Введение к работе
Актуальность темы. Рассмотрение наличия у уравнения бесконечной алгебры высших симметрии в качестве отличительного признака интегрируемости привело к возможности классификации интегрируемых уравнений симметрийным методом1, важный вклад в развитие которого внесла уфимская математическая школа профессора Шабата А.Б. Симметрийный подход является эффективным при исследовании уравнений эволюционного типа. При симметрийной классификации гиперболических уравнений даже в простейших ситуациях возникают серьезные технические трудности. Гиперболические уравнения занимают в теории интегрируемых уравнений особое место. С одной стороны они имеют больший прикладной интерес, чем эволюционные, а с другой - они гораздо труднее поддаются классификации и решению методом обратной задачи рассеяния.
В 1981 г. Шабатом А.Б., Ямиловым Р.И.2 был предложен новый подход к классификации, основанный на понятии характеристической алгебры Ли. Авторы показали, что для экспоненциальных систем
"іу = ехр(айи1 + ... + аіпип), і = 1,2,...,п
характеристическая алгебра Ли конечномерна тогда и только тогда, когда коэффициенты оу определяют матрицу Картана простой алгебры Ли К = ||оу||. Лезнов А.Н., Смирнов В.Г., Шабат А.Б.3 в 1982 г. для гиперболических систем уравнений
0~Би{ = Р{и\...,иг), » = 1,...,г
выдвинули гипотезу о том, что условием полной интегрируемости в квадратурах этих уравнений является конечномерность алгебры Ли, связанной характеристическим уравнением
DW = 0, W = W{ux,uxx,...)
'Жибер А.В., Шабат А.Б. Уравнения Клейна-Гордона с нетривиальной группой // Доклады АН СССР. - 1979. - Т. 247. - № 5. - С. 1103-U07.
Ибрагимов Н. X., Шабат А.Б. Эволюционные уравнения с нетривиальной группой Ли-Беклунда. // Функциональный анализ и его приложения. - 1980. - Т. 14. - № 1. - С. 25 - 36.
Sokolov V.V., Shabat А.В. Classification of integrable evolution equation // N.Y.: Harwood Academic Publishers. Soviet Scientific Reviews, Section C. 4, - 1984. - P. 221-280.
Михайлов A.B., Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем If Успехи математических наук. - 1987. - Т. 42. - № 4. -С. 3 - 53.
2Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Экспоненциальные системы типа I и матрицы Картана // Препринт БФАН СССР, Уфа. - 1981. - 23 с.
3Лезнов А.Н., Смирнов В.Г., Шабат А.Б. Группа внутренних симметрии и условия интегрируемости двумерных динамических систем // Теоретическая и математическая физика. - 1982. - Т. 51. - № 1. - С. 10 - 22.
(характеристической алгебры), а условием интегрируемости методом обратной задачи рассеяния - наличие конечномерного представления характеристической алгебры. Жибер А.В., Мукминов Ф.Х.4 в 1991 году обобщили понятие характеристической алгебры Ли для квадратичных систем уравнений
г = 1,2, ...,п, к — 1,2,.. .,п
и применили ее для вычисления высших симметрии уравнений Лиувилля, синус-Гордона, Цицейки:
1ху =~ Є і "іу —* Є т* с , tiiy — с тс
Основной результат диссертационной работы Бормисова А. А.5 является доказательство того факта, что две характеристические алгебры А, А уравнений гиперболического типа (1) естественным образом "склеиваются" в единую алгебру Ли на основе так называемых соотношений нулевой кривизны (L — А пары) для системы (1). В настоящее время понятие характеристической алгебры применяется для классификации интегрируемых дифференциально-разностных уравнений в работах Хабибуллина И.Т.6
Применение понятия характеристической алгебры Ли для классификации нелинейных гиперболических уравнений с правой частью общего вида является актуальной задачей.
Цель и задачи исследования. Работа посвящена применению подхода, основанного на исследовании структуры характеристической алгебры Ли для решения задачи классификации интегрируемых нелинейных гиперболических уравнений, а также описанию характеристической алгебры Ли уравнения синус-Гордона и алгебры высших симметрии модифицированного уравнения сииус-Гордона, доказательству критерия интегрируемости по Дарбу.
Основные методы исследования. Полученные автором результаты базируются на применении классических методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, теории ин-
^Жибєр А.В., Мукминов Ф.Х. Квадратичные системы, симметрии, характеристические и полные алгебры И Задачи математической физики и асимптотики их решений. Уфа: БНЦ УрО АН СССР. -1991. - С. 14 - 32.
