Введение к работе
I. . Дятуальность темы.
В настоящее время инстенсявно развивается теория нелинейных стохастических уравнения Иго в банаховых пространствах, имевцая многочисленные приложения в квантовой теории ноля, стохастической радиотехнике и т.д. Начало исследований таких уравнений было положено в работах Парду, Крылова К.В., Розовского В.Л. и др.
С другой стороны, в последние годы быха разработана теория разревююсти детерминированных краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнения бесконечного порядка. Результаты в этом направлении были подучены О.А.Дубкнскхм, Г.С.Балатовой, Чан Дни Ваном н др.
Однако поведение некоторых физических систем описывается нелинейными дифференциальными уравнениями, являющимися как стохастическими уравнениями, так и имепцкми бесконечный порядок. Например, нестационарная плотность фазы рГ^)фаэы ^f (у- некоторый марковский процесс) в аналоговых синхронизаторах первого порядка при воздействии на их вход пуассоиовских и нормальных сумов подчиняется стохастическому дифференциальному уравнекив Олсона бесконечного порядка:
0. , п., »/. Эч> . где **fivf) - некоторая случайная функция от фазы,
Я/if) — Jj} - постоянная.
Последуицие значения определяется следуоцим образом
( О П ї 5 -нечетные,
( А » Л. Л1. % ~ физические константы).
$*%&*№*}
В связи с вышеизложенным актуальной, на наш взгляд, является задача исследования различных классов нелинейных дифференциальных стохастических краевых задач бесконечного порядка.
Цель работы.
Целью диссертационной работы является изучение различных классов стохастических уравнений бесконечного порядка, а именно: уравнений Ито с нелинейными дифференциальными операторами "сноса" и "диффузии" бесконечного порядка, а также эллиптических, параболических, гиперболических дифференциальных уравнений бесконечного порядка. Кроме того, в диссертационной работе получены результаты, связанные со свойствами функциональных пространств, явяящихся "внергетичеокиыи" для соответствующих краевых задач бесконечного порядка.
Методы исследования^
При получении основных результатов использовались: методы геометрии банаховых пространств, теория монотонных я коэрцитивных операторов в банаховых пространствах (применительно к нелинейным стохастическим дифференциальным уравнениям бесконечного порядка), свойства ядерных пространств Фреше, теория стохастического интегрирования в абстрактных функциональных пространствах.
Научная новизна.
Научная новизна результатов, полученных в диссертации, заключена в следующем:
а) Изучены свойства функциональных пространств, являющихся энергетическими пространствами для соответствуюцях стохастических краевых задач бесконечного порядка. А именно, показано, что энергетические пространства являются банаховыми.
8 свою очередь такие банаховы пространства являются монотонными пределами последовательностей энергетических пространств для уравнений конечного порядка. Установлены основные свойства пространств бесконечного порядка. В частности, доказано, что пространства Соболева бесконечного порядка являются суперрефлексивными, сепарабедькыми банаховыми пространствами, обладающими безусловным базисом Еаудера.
Установлена связь пространств Соболева бесконечного порядка с проехтивными пределами последовательностей пространств конечного порядка. Проективные пределы оказались ядерными пространствами врете. Исследована также сопряженная конструкция, связанная с индуктивным пределом последовательностей пространств конечного порядка.
б) С помощью вышеупомянутых свойств энергетических пространств обосновывается схема решения изучаемых стохастических краевых задач бесконечного порядка. Эта схема связана с обоснованием корректности предельного перехода в последовательности стохастических задач конечного порядка. При этом обоснования существенное значение имеет ядерность проективных (индуктивных) пределов, упомянутых висе. Предлагаемая методика обобщает аналогичный подход, связанный с исследованием детерминированных задач.
Практическая значимость.
Результаты, полученные в диссертационной работе, могут найти практическое применение в многочисленных задачах, связанных с обработкой марковских случайных процессов и полей. В частности, даже ревение обобщенного детерминированного дифференциального уравнения Колмогорова-Чепмека бесконечного порядка дает
- б -
важную информацию о поведении плотности распределения вероятностей марковских процессов. Информация о плотности необходима в задачах обнаружения и нелинейной фильтрации марковских процессов на фоне помех.
Методы исследования стохастических дифференциальных уравнений бесконечного порядка, предложенные в диссертационной работе, могут быть также использованы при расчете параметров (например, случайной фазы) в нелинейных преобразователях случайных процессов.
Отметим, что поведение некоторых биологических систем также описывается стохастическими дифференциальными уравнениями бесконечного порядка.
Апробация работы.
Результаты работы докладывались автором на семинарах в МИЛИ (руководители: акад. Никольский СМ., член-корр. Кудрявцев Л.Д., чден-корр. Бесов О.В.) в I987-I99I гг., в МЭИ (руководители: член-корр. Похожаев СИ., проф. Дубинский U.K., проф. Домов С.А.) в I967-I99I гг., а также на семинаре по математическому моделированию в МЭИ (руководители: Амосов А.А., Дубинский С.А.) в I966-I99I гг. Част» результатов была доложена на совместном заседании сешшара имени И.Г.Петровского и Московского математического общества в январе 1988 г.
Публикации.
Основные результаты диссертационной работы опубликованы автором в /I/ - /5/.
Объем и структура работы,.
Похожие диссертации на "Нелинейные стохастические дифференциальные уравнения бесконечного порядка и соответствующие функциональные пространства"
