Содержание к диссертации
Введение
1 Некоторые сведения из теории стратифицированных множеств 18
1.1 Стратифицированное множество 18
1.2 Мера и дивергенция 22
1.3 Градиент и лапласиан 26
2 Сильный принцип максимума 32
2.1 Постановка задачи 36
2.2 Лемма о нормальной производной
2.2.1 Постановка задачи 38
2.2.2 Доказательство 39
2.2.3 Построение барьерной функции 41
2.2.4 Случай симплициального комплекса 44
2.2.5 Случай выпуклых стратов
2.3 Сильный принцип максимума для оператора в координатной форме 50
2.4 Принцип максимума для параболического оператора
2.4.1 Постановка задачи 52
2.4.2 Доказательство 54
3 Теорема об устранимой особенности для гармонической функции 57
3.1 Постановка задачи 58
3.2 Замечания о функциональных пространствах 63
3.3 Принадлежность классу гладкости
3.3.1 Сходимость по весу 67
3.3.2 Доказательство гладкости 77
3.4 Продолжение по непрерывности 82
3.4.1 Лемма о сходимости к константе 82
3.4.2 Доказательство непрерывности 90
3.5 Свойства гармонических функций 93
4 Представление гармонической функции через граничные значения 97
4.1 Вспомогательные построения 97
4.2 Доказательство 101
4.3 Лемма о разложении 106
Заключение
Введение к работе
Актуальность темы. В последнее время всё большее внимание специалистов привлекают дифференциальные уравнения на так называемых стратифицированных множествах. Грубо говоря, стратифицированное множество - это множество, составленное из "кусков" (стратов) различной размерности. Такими множествами удобно описывать различные физические системы, которые состоят из элементов различных размерностей или с разными физическими характеристиками. Процессы, протекающие в таких системах, приводят к необходимости обобщения понятия "дифференциального уравнения" на случай стратифицированного множества.
Например, мы можем рассмотреть систему из мембран, одни участки границы которых закреплены, а другие склеены между собой некоторым образом. Формально, для изучения подобных систем строить теорию уравнений на стратифицированных множествах не требуется. Каждый элемент описывается неким дифференциальным уравнением, а их взаимодействие между собой -некими дифференциальными соотношениями (обычно называемыми условиями трансмиссии). В первых работах на эту тему (G. Lumer, S. Nicaise, J. von Belov и др.) так и делалось. Но в основном все вопросы сводились только к разрешимости соответствующих краевых задач.
Однако для получения результатов качественного характера - принципа максимума, леммы о нормальной производной, теоремы об устранимой особенности и т.д., потребовался иной подход, первоначально применённый при изучении так называемых дифференциальных уравнений на геометрических графах (Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин и др.). Он основан на интерпретации всех дифференциальных соотношений, возникающих в системах подобного типа, в виде одного уравнения, содержащего операции дифференцирования по так называемой стратифицированной мере.
У этого подхода есть два преимущества. Во-первых, он согласуется с физической природой рассматриваемых задач. А во-вторых, он позволяет обнаружить аналогию с классическим случаем. Это обстоятельство позволило существенно продвинуться в изучении вопросов качественной теории. Однако, как правило, они получались при ограничениях на размерность стратифицированных множеств. Лишь недавно стали получаться результаты общего характера.
Данная работа посвящена развитию некоторых известных и получению новых результатов качественного характера. Основным результатом работы явля-
ется теорема об устранимой особенности для гармонических функций на стратифицированных множествах. Она утверждает, что объединение стратов, размерность которых не превышает п — 2, где п - максимальная из размерностей стратов, образуют устранимое множество. Это открывает дорогу для доказательства классической разрешимости задачи Дирихле для лапласиана на стратифицированном множестве методом Перрона-Пуанкаре. Ранее это удавалось сделать только для двумерного случая (S. Nicaise, О.М. Пенкин).
Кроме того, получено продвижение (в сравнении с имеющимися результатами) в вопросах сильного принципа максимума и леммы о нормальной производной. Кроме того, получена формула Пуассона для гармонической функции на стратифицированном множестве.
