Введение к работе
Актуальность темы. Теория неклассических краевых задач для вырождающихся уравнений с частными производными занимает одно из ведущих мест в современной теории дифференциальных уравнений. Основы этой теории заложены в известных работах Ф. Трикоми, S. Gellerstedt, Ф.И. Франкля, К.И. Бабенко, М.А. Лаврентьева, А.В. Бицадзе. Дальнейшее развитие теория краевых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений получила в работах И.Н. Векуа, О.А. Олейник, R.P. Gilbert, Е. Holmgren, A. Weiiistein, В.П. Михайлова, А.А. Дезина, М.М. Смирнова, Е.И. Моисеева, СП. Пулькина, В.И. Жегалова, В.Ф. Волкодавова, A.M. На-хушева, К.Б. Сабитова, Н.В. Кислова, Y.K. Kwok, М.Е. Лернера и других отечественных и зарубежных авторов.
Подробный анализ работ, отражающих современное состояние теории краевых задач для вырождающихся уравнений с частными производными и обширная библиография содержатся в монографиях М.М. Смирнова, А.В. Бицадзе, А.А. Дезина, М.С. Салахетдинова, Е.И. Моисеева, С.А. Тер-сеігова, В.Н. Врагова, Т.В. Чекмарева, Л.И. Янушкаускаса, A.M. Нахушева, В.Ф. Волкодавова и Н.Я. Николаева, О.А. Репина, С.Г. Самко, А.А. Кил-баса, О.И. Маричева, М.М. Хачева.
Решение многих практически важных задач, связанных с динамикой почвенной влаги, описанием процесса диффузии частиц в турбулентной плазме, моделированием процесса излучения лазера и диффузии в трех-компонентных системах, приводит к нелокальным краевым условиям. Как отмечено, например, в монографии A.M. Нахушева "Уравнения математической биологии", исследования последних лет убедительно показывают, что в математической биологии весьма часто возникают как нелокальные краевые, так и смешанные начально-краевые задачи. Такие задачи возникают, в частности, при моделировании процесса размножения микробных популяций в биологическом реакторе.
Исследование краевых задач со смещениями было начато в работах А.В. Бицадзе, А.А. Самарского (эллиптические уравнения), В.И. Жегалова1 и A.M. Нахушева2 (уравнения смешанного типа).
В период с 70-х по 90-е годы в указанном направлении появилась серия работ А.А. Самарского, Х.Ш. Джураева, М.С. Салахетдинова, В.И. Жегалова, A.M. Нахушева, М.М. Смирнова, В.А. Елеева, В.Ф. Волкодавова,
1Жегалов В.И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии // Ученые записки Казанского университета. Т.122. N3. 1962. С.3-16.
2Нахушсо A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа // Дифференциальные уравнения. Т.5. N1. 1969. С.44-53.
О.А. Репина, М.Х. Абрегова, В.В. Азовского, Д. Аманова, А.А. Андреева, Х.Г. Бжихатлова, С.К. Кумыковой, Н.Я. Николаева, А.В. Рябова, Г.Н. Шевченко и др.
К настоящему времени наиболее исследованы краевые задачи со смещением для уравнений второго порядка смешанного типа, которые в гиперболической части области их задания редуцируются к уравнениям Эйлера-Пуассона-Дарбу (ЭПД). Задачи с условием Нахушева и задачи типа Бинадзе-Самарского образуют широкий класс нелокальных краевых задач, теория которых далека от ее окончательного завершения.
В 80-х годах появились первые работы, в которых исследовалась корректность постановок задач Коши, Гурса и Дарбу для модельных вырождающихся систем гиперболических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными. Начало систематических исследований систем уравнений ЭПД методом Римана было положено в работах А.А. Андреева. Эффективность этого метода гарантировалась тем, что был указан явный вид матрицы Римана для системы уравнений ЭПД с двумя коммутативными матричными параметрами.
Корректность классических задач Коши, Дарбу, Коши-Гурса рассматривалась в работах В.Л. Спицына и А.Ю. Сеницкого для частных и специальных случаев матричных параметров системы уравнений ЭПД:'
Строгое обоснование метода Римана, Римана-Адамара и разработка методики построения матрицы Римана для систем уравнений ЭПД (уравнения ЭПД с матричными параметрами) стало поводом к обобщениям постановок нелокальных краевых задач на случай систем вырождающихся дифференциальных уравнений гиперболического типа.
Хорошо известно, что в теории уравнений с частными производными гиперболического типа краевые задачи с данными на всей границе области (задача Дирихле) служат примером некорректно поставленных задач . Результаты исследований по краевым задачам с данными на всей границе для волнового уравнения можно найти в работах J. Hadamard, A. Huber, D. Mangeron, P.G. Bourgin, R. Duffin, F. John, D.W. Fox, С Pucci, В.И. Арнольда, С.Л. Соболева, H.H. Вахания, Ю.М. Березанского.
Корректные постановки задачи Дирихле для вырождающихся уравнений в смешанных областях рассматривались в работах Б.В. Шабата, A.M. Нахушева, А.П. Солдатова, М.М. Хачева и др.
