром.
В данной главе будут установлены необходимое и достаточное условия положительности функции Грина „задачи о балке с упругими опорами". Эти условия определяют множество значений коэффициентов жесткости опор, при которых функция Грина положительна внутри своей области определения, и вне которого у нее теряется свойство знакопостоян-ства. Указанное множество определяется системой алгебраических неравенств, что позволяет осуществлять эффективную компьютерную проверку знакопостоянства функции Грина. Также доказывается, что положительность функции Грина эквивалентна ее осцилляционности. При этом будет показано, что для задачи Дирихле осцилляционность функции Грина не зависит от способа закрепления концов.
Поскольку краевая задача (А), заданная на графе-цепочке по сути есть не что иное как „классическая" многоточечная краевая задача, то нам представляется целесообразным рассматривать ее не как краевую задачу на графе, а как многоточечную краевую задачу на отрезке. Г = (а, Ь) \ {а{}=1. Для единообразия иногда будем считать а = 2о, Ь = ап+\. Через С [Г] обозначим пространство функций, равномерно непрерывных на каждом из интервалов (aj_i,ctj) при і = 1,п+ 1. Для функций из С [Г] в каждой точке Є [а, Ь] заведомо существуют пределы it( — 0) = lim и(х), it( + 0) = Нт и(х) (при = а или = Ъ имеет смысл, х , х , х х естественно, только один из этих пределов). Простым скачком функции и{х) Є С [Г] в точке х = назовем величину Д«(0 = «( + 0)-«(-0). При этом мы полагаем и(а) = и(а — 0) и и(Ь) = и{Ъ + 0). Через Ск[Т] обозначим пространство функций из С [Г], имеющих к производных, также принадлежащих С [Г]. Пространства С [Г] допускают естественную к нормировку itА; = Yl sllP \и (х)\ j=0 хЄГ Рассматривается дифференциальное уравнение (р(х)и")" - (q(x)u ) + h(x)u = f(x), х Є f, (3.1.1) с коэффициентами р(х) Є С2[Г], іпї р(х) 0, q(x) Є С1 [Г], q(x) 0 жЄГ на Г, h(x) Є С [Г], h(x) 0 на Г, f(x) Є С [Г], дополненное в точках щ 137 (і = l,n) - условиями согласования Лм(аi) = 0, Au (a,i) = О, (3.1.2) А(ри"){ ц) = О, AD:iu{ai) + 6iи{аi) = f{ai), где через D u в (3.1.2) обозначена третья квазипроизводная (р(х)и") — q(x)u } a Si и f(di) - заданные числа. В данной главе мы по-прежнему придерживаемся синтетического подхода и смотрим на систему соотношений (3.1.1), (3.1.2) как на единый объект Cu = f(x), ж Є Г, (3.1.3) левая часть Си которого - это левая часть уравнения (3.1.1) вместе с условиями для функции и её первых двух производных из (3.1.2), а также левой частью условия с третьими производными. Правая часть уравнения (3.1.3) - это правая часть (3.1.1) при ж Є Г и правая часть f{cii) из (3.1.2) при х = di: і = 1,п. Если в (3.1.3) h(x) = 0 для оператора С по-прежнему придерживаемся отдельного обозначения L. Решением дифференциального уравнения (3.1.3) будем называть всякую функцию и(х) Є С4[Г], удовлетворяющую обыкновенному дифференциальному уравнению (3.1.1), а в точках аi - условиям (3.1.2). Тогда краевая задача для уравнения (3.1.3) - это система (3.1.1), (3.1.2) вместе с какими-нибудь граничными условиями.