Цель работы. Доказательство аналога теоремы об устранимой особенности, обобщение леммы о нормальной производной и сильного принципа максимума, получение формулы Пуассона для гармонической функции на стратифицированном множестве.
Методика исследования. В работе использованы методы классического математического и функционального анализа и теории дифференциальных уравнений с частными производными, а так же элементы математического анализа на стратифицированного множества.
Научная новизна. Все результаты автора, приведённые в диссертации, являются новыми. В числе них отметим следующие:
-
теорема об устранимой особенности для гармонической функции на стратифицированном множестве,
-
лемма о нормальной производной и сильный принцип максимума на стратифицированном множестве,
-
представление гармонической функции на стратифицированном множестве через свои граничные значения.
Приведённые выше результаты являются аналогами классических теорем для случая стратифицированных множеств. Они доказаны в общем виде, в такой постановке они получены впервые. Теорема об устранимой особенности ранее была доказана для случая двумерного стратифицированного множества. Лемма о нормальной производной и сильный принцип максимума были дока-
заны для двумерного случая и для многомерного, но с ограничением на геометрию стратифицированного множества (случай симплициального комплекса). Теорема о представлении гармонической функции на стратифицированном множестве через свои граничные значения ранее не рассматривалась.
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы при изучении эллиптических операторов как в классическом случае, так и на стратифицированных множествах.
Апробация. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в г. Суздаль [3], воронежских зимних и весенних математических школах [4], международной конференции "Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования" в г. Воронеж [5], международной конференции "Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий" в г. Воронеж [6].
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1-6]. Из совместных работ [1-3] в диссертацию включены только результаты, лично принадлежащие автору. Работы [1, 2] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, содержащих 14 параграфов, заключения и списка литературы из 33 наименований, включая работы автора. Объем диссертации составляет 113 страниц машинописного текста. Текст иллюстрируют 7 рисунков.
Градиент и лапласиан
В условиях приведённого рисунка лёгкий лапласиан совпадает с классическим в двумерных стратах, а на одномерных стратах, не входящих в границу, это нормальная производная по внутреннему направлению. Функция, равная нулю на а2\ и единице на 0"22, удовлетворят всем дифференциальным соотношениям, но непрерывность в точке нульмерного страта нарушена. И как бы не продолжить функцию на страт o"oi, гармоническая функция не получится.
Условия, которые требуются, мы называем усиленной прочностью стратифицированного. Подобного рода условия возникали ранее и при рассмотрении других вопросов (в основном связанных с разрешимостью задачи Дирихле).
Заметим, что эти требования обусловлены не только формальными, но и физическими соображениями. Рассмотрим, например, систему из двух кубов, которые примыкают друг к другу по ребру. Пусть эта система находится в теп ловом равновесии. Эту конструкцию из двух кубов можно рассматривать как стратифицированное множество. Функция температуры будет гармонической на каждом кубе. Очевидно, что тепловой обмен между двумя этими кубами невозможен, т.к. зона контакта между ними имеет нулевую площадь. Т.е. по сути эти два куба являются независимыми. Требование непрерывности на общем ребре сделало бы задачу переопределённой.
Доказательство теоремы об устранимой особенности оказывается довольно сложным и занимает (вместе с разными вспомогательными утверждениями) 30 стр. текста. В классическом случае теорема об устранимой особенности доказывается в рамках теории потенциала. Для этого используется представление гармонической функции с помощью потенциала. В случае стратифицированных множеств теория потенциала ещё не развита, поэтому для доказательства теоремы используются совершенно другие методы.
Согласно определению гармоничности, на стратах размерности к п — 2 нет никаких дифференциальных соотношений. Предполагается только непрерывность функции и выполнение особых требований, связанных с гладкостью (некоторые требования на потоки градиента функции). Поэтому доказательство распадается на два этапа. На первом этапе доказывается, что функция, гармоническая на объединении стратов размерности п и п — 1, принадлежит требуемому классу гладкости (подробное описание этого класса имеется в тексте главы). Основная сложность здесь заключается в доказательстве существования потока. Связано это с тем, что градиент функции может иметь особенность на стратах малой размерности. В силу этого поток оказывается несобственным интегралом. Доказательство его сходимости требует тщательного анализа. Для этого используется специальная техника. Мы показываем, что поток по поверхности существует и равен нулю в специальном "обобщённом" виде. А уже потом переходим к классическому существованию потока.
