Введение к работе
;.^lj
Актуальность темы. В докладе на Международном математическом конгрессе в їлоскве в I9oG г. академик 0. А Ладане некая, в работах которой получены наиболее сильные я математически строгие результаты по теории уравнений Вавье-Стокса, предложила для детерминированного описания трехмерных нестационарных течений вязких несжимаемых жидкостей при больших градиентах скоростей ряд вариантов модифицированных уравнений Нэзье-Стокса, которые должны регуляриоовать уравнения Навье-Стонса в том смысле, что для них имеют место однозначная глобальная разрешимость основной начально-краевой задачи и другие глобальные результаты,которые до сих пор из доказаны для трехмерных уравнений Навье-Стокса. К числу таких систем относятся два варианта "модифицированных уравнений Навье-Стокса с нелинейной вязкостью"
If - &№** ^ШУ 6«lf+ГН**^"
в которыхV0,V{> 0 » а также "система уравнений движения жидкостей Кельвина-2ойгта"
Основная начально-краевая задача для систем (1)-(3) ставится также, как и для уравнений Швье-Стокса, и заключается в решении систем (і)-(З) в Q ~Дх[0/Г] , АЛ - ограниченная область из Е , 0^Т^*ОО , при начально-краевых условиях
г>
= tA0(x) , Х ft; Гл| = 0 > t [ОД] . (4)
I)
О.А.Ладыженская. О некоторых нелинейных задачах теории.
сплошных сред. Тезисы докл.по приглаш../іежд.катєм.конгр. ,Ш. ,iS-jo, с.149.
2)
О.А.Ладыженская доказала , что начально-краеЕне задачи
(1),(4) и (2),(4) однозначно разрешимы в целом при VHT<00 ,и
решения этих задач устойчивы на любом конечном интервале времени, а также исследовала разрешимость начально-краевой задачи (2),(4) на полуоси R+ со свободным членом |(x/t) = f(X);V'tR,
jOOWv$0l S= ОД,2,..., построила для трехмерной системы (2) минимальный глобальный Q -аттрактор 7)Х- » изучила динамическую систем^' (Ж; V^ . t-Є. 1R ), порождаемую начально-краевой задачей (2),(4), доказала конечномерность динамики V^. на аттракторе 7TL и вычислила числовые характеристики аттрактора Tit - число определяющих мод и хаусдорфову размерность аттрак-тора Ж3.1-4)
Однозначная глобальная разрешимость при V Т< трехмерной начально-краевой задачи (3),(4) для уравнений движения
5),6) жидкостей Кельвина-Фойгта доказана в работах А.Л. Осколкова
После указанных выше работ [й - б] встали вопросы об однозначной разрешимости в целом трехмерных начально-краевых задач (1),(4)-(3),(4) на полуоси
о существовании в целом периодических по t с периодом Сд решений трехмерных уравнений (1)-(3) с периодическими по "t с
2)
О.А.Лады'некая. О новых уравнениях дтя описания движения вязких несжимаемых жидкостей и разрешимости в целом для них краевых задач. Го.г.іат.лн-та АН СССР,1937, т.102,с. 85-104; ^п.научн.се?.іКНЛіО:,!И, I960, т.7, с. -125-154.
'0.А.Ладыженская. 0 предельных режимах для модииЬицирэванкых уравнении Навьє-Стокса" в трехмерном ггоостранстве:5агг.научн.се-мин.ЛО.йІ, ГЭ79, т.84, с. ІЗІ-І45.
*)о.А.Ладыженская. 0 нахождении, минимальных глобальных аттракторов для уравнений Навье-Стокса и двугих угавнений с частными производными. У.'.Ш, 1987, т. 42, в. 6", с.25-60.
А. П.Соколков. Об одной нестационарной квазилинейно;! системе с калым параметром, регулярнзую;:;е:і систему уюЕнений Навье-Стокса. проол.матем.анализа, изд-во ЛГУ, 1&73,вып.4, с. 75-86. 6'А.Е. Осколков. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвпна-Фойгта и жидкостей Слдройта. То.іат.ин-та АН ЗССР. І9Б7, Т. 179, с. 12?-154.