5Бормисов А.А. Гиперболические системы уравнений типа Риккати и связанные с ними алгебры Ли II Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. - Стерлнтамак.: СГПИ. - 2002. - 74 с.
"Хабибуллин И.Т., Пекан А. Характеристическая алгебра Ли и классификация полудискретных моделей Ц Теоретическая и математическая физика. - 2007. - Т. 151. - № 3. - С.413-423.
Ilabibullin I.T. Characteristic algebras of fully discrete hyperbolic type equations 11 Symmetry Integrability Geom.: Methods Appl. - 2005. - V. 1. - Paper 023 - 9 pages.
Habibullin I.T., Zheltukhina N.f Pekcan A. On the classification of Darboux integrable chains - J. Math. Phys. - 2008. - V. 49. - № 10. (40 pages)
тегрируемых нелинейных дифференциальных уравнений, а также теории алгебр Ли.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
1.Исследованы характеристические алгебры Ли линейных гиперболических уравнений, которые связаны х- и ^-преобразованиями Лапласа. Показано, что последовательность инвариантов Лапласа /i_„, п = 0,1,... конечна только в том случае, когда размерность характеристической алгебры Ли уравнения конечномерна.
Приведено новое более простое доказательство критерия интегрируемости по Дарбу нелинейного гиперболического уравнения, основанное на понятии характеристической алгебры Ли.
Описаны нелинейные гиперболические уравнения, линеаризации которых связаны ^-преобразованием Лапласа. Приведены преобразования Бек-лунда этих уравнений.
4. Решена классификационная задача для интегрируемых уравнений
Клейна-Гордона на основе их характеристической алгебры. Для уравнения
синус-Гордона описана структура характеристической алгебры Ли.
Приведен полный список гиперболических уравнений с конечномерной характеристической алгеброй размерности 2, 3, 4. Описаны уравнения с бесконечномерной характеристической алгеброй "медленного"роста.
Построен локальный дифференциальный оператор, переводящий высшие симметрии в высшие симметрии меньшего порядка для модифицированного уравнения синус-Гордона, а также оператор рекурренции, определяющий алгебру симметрии этого уравнения.
Приведен оператор, который симметрии переводит в интегралы и обратный оператор, переводящий интегралы в симметрии для вырожденного случая модифицированного уравнения синус-Гордона.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Методы и результаты диссертации могут быть использованы в теории дифференциальных уравнений в частных производных. В частности, при классификации интегрируемых уравнений, построении высших симметрии и точных решений.
Апробация работы. Основные результаты, представленные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались:
/ на региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике (Уфа, октябрь 2004 г.); / на XLIII международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, апрель 2005 г.);
/ на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Башкирского государственного университета под руководством профессоров А.В. Жи-бера и И.Т. Хабибуллина (Уфа, 2005 г., 2006 г.);
/ на VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, май 2006 г.);
/ на международной конференции «Комплексный анализ и дифференциальные уравнения» (Якты-Куль, декабрь 2006 г., декабрь 2008 г.); / на 38, 39, 40-ой региональных молодежных конференциях «Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург, январь 2006 г., январь 2008 г., январь 2009 г.);
/ на международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной памяти И.Г. Петровского (Москва, май 2007 г.); / на Уфимской международной математической конференции «Теория функций, дифференциальные уравнения, вычислительная математика» памяти А.Ф. Леонтьева (Уфа, июнь 2007 г.);
/ на Школе молодых ученых Отдела математики РФФИ (Карачаевск, октябрь 2007 г.);
/ на международной конференции «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений», посвященной 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева (Новосибирск, октябрь 2008 г.); / на научном семинаре кафедры математики Уфимского государственного авиационного технического университета под руководством профессора В.А. Байкова (Уфа, декабрь 2008 г.);
/ на научном семинаре по дифференциальным уравнениям математической физики Института математики с ВЦ УНЦ РАН под руководством профессора Л.А. Калякина и профессора В.Ю. Новокшенова (Уфа, декабрь 2008 г.).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 14 работ, список которых приведен в конце автореферата. Статьи [4], [5], [6], [10] опубликованы в рецензируемых журналах из списка ВАК. Из совместных работ в диссертацию включены результаты полученные лично автором.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы. Все теоремы, леммы, замечания и формулы занумерованы двумя цифрами, первая из которых означает номер параграфа, а вторая - номер по порядку. Полный объем диссертации - 147 страницы. Библиография содержит 60 наименований.