Заметим, что условие непрерывности в целом на Qo не является необходимым для существования потоков. Поэтому обсуждение вопроса о непрерывности удаётся отложить. Это составляет содержание второго этапа доказательства. Здесь ключевую роль играет так называемая лемма о сходимости к константе.
Лемма 3.17 (о сходимости к константе) Предположим, что щ - последовательность функций на Qo, гармонических на стратах размерности п и п — 1. Пусть Н - подкомпакт в VLQ. И пусть inf и; — М. п Тогда, если inf и,, — М, н то функции щ на границе dQ сходится к М по норме L(dQ) / \щ - М\ - 0. В четвёртой главе доказывается, что гармоническая функция на Qo допускает интегральное представление через свои граничные значения. Теорема 4.1 Пусть Q - усиленно прочное стратифицированное множество с регулярной границей. Тогда для любой гармонической функции и на О, имеет место равенство и{х) = / д(х,т)и(т), эп где g как минимум из L и не зависит от и. Функцию g в таком представлении естественно называть ядром Пуассона. Детальное изучение этого ядра, кроме очень грубых свойств (вроде суммируемости, неотрицательности) описать не удаётся. Что касается вопроса существования, то он сводится к вопросу разрешимости некоторого интегрального уравнения. Оно возникает в результате следующей процедуры.
Мы по-прежнему ограничиваемся случаем усиленно прочного множества. На стратах старшей размерности гармоническая функция является гармонической и в классическом случае. А потому её можно выразить в виде интеграла (типа потенциала) от значений функции и на границе этого страта. Затем, участвующие в этом интеграле, граничные значения так же выражаются в виде интегралов по границе примыкающих стратов. Повторяя эту процедуру несколько раз, нам удаётся выразить значение функции через интеграл по границе 0Q и по всем (п — 1)-мерным стратам из Qo. Объединение последних обозначаем через К. Попытка выразить последний интеграл по К через интеграл по 0Q приводит к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, который допускает стандартный анализ. Автор выражает благодарность О.М. Пенкину за постановку задачи и полезные обсуждения.
Построение барьерной функции
Связано это с тем, что коэффициент р характеризует жёсткость системы в точке. Но в точках стыка мембраны не обладают своей массой, поэтому р там должна обращаться в ноль. Если бы в точках стыка находились одномерные струны, которые обладают своей массой, то функция р тогда была бы положительна в этих точках.
Таким образом мы видим, что требование положительности коэффициента р является слишком ограничительным. Вместо этого мы будем считать, что р может обращаться в ноль, но только целиком на некоторых стратах. Исключение составляют свободные страты, на них мы требуем строгую положительность.
Всюду далее мы будем рассматривать равномерно эллиптические операторы. Это значит, что функция р всё так же может обращаться в ноль целиком на некоторых стратах. Но на всех стратах, на которых она положительна, она отделена от нуля некоторым положительным числом ро.
При изучении эллиптических операторов особое место занимает один частный случай. Пусть все свободные страты множества Q имеют максимальную размерность. И пусть функция р равна единице на всех свободных стратах и нулю на остальных. Тогда оператор Ар мы будем называть лёгким лапласианом. Причина, по которой мы выделяем этот случай, следующий - лёгкий лапласиан является наиболее полным аналогом классического оператора Лапласа. Например, для лёгкого лапласиана теорема о среднем на стратифицированном множестве. Поэтому функции, которые удовлетворяют уравнению Ари = 0 для лёгкого лапласиана, удобно называть гармоническими.