Неравноправие характеристик как носителей данных Дарбу применительно к вырождающимся системам уравнений гиперболического типа привело к появлению в некоторых, специальных случаях особого эффекта, когда задача Коши-Гурса с данными на любой граничной характеристике области существования решения задачи Коши некорректна в смысле отсут-
ствия единственности решения.
Это обстоятельство породило круг новых корректных локальных задач с данными на всей границе характеристической области, рассмотренных в диссертацинной работе, и не могло не отразиться на специфике постановки задач с нелокальными условиями.
Цель работы. Целью работы является изучение корректности постановок различных нелокальных краевых задач для одного класса модельных вырождающихся систем дифференциальных уравнений гиперболического типа с кратными характеристиками в двух особых случаях:
а) когда один из матричных коэффициентов при младших производных
искомой вектор-функции и(х,у) тождественно равен нулю, а другой —
постоянная инволютивная матрица. Ищутся классические решения постав
ленных задач в характеристической области, ограниченной линией вырож
дения типа,
б) когда система дифференциальных уравнений имеет вырождение по
рядка.
Для обоснования корректности сформулированных задач необходимо доказательство теорем существования и единственности классических решений, что и определяет структуру работы и содержание отдельных глав.
Методы исследования. Основные результаты диссертационной работы получены на основе применения аппарата функций от матриц, аппарата специальных функций с коммутативными матричными параметрами, теории матричных интегродифференциальных операторов Римана-Лиувилля и их обобщений и методов функционального анализа и теории дифференциальных уравнений с частными производными.
Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие новые результаты:
Для системы гиперболических уравнений с вырождением типа обоснованы:
а) некорректность постановки задач Коши-Гурса с данными на любой
граничной характеристике;
б) корректность постановок задач Коши-Гурса и Дарбу с данными на
всей границе характеристической области;
в) корректность одной задачи с условиями Бицадзе-Нахушева;
г) корректность двух нелокальных задач с условиями Бицадзе-
Самарского;
Для системы уравнений гиперболического типа с вырождением порядка обоснована
а) корректность двух нелокальных задач с условиями Бицадзе-
Самарского;
б) корректность начальных и начально-краевых задач для двух вырож
дающихся дифференциальных уравнений с инволютивным отклонением.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. В ней продолжены исследования в области нелокальных краевых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений на системы соответствующих дифференциальных уравнений. Полученные результаты исследования систем применены к исследованию нелокальных дифференциальных уравнений в скалярном случае.
Результаты работы могут быть использованы в качестве основы для дальнейшей разработки теории нелокальных задач для уравнений и систем уравнений гиперболического, смешанного или составного типов, а так же для нелокальных дифференциальных уравнений, в частности, уравнений с инволютивным сдвигом.
Практическая ценность работы заключается в возможности применить полученные результаты к исследованию конкретных дифференциальных уравнений и систем уравнений, являющихся моделями физических и природных явлений, в частности, тепло- и массообмена в неоднородных средах, влагопереноса в каппилярно-пористых телах и т.д.
На защиту выносятся:
Для системы уравнений с вырождением типа
а) доказательство неединственности решения задач Коши-Гурса,
б) доказательство существования и единственности решения задач Коши-
Гурса и Дарбу с данными на всей границе характеристической области,
в) корректность постановок двух задач с условиями Бицадзе-Самарского и
задачи с условиями Бицадзе-Нахушева.
Для системы уравнений с вырождением типа
а) корректность постановок двух задач с условиями Бицадзе-Самарского,
б) корректность постановок начальных и начально-краевых задач для двух
вырождающихся уравнений с инволютивным отклонением.
Апробация работы. Основные результаты и содержание работы докладывались и обсуждались на
второй летней школе по механике деформируемого твердого тела (23-27 мал 1989 г.) в КПтИ, Куйбышев,
конференции "Неклассические уравнения математической физики" (27-30 июня 1989 г.) в ИМ СОАН СССР и НГУ, Новосибирск,
Северо-Кавказской региональной школе-конференции "Линейные операторы в функциональных пространствах" (23-30 сентября 1989 г.) в ЧИГУ, Грозный,
Всесоюзной конференции "Интегральные задачи и краевые задачи математической физики" (22-26 октября 1990 г.) в ИПМ ДВО АН СССР, Владивосток,
ежегодных межвузовских конференциях ."Математическое моделирование и краевые задачи" в СамГТУ, 1995-2000 гг.,
четвертой международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (14-16 мая 2000 г.) в ИММ РАН и МГУ, г. Саранск,
научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета в феврале 2000 г. (руководитель д.ф.-м.н. профессор Жегалов В.И.),
научном семинаре по дифференциальным уравнениям в,Самарском педагогическом университете в ноябре 2000 г. (руководитель д.ф.-м.н. профессор Волкодавов В.Ф.),
научном семинаре кафедры уравнений математической физики Самарского государственного университета в 1997-2000гг. (руководитель д.ф.-м.н. профессор Филатов О.П.),
научном семинаре кафедры высшей и прикладной математики Самарского государственного технического университета в ноябре 2000 г. (руководитель д.ф.-м.н. профессор Радченко В.П.).
Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 14-ти публикациях. Работы [2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14] написаны в соавторстве. Из совместных работ на защиту выносятся результаты, полученные автором самотоятельно.
Объем и структура диссертации. Диссертационная работа изложена на 148 страницах, и состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 183 наименования.