Введение к работе
Актуальность темы. Проблемы спектральной теории несамосопряженных дифференциальных операторов в последние десятилетия привлекают к себе пристальное внимание исследователей. Им посвящены работы В. А. Ильина, В. П. Михайлова, Е. И. Моисеева, М. А. Наймар'ка, R Д. Будаева, И. С. Ломова, R R Тихомирова и др;
Одним из центральных вопросов этой теории является отыскание условий сходимости разложений по собственным и присоединенным функциям. Существенные результаты в этом направлении получены R А. Ильиным и его учениками. Введенная R А. Ильиным новая трактовка собственных и присоединенных функций позволяет рассматривать совершенно произвольные краевые условия, как локальные, так и нелокальные, а также системы функций, не связанные никакими краевыми условиями.
Рассматривая систему собственных функций оператора Лапласа и не предполагая ни полноты, ни минимальности, ни орто-нормированности этой системы, R А. Ильин доказал неравенство типа Гильберта '
со : .%
(WI >.Е
k-i
Ш Ильин RA. Неравенство типа.Гильберта по системе собственных функций оператора Лапласа для радиальной функции, отличной от нуля в шаре достаточно малого радиуса // Доклады АН СССР.- 1986. - Т. 291, N 6. - С. 1292-1296.
---«- г)
неравенства типа Бесселя и типа Хаусдорфа-Шга-Рисса
1|(ЫЧШьг
для радиальных функций, обращающихся в нуль вне шара доста
точно малого радиуса. >
Развивая методы, примененные в этих работах, X М. Каров '
доказал справедливость неравенств типа Гильберта и Хаусдорфа-
Юнга-Рисса по системе собственных и присоединенных функций
дифференциального оператора' второго порядка типа Штурма-Лиу-
вилля для классов четных и нечетных функций на отрезке.
"Цель работы. Целью работы является доказательство справедливости неравенства типа Гильберта и неравенства типа Хаус дорфа- Юнга-Рисса по системе собственных и присоединенных функций произвольного дифференциального оператора четного порядка для класса радиальных функций, обращающихся в нуль вне отрезка достаточно малой длины. При этом собственные и присоединенные функции понимаются в смысле определения, данного
[ 2] Ильин Е А., Йо И. Неравенства типа Бесселя и Хаусдорфа-Кнга-Рисса для функций из класса радиальных по системе собственных функций оператора Лапласа // Доклады АН ССОР. - 1986. - Т. 291, N 2. - С. 284-288.
13] Каров ХМ. Неравенство Хаусдорфа-КЬга для собственных и присоединенных функций дифференциального оператора второго порядка // Математические заметки. - 1987. - Т. 42, N 3. - С. 411-421.
ЕЛ-Ильиним ', без требования удовлетворения каким-либо Крае-ВійІ УСЛОВИЯМ.
Научная новизна. Все доказанные в работе результаты яз-хчится новыми. Перечислим главные из них:
сформулированы и обоснованы достаточные условия выползания неравенства типа Гильберта для коэффициентов <1урье раз-голэния радиальной функции по системе регулярных корневых функций дифференциального оператора четного порядка;
сформулированы и обоснованы достаточные условия выполнения неравенства типа Хаусдорфа-Юнга-Рисса для іюзффициепхоз 'урье разложения радиальной ~функции по системе регулярнее торнезых 'функций дифференциального оператора четного порядил без предположений о ее полноте, минимальности или ортоиорми-рованиедти.
Сбняя методика исследования. Для сбоспозп'шя результатов, содер.-кгп'цхсл в работе, ислользуг/гся методы классического анализа а теории дифференциальных операторов.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученное з ней результаты г.югут Счтъ использованы в спектральной теории несамосопря.-йннис операторов,.,а такзэ при чтении специальна ісурсов.
! Апробация работы. Результати диссертации докладывались '.zx научно.-исследозательсксм семинаре ;*зфедры об-^ей :.атемат"ки факультета Г2йиН МГУ под руководством академика а Л. Ильина. .-" Публикации.. Основные результаты дисес-ртзцізі опублгкевсли в работах Ш-ТЗЗ.
43 JtesH ЕЛ. О безусловной басисноети на сіїгаутсм интервале систем собственных я присседипаяннх функций дифференциального оператора второго порядта // .Доклады АН СССР. -1983. - Т. 273, N Б. - С. KMS-JOSE
Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, двух глав и списка литературы, содержащего 12 наименований. Полный текст диссетации эанимает 63 страницы машинописного текста.