Вернёмся к общему оператору Ар. Мы будем называть его оператором в дивергентной форме. Как видим, на стратифицированном множестве дивергентная форма является наиболее естественной при определении эллиптического оператора. Связано это с тем, что на стратифицированном множестве тяжело вводить даже локальную систему координат. В то время, как определение дивергентной формы оператора безкоординатно. Вообще говоря, вместо коэффициента р мы могли бы рассматривать матрицу А из некоторого класса (как минимум, положительно определённую) V(AVu). Такой оператор был бы наиболее общим случаем эллиптического оператора в дивергентной форме. Однако, ввиду повышенной сложности этого случая, всю ду далее мы не будем его рассматривать. И под дивергентной формой мы будем понимать прежде всего случай с коэффициентом р.
В противовес к дивергентной форме, мы можем рассмотреть координатную форму эллиптического оператора. Если функции р и и достаточно гладкие, то имеет место формула
Ари(Х) = Apukj(X) + Y, l W Мы напомним, что в стратифицированном множестве каждый страт, кроме быть может граничных, является /с-мерным многогранником. Это значит, что на каждом таком страте мы можем ввести ортонормированную систему координат. При этом мы не будем требовать, чтобы эти системы каким-либо образом согласовывались между собой. Тогда эллиптический оператор можно переписать в виде мы будем называть классической, потому что она повторяет классическое опре деление эллиптического оператора. Так же, как в случае дивергентной формы, мы потребуем, чтобы коэффициенты а и Ь либо обращались в ноль целиком на некоторых стратах (кроме свободных), либо подчинялись условиям Как видим, данные условия просто повторяют стандартные условия для эллиптического оператора (см., например, [10]). От функции р мы потребуем только условие положительности. Тогда оператор L будет называться равномерно эллиптическим оператором в координатной форме. И напоследок, расширим определение эллиптического оператора до следующего вида Ми = Lu — qu в координатной форме, или Ми = Ари — qu, в дивергентной. В обоих случаях q Є Ca(Q). 2 Сильный принцип максимума
Одним из самых известных качественных свойств решений эллиптических уравнений с неотрицательной правой частью является принцип максимума. Формулируется он в двух формах. Слабый принцип максимума утверждает, что максимум решения, если и достигается внутри области, то ограничен сверху супремумом функции на границе. Сильный принцип максимума утверждает, что решение уравнения вообще не может иметь внутри области даже локального максимума. Принцип максимума трудно переоценить. Он используется, например, при получении различных оценок, для доказательства единственности решения задачи Дирихле, в методе Перрона и прочих. Поэтому при изучении эллиптического оператора на стратифицированных множествах доказательство принципа максимума является приоритетной задачей.
Слабый принцип максимума можно доказать, исходя из интегральных свойств решений эллиптических уравнений. В частности, можно использовать формулы Грина (см. [7]). Однако при переходе к сильному принципу максимума сложности возникают уже на этапе формулировки задачи. Дело в том, что классическая формулировка сильного принципа максимума (о невозможности внутреннего локального максимума) в случае стратифицированного множества оказывается просто неверна. Следующий пример иллюстрирует положение вещей.
Пусть Q - геометрическая реализация графа, т.е. одномерное стратифицированное множество. Пусть оно состоит из трёх отрезков, одинаковой длины и выходящих из одной точки. Положим Qo состоящим из всех одномерных стра-тов и одного нульмерного - точки стыковки. Тогда граница 0Q будет состоять из трёх нульмерных стратов - трёх точек на концах отрезков. Подберём функцию и так, чтобы она равнялась нулю в центральной точке, на концах отрезка принимала значения О, -1 и 1, а внутри каждого отрезка была линейной.
Легко видеть, что данная функция удовлетворяет уравнению Лапласа. Внутри каждого одномерного страта она линейная, а в единственном нульмерном страте сумма производных по трём направлениям равна нулю. При этом на одном из отрезков (на конце которого её значение 0) функция тождественно равна нулю. Это значит, что весь этот отрезок состоит из точек локального максимума. Таким образом классическая формулировка сильного принципа максимума здесь не подойдёт.
Однако этот пример позволяет найти правильную формулировку. Как видим в примере выше, решение уравнения Лапласа хоть и имеет локальные внутренние максимумы, но все они являются константами в некоторой окрестности -такой тип максимумов мы называем тривиальными. Таким образом появляется гипотеза о том, что единственный возможный случай внутреннего локального максимума - это случай тривиального максимума.
