Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Задачи с пространственно нелокальными условиями для гиперболических уравнений 15
1. Задача с динамическим нелокальным условием 15
2. Нелокальная задача с условиями типа DI 28
Глава 2. Задачи с нелокальным по времени условием для гиперболического уравнения 47
3. Задача с нелокальным по времени интегральным условием 48
4. Обратная задача 63
Список литературы 79
- Задача с динамическим нелокальным условием
- Нелокальная задача с условиями типа DI
- Задача с нелокальным по времени интегральным условием
- Обратная задача
Введение к работе
Актуальность темы. Нелокальные задачи для уравнений с частными производными образуют важный и интересный раздел общей теории дифференциальных уравнений. Систематическое изучение нелокальных задач началось сравнительно недавно, но в настоящее время это направление бурно развивается. Это можно объяснить тем, что современный уровень развития естествознания приводит к необходимости постановки качественно новых задач и, следовательно, к необходимости разработки методов их исследования. Один из классов качественно новых задач образуют задачи с нелокальными условиями.
Нелокальными принято называть такие условия, которые представляют собой соотношения, связывающие значения искомого решения и его производных в различных граничных и внутренних точках области, в которой ищется решение задачи. Нелокальные условия возникают при изучении задач полимеризации, радиационного переноса, сверхпроводимости, излучения лазера, динамики микробных популяций, генетики, демографии. Задачи с нелокальными условиями ставятся при изучении электрических волновых явлений, моделировании жидких кристаллов, в атомной теории решеток. Первой работой, посвященной изучению задач с нелокальными условиями принято считать работу В.А. Стеклова «Задача об охлаждении неоднородного твердого тела». Задачи с нелокальными граничными условиями для уравнений различных типов, в том числе и для уравнений смешанного типа, рассматривались в работах А.А. Алиханова, А.В. Бицадзе и А.А. Самарского, А.К. Гущина, В.И. Жегалова, В.П. Михайлова, A.M. Нахуше-ва, О.А. Репина, К.Б. Сабитова, А.Л. Скубачевского, В.А. Стеклова, ЕА. Уткиной, Ф.И. Франкля и сыграли большую роль в последующих исследованиях. Большинство полученных на данный момент результатов изложено в обзорах и монографиях A.M. Нахушева, ЗА. Нахушевой, Л.С. Пулькиной, ОА. Репина, А.Л. Скубачевского.
Внимание исследователей привлекают нелокальные задачи с интегральными условиями. Систематическое исследование нелокальных задач с интегральными условиями берет начало с работ Дж.Р. Кэннона и Л.И. Камынина. В этих статьях исследованы нелокальные задачи с интегральными условиями для параболических уравнений. В дальнейшем изучение таких задач продолжено в работах А. Бузиани, Н.И. Ионкина, А.И. Кожанова, Л.А. Муравья и А.В. Филиновского и других авторов. Работ, в которых исследуются нелокальные задачи для гиперболических уравнений, намного меньше. Их интенсивное изучение началось в конце XX века. Одними из первых работ являются статьи Л.С. Пулькиной. Публикации по данной тематике можно разделить на две группы. Первая группа содержит работы, посвященные исследованию задач с интегральным аналогом задачи Гурса. Задачи, входящие в эту группу, исследованы в статьях А.Т. Асано-
вой, В.А. Водаховой, О.М. Кечиной, З.А. Нахушевой, Л.С. Пулькиной, Е.А. Уткиной.
Ко второй группе можно отнести смешанные задачи, в которых либо краевые, либо начальные условия являются нелокальными. Такие задачи изучались в работах Г.А. Авалишвили и Д.Г. Гордезиани, С.А. Бейлина, А. Бузиани, В.В. Дмитриева, А.И. Кожанова и Л.С. Пулькиной. Различают нелокальные интегральные условия первого и второго рода. Интегральные условия первого рода - это условия, содержащие значения искомого решения только во внутренних точках области. Интегральными условиями второго рода называют соотношения, связывающие значения искомого решения и его производных как во внутренних точках области, так и в точках ее границы. В работе Л.С. Пулькиной показаны различия между условиями первого и второго рода.
В свою очередь, среди интегральных условий второго рода можно выделить следующие:
1) Интегральное условие содержит след производной по пространственной переменной. Например, в многомерном случае
du(x,t)
+ / K(x,y,t)u{y,t)dy = 0, (x,t) Є ST,
дп
где St - боковая поверхность цилиндра.
2) Интегральное условие содержит след самого решения:
u(x,t) + / K(x,y,t)u(y,t)dy = 0, (x,t) Є St, n
где St - боковая поверхность цилиндра.
Будем обозначать условия вида 1) и 2) N1 и DI соответственно. Для исследования задач с условиями N1 и DI разработаны различные методы доказательства разрешимости, эффективные именно для каждого из этих вариантов нелокальных условий. Оказалось, что в случае N1 наиболее удачным является метод компактности, позволяющий доказать разрешимость задачи в пространстве Соболева, а в случае DI можно применить как метод вспомогательных задач, так и метод сведения задачи с классическими граничными условиями, но для нагруженного уравнения.
Исследование нелокальных задач выявило их тесную связь с обратными задачами. В обратных задачах вместе с начальными и граничными условиями, характерными для той или иной прямой задачи, задается дополнительная информация, необходимость которой обусловлена наличием неизвестных коэффициентов или неизвестной правой части уравнения. Особый интерес вызывают
обратные задачи с интегральными условиями переопределения, так как дополнительная информация часто поступает в усредненном виде. Основная часть работ, посвященных обратным задачам, содержит результаты исследований обратных задач для уравнений параболического типа. Отметим работы Н.И. Иван-чова, В.Л. Камынина, Дж. Кэннона с соавторами, А.Б. Костина, А.И. Прилепко и Д.С. Ткаченко. Изучены вопросы существования и единственности решения. Для гиперболических уравнений исследование обратных задач является более трудным, и не всегда можно найти решение вне некоторой области. Следует отметить, что в большинстве случаев, математическая модель физического процесса, описываемая с помощью уравнения гиперболического типа, является более точной. По этой причине интерес к изучению обратных задач для уравнений гиперболическго типа возрастает. Обратные задачи для гиперболических уравнений представлены в работах Н.Л. Абашеевой, А.Х. Амирова, Н.В. Бейлиной, A.M. Денисова, М.Ю. Кокурина и С.К. Паймерова, М.М. Лаврентьева и В.Г. Романова, С.С. Павлова, В.Г. Романова, P.P. Сафиулловой.
Представленная диссертация содержит результаты исследований задач с нелокальными по временной переменной условиями для гиперболических уравнений, пространственно нелокальных задач для многомерного гиперболического уравнения, задач с динамическими условиями, а также обратной задачи для многомерного гиперболического уравнения.
Цель работы. Целью настоящей работы является развитие методов исследования разрешимсти задач с пространственно нелокальными условиями типа N1 и доказательство с их помощью разрешимости задачи с динамическими условиями, а также разработка новых методов исследования задач с условиями DI, разработка методов исследования разрешимости задач с нелокальