Введение к работе
Актуальность темы.. В настоящее
время теория уравнений смешанного типа значительно расширилась. Это объясняется как внутренними потребностями теоретического обобщения уравнений математической фізики, так и юс прикладным значением. Разрабатывались новые методы исследования задач для уравнения смешанного типа. Сейчас имеется хорошо разработанная и в некоторых ее аспектах завершенная теория линейных задач для смешанных уравнений. Обзор имеющихся методов и результатов содержится в работах А.В.Бицадзе, М.М.Смирнова, М.С.Салахит-динова, Т.Д.Джураева, В.Н.Врагова, Ч.Ш.Кальыенова, М.М.Мередова Е.И.Моисеева и др.
Известно, что математическое описание физических процессов объязательно предполагает некоторые упрощения. Более точное описание физического явления привело бы к нелинейным задачам (задачи для нелинейных уравнений, или же с нелинейными граничными условиями, а также задачи снеизвестными границами).
Исследование нелинейных задач осложняется теа, что в них отсутствует принцип суперпозиций, природа решений может быть разнообразной. Поэтому в настоящее время нелинейныэ задачи являются одним из актуальных и бурно развивающихся разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными.
Нелинейные задачи {в том, числе задачи с неизвестной
границей) относительно . полно развиты в случае уравнений
эллиптического и параболического типов. Основные результаты в
этом направлении содержатся в работах А.к.Самарского,
A.Friedman, А.Рааапо, О.А.Олейник, . О.А.Ладыженской,
L.I.Rubinstein, Н.И.Данилкка, С.Н-Крузкова, . А.М.Мейрыанова,
М.Арипова, Е.В.Радкевича, А.Б.Бегаатова, В.А.Солонникова,
Г.И.Бижаиовой и др. „
Т.Д.Джураевом и его учениками рассмотрены ряд краевых задач для смешанных параболо-гиперболических уравнений с
известными и неизвестными границами.В этих работах впервые сформулированы и исследованы аналоги известных задач Стефана, Веригина и Флорина для смешанных парабало-гкпероолических уравнений. Изучено влияние гиперболической части и установлены достаточные условия однозначной разрешимости задач. Доказаны неоо-ходимые условие для свободной границы, которые обеспечивают корректность поставленных задач. Но, краевые задачи для смешанных параболо- гиперболических уравнений с нелинейными граничными условиями или ze задачи для нелинейных уравнений не рассматривались. Особый класс среди задач стефановского типа занимают задачи нелинейность которых обусловлена наличием не только свободной границы, но и нелинейностью граничного условия. Поэтому в настоящей работе изучаются нелинейные краевые задачи с известными и неизвестными (свободными) границами для параболо- гиперболических уравнений.
Ц 8 я ь работы. Рассмотреть вопросы
единственности и существование решения поставленных задач, а такке изучить поведение неизвестной границы в заданном промежутке времени. Исследовать свойства искомых функций, установить априорные оценки, которые необходимы для корректности и глобальной разрешимости задач.
Методика исследования. При изучении свойств искомых функций и доказательстве единственности решения рассматриваемых задач, в основном, используются принципы экстремумов для параболических и гиперболических уравнений, теоремы сравнения для параболических уравнений, свойства решений гиперболических уравнений, интегральные неравенства типа Беллмана-Гронуолла. Теорема существования доказывается с помощью теории линейных и нелинейных интегральных уравнений с применением теоремы о неподвижной точке.
Научная новизна, В работе изучается ряд ранее неисследованных задач в областях с известными и неизвеот-шши границами для смешанного параболо-гишроолического уравнения. Во всех исследуемых задачах с неизвестными границами
изучено поведение неизвестных границ в рассматриваемом промежутке времени. Доказаны одназначная разрешимость поставленных задач. Установленп априорные оценки для решений уравнений и неизвестной границы, которые . обеспечивают глобальную разрешимость поставленных задач.
Теоретическая и практическая
значииооть . Результаты, полученные в диссертации носят теоретический характер. Они могут быть использованы при дальнейшей разработке теории нелинейных краевых задач для смешанных уравнений. -Задати, рассмотренные в диссертации являются обобщением конкретных задач математической физики и могут иметь практическое применение при решении прикладных' задач, приводящихся к уравнениям смешанного типа.
Апробация работы. Основные результати диссертации докладывались на общегородском семинаре по дифференциальным уравнениям института математики АН РУз им. В.И. Романовского (руководители: акаде"ики Т.Д.ДЖУРАЕВ и М.С.САЛАЗШДИНОВ), на семинаре кафедры теории оптимального управления механико-математического факультета ГяшГУ (руководитель: член-корр. АН РУз Н.Ю.САТИМОВ), на Международных научных конференциях "Сибирская конференция по неклассическим уравнениям математической физики'* (г.Новосибирск, 1995 г., сентябрь), "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г.Ашгабат, 1995г., ноябрь), "Вырождающиеся уравнения и уравнения смешанного типа" (г.Ташкент, ' 1993 г..ноябрь), на конференциях молодых ученых г.Ташкента, посвященных . памяти В.И.Ромзповского (1993-1995 гг.), на конференции "Молодые физики и математики", посвященной 75-летию TamlY (1995 г., май).
Публикации . Основное содержание диссертации опубликовано в 5 работзх, указанных в конце автореферата.
Объем и структура диссертации.