В классическом случае сильный принцип максимума обычно доказывается с помощью так называемой леммы о нормальной производной (другое название, лемма о граничной точке), доказанной независимо О.А. Олейник и Э. Хопфом (см. их работы [14, 15], см. также [10]). Эта лемма утверждает, что для решения эллиптического уравнения с неотрицательной правой частью выполняется следующее свойство: в точке глобального максимума на границе области нормальная производная всегда меньше нуля. При этом предполагается, что граница достаточно гладкая (удовлетворяет условию внутренней сферы), а сама нормальная производная существует. Поэтому естественно попытаться доказать сначала аналог леммы о нормальной производной для стратифицированного множества, а затем с помощью неё уже доказать сильный принцип максимума. Первый вопрос, который возникает при доказательстве аналога леммы, -что считать нормальным вектором в точке границы? Ведь граница стратифицированного множества в принципе не является гладкой. Например, в случае двумерного стратифицированного множества, любой нульмерный граничный страт почти наверняка является угловой точкой. И значит нормальный вектор, в классическом его понимании, не существует.
Принадлежность классу гладкости
Заметим, что теорема об устранимой особенности автоматически не влечёт разрешимость задачи Дирихле. Для доказательства разрешимости ещё остаётся показать выполнение краевого условия на всём 0Q. Но этот вопрос выходит за рамки данной работы.
В прошлом параграфе мы писали, что класс Cj(f2o) является для нас слишком ограничительным. Возможно даже, что теорема об устранимой особенности относительно данного класса окажется неверной. Поэтому мы определили новый класс гладкости как множество функций, для которых в каждой точке определён лёгкий лапласиан. Для этого должно выполняться два условия: для любой замкнутой, достаточно гладкой поверхности существует поток поля pVu; в каждой точке Qo определена дивергенция поля pVu.
Мы будем обозначать такое пространство функций через Су(Г2о) (значок V означает, что в основу класса ложится существование дивергенции поля).
Однако изначальный класс гладкости С (Г о), в смысле принадлежности рЧи Є СдГ о), появился не случайно. Такое условие обеспечивает нам множество основополагающих свойств эллиптических операторов на стратифицированном множестве. К числу таких свойств относятся формула для дивергенции, теорема Гаусса о дивергенции, формулы Грина и прочие. Более широкий класс гладкости, в смысле существования потоков и дивергенции, таких свойств может не гарантировать. Приведём один пример.
Пример. Рассмотрим двумерный круг единичного радиуса. Пусть из его центра выходят три отрезка. Будем рассматривать это множество как стратифицированное. Его стратами будут центр, три отрезка, три внутренних сектора и участки окружности. Граничными стратами будут страты на окружности.
Рассмотрим в круге функцию 1/г. Положим векторное поле F равное градиенту V(l/r) во всех двумерных секторах и нулю во всех одномерных и нульмерном. Легко видеть, что для поля F существует поток по любой достаточно гладкой поверхности и существует дивергенция во всех точках. Т.е. поле принадлежит новому классу гладкости в смысле существования дивергенции.
Однако для F не выполняется формула для дивергенции. Согласно ей, в нульмерном страте дивергенция должна быть равна сумме скалярных произве дений по всем примыкающим одномерным стратам где 1У{ - направления по одномерным стратам. Т.к. поле F на одномерных стратах равно нулю, то эта сумма тоже равна нулю. Но мы знаем, что дивергенция на нульмерном страте по построению равна единице.
Нарушение формулы для дивергенции объясняется тем, что поле не принадлежит классу С\. А именно, поле не является непрерывным на замыкании двумерных стратов - в начале координат поле имеет особенность.
Таким образом мы видим, что принадлежность поля классу С\ является существенным в общем случае. Как видно из примера, для произвольных векторных полей только существование дивергенции не гарантирует тех свойств, о которых мы писали выше. Поэтому в случае произвольных дифференцируемых функций, и, тем более, в случае абстрактных векторных полей, мы пользуемся старым классом гладкости в смысле непрерывности поля на границе. Вопрос о расширении этого класса требует кропотливого подхода и пока подробно не изучался.