периодом Од свободным членом j. (.*> w и об устойчивости реїла-ний трехмерных задач (і),(4) - (3),(4) при t,-*~oo . в последние года в ртае работ по теории обыкновениях .дифференциальных уравнений, теории функционально-дифференциальных уравнений и
ГИДрОДИНаМЯКИ ВЯЗКИХ НЬЮТОНОВСКИХ И НеНЫОТОНОВСКИХ КИДКОСТЄИ
В.А. Плисе (I9S4), Т.Йопизаза (І975),Дж.Хейл (1984), Ця.Сер-рин (1959), Дж.Хейвуд (1Э82). Дя.Хейвуд и P.Faimaxep (ISS2, 1986), А.Валли (1983), К.Гийопе и Дх.Со (1987), А.П.Осколков (1990) было показано, что теоремы существования решений начально-краевых задач на полуоси IK и теоремы об устойчивости решений этих задач при t-*-oo , взятые в совокупности, имеют многочисленные применения, например, позволяют доказать существование устойчивых периодических по Ъ с периодом сд решений диссипативннх нелинейных уравнений с периодическим по "Ь свободным членом у , или получить равномерные на полуоси оценки скорости сходимости различных приближенных методов, а эти последние оценки, в cbow очередь, как показали недавно Л.Б.Капитанский и И.Н.Костик (1990), необходимы при изучении связи между аттракторами ~Щ, нелинейных диссипативннх задач и аттракторами ?TL,приближенных задач при л/-+-оа , поэтому тема диссертации является актуальной.
Цель работы состоит в том, чтобы:
доказать теоремы существования и единственности в целом на полуоси 1R гладких решений трехмерных начально-краевых задач (1),(4)-(3),(4) при различных предположениях о свободном члене j2(x,t) и начальном условии Т/^ОО ;
доказать существование в целом гладких периодических по t с периодом Сд решений трехмерных уравнений (1)-(3) с периодическим по t с периодом Сд свободным членом ^Сх_Д);
построить теорию устойчивости решений трехмерной начально-краевой задачи (3),(4) для уравнений движения жидкостей Кельвина-Фойгта (главішм образом - обосновать принцип линеаризации, или первый метод Ляпунова, в теории устойчивости решений задачи (3),(4)), получить условия устойчивости и неустойчивости стационарного и периодического по t- решений задачи
(3),(4) и доказать существование, устойчивых и периодических по t с периодом Си решений урапненкй (3) с периодическим по Т- с периодом (л) свободным членом K(.*-,i.y.
Обі:;пя методика исследования. Используются функциональные методы решения начально-краевых задач математической физики, и гидродинамики, теорямы вложения функциональных пространств и теоремы о неподвижных точках компактных операторов; аналитическую основу диссертации составляют априорные оценки решений изучаемых задач.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты найдут применение при исследовании связи между аттракторами начально-краевых задач для модифицированных уравнений Равье-Стокса (і)-(З) и найденным О.А.Ладыженск'ой аттрактором 2Tt для уравнений Кр.вье-Стпкса при стремлении к нулк параметров регуляризации ^, и 32. , при получении, равномерных на полуоси Ц<+ сценок скорости сходимости, различных приближенных методов решения начально-краевых задач (1),(4)-(3),(4),при построения приближенных методов нахождения периодических по L решений уравнений (1)-(3) с периодическим по х, свободным чле ном|сх,Ъи получении оценок скорости сходимости зтих приближенных методов, при исследовании устойчивости конкретных течений жидкостей Кельвпна-Фойгта.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре акад.0.А.Ладыженской в Л 0.,51 им.В.А.Стеклова АН ССОР, на Всесоюзной конференции по нелинейным задачам математической физики (Ленинград, апрель 1991 г.), на 2-ой Советско-греческой конференции по математике (Тбилиси, ноябрь 1Э89 г.), на 27-ой Школе молодых математиков Уральского региона (Свердловск, январь 1990 г.), на ІУ-оі1 Іиколе молодых ученых Украины (Алушта, октябрь 1990 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-7] .
Объем :: сттт.'ктуга таботы. Лиссеэтация состоит из Введения
трех глав и занимает 103 стр.машинописного текста. Библиография содер:хит 45 наименован;:;:.