Тем не менее, в контексте гармонических функций можно показать (и чуть позже мы это сделаем), что новый класс гладкости Су(Г2о) тоже обеспечивает все нужные нам свойства. Таким образом, при изучении гармонических функций мы можем безболезненно перейти к более широкому классу гладкости и рассматривать уравнение Лапласа уже в контексте Су(Г о).
Напомним, что при вычислении потока поля мы пользуемся стратифицированной мерой. Поэтому поток по поверхности раскладывается в сумму интегралов по каждому {к — 1)-мерному участку поверхности, и по каждому участку выполняется интегрирование по соответствующей [к — 1)-мерной мере. Но т.к. мы вычисляем поток поля р\7и, а функция р имеет специальный вид - она равна единице на всех стратах максимальной размерности и нулю на всех остальных, то вычисление потока упрощается.
Мы можем считать, что поле \7и определено только на стратах максимальной размерности, а все страты меньшей размерности имеют меру ноль (потому что р на них равно нулю). Тогда значение потока будет совпадать с обычным потоком поля Vit. То же самое относится и к мере внутреннего множества. Поэтому дивергенцию поля р\/и можно считать, как классическую дивергенцию поля Vu.
Лемма о разложении
Выберем некоторый начальный шар -Во допустимого радиуса с центром на страте (Tkj- И пусть В 0 - его копия в некотором отдельном пространстве К. . Будем рассматривать Во как самостоятельное стратифицированное множество. Т.к. у множества Q все свободные страты имели размерность п, то все свободные граничные страты множества -Во будут иметь размерность п — 1. Следовательно, граница дВ$ будет регулярной. Далее, из усиленной прочности множества Q следует усиленная прочность множества Во.
Пусть теперь на -Во задана последовательность точек Х{: которая лежит на свободных стратах и сходится к центру шара -Во- Обозначим у І - проекцию точки Х{ на страт а - Без ограничения общности можно считать, что расстояние от ХІ до у І составляет меньше трети расстояния от у І ДО границы шара BQ{X) dist(zi,2/i) -dist{yi,dBo{X)). Рассмотрим новый шар В {{у і) с центром в точке у І И радиусом 2 dist(yj, хі). Новый шар В І (у І) будет целиком лежать в шаре -Во- Отобразим теперь шар Вг(уг) в шар В 0.
Точка Х{ Є B{(jji) лежит на расстоянии 1/2 от границы шара B{(jji): и на расстоянии 1/2 от страта и . Поэтому при переходе к шару В 0 для точки х\ сохранятся те же пропорции. Следовательно, в шаре В {) можно выбрать такой подкомпакт G, который будет лежать на ненулевом расстоянии от границы дВ {) и на ненулевом расстоянии от страта o kj. Этот подкомпакт будет содержать все образы х\ независимо от г.
Таким образом, для каждого і имеем отображение из В І — В[у Тж. радиусы В{ стремятся к нулю, то система отображений будет расширяющейся. Потому мы называем такую конструкцию системой расширений. Для определённости мы будем говорить про систему расширений относительно последовательности Х{. Вернёмся ко множеству образов х\. Предположим, что существует такая точка Xі Є (Tk+ij, к + 1 п — 1, которая является предельной для множ;ества точек х\. Построим систему расширений относительно некоторой подпоследовательности Х І, сходящейся к X . Получим новую последовательность х [ Є BQ, которая теперь лежит на ненулевом расстоянии от страта размерности к + 1.
Продолжая эту процедуру, получим в конечном итоге шар (обозначим его В 0) с центром на некотором страте размерности т и систему точек х\ Є В 0} которые принадлежат свободным стратам и лежат на ненулевом расстоянии от всех стратов размерности к п. Напомним, что изначально мы брали последо вательность ХІ точек свободных стратов. Если брать последовательность точек стратов размерности q, тогда для шара В {) получим последовательность точек x i: которые лежат на стратах размерности q и на ненулевом расстоянии от всех стратов размерности к q.
Далее, каждый х\ является образом некоторой точки ХІ Є о, но не у каждой точки Х{ есть свой образ х\. Далее, шар В 0 при каждом і является образом некоторого подмножества -Во- При этом, если центром шара В {) является точка ш-мерного страта, то прообразы В {) тоже имеют центры на ш-мерном страте из -Во- Кроме того, все прообразы В 0 при і — 0 имеют сжимающиеся радиусы, а их центры стремятся к точке X - центру -Во Пусть теперь на -Во была задана последовательность гармонических функций щ. Тогда при отображении они перейдут в новую последовательность функций и ,; на -BQ, которые тоже будут гармонические.
Теперь мы можем перейти к следующей лемме. Лемма 3.16 Пусть щ - последовательность равномерно ограниченных неотрицательных гармонических функций в VLQ. И пусть где Н - подкомпакт в fV Тогда щ поточечно сходятся к нулю на Г2о; а на dQ сходятся к нулю в L(dQ).
Доказательство: Т.к. щ непрерывны, а Н - компакт, то инфимум каждой Ui достигается в некоторой точке Х{. Без ограничения общности будем считать, что Х{ сходятся к некоторой X Є Н. Если X лежит в свободном страте, то можно построить подкомпакт Н , кторый целиком лежит в свободном страте и на котором инфимум стремится к нулю. Тогда, согласно неравенству Харнака, супремум на Н тоже стремится к нулю. Следовательно, на Н функции щ сходятся к нулю равномерно, а значит и поточечно. Применяя предыдущую лемму, получим требуемое утверждение.
Пусть теперь точка X принадлежит некоторому страту Gkj- Построим систему расширений относительно последовательности Х{. Получим шар В {) с центром на т-мерном страте и последовательность х\ Є B 0J которая будет лежать в некотором подкомпакте на свободных стратах.
Пусть и\ - образы функций щ при отображении на В 0. Тогда и\ сходятся поточечно к нулю на о, а на любом подкомпакте на свободных стратах сходятся равномерно. Из равномерной ограниченности следует, что
Следовательно, по теореме о среднем и[(Х ) — 0, где X - центр шара В 0. Прообразами точки X является система точек Х{ Є -Во, которые принадлежат некоторому ш-мерному страту. При этом, щ(Х{) — 0. Если все Х{ леж;ат на ненулевом расстоянии от стратов размерности к ш, то, применяя лемму 3.13, получим требуемое утверждение. Если нет, то снова применяем систему расширений для последовательности Х{. Повторяем так до тех пор, пока не получим последовательность точек Y{ на некотором страте размерности q: для которых будет выполняться условие леммы 3.13. И
Ранее мы показали, что для любой замкнутой достаточно гладкой поверхности поток градиента равен нулю. Положим в качестве поверхности произвольную сферу допустимого радиуса. Можно показать, что из равенства нулю потока градиента по сфере следует следующая лемма.
Лемма 3.18 Для любой особой точки X Є Vkj существует константа С{Х), что для любой сферы допустимого радиуса среднее по этой сфере не зависит от радиуса и равно С(Х). Итак, мы получили, что при фиксированном центре сфер, среднее значение не зависит от радиуса. Обозначая это значение через С(Х): получим требуемое утверждение. И
Заметим, что т.к. и непрерывная вне особых точек, то среднее значение по сфере, как функция от центра х и радиуса R7 будет тоже непрерывной при R т 0. И т.к. по R среднее значение является константой, то С{х) как функция от точки х непрерывна как минимум в пределах одного страта.
Далее мы покажем, что предел функции и в любой точке х Є o kj существует и равен С(х). Пусть Q - усиленно прочное стратифицированное множество с регулярной границей. Пусть X Є o kj особенность ограниченной гармонической функции и. Без ограничения общности будем считать, что на всех стратах большей размерности мы уже доказали теорему об устранимой особенности. Это значит, что на всех стратах большей размерности функция и непрерывная и гармоническая. Мы хотим показать, что функцию и можно продолжить по непрерывности в точку X. Лемма 3.19 Пусть X - особая точка. Тогда предел и в точке X равен С(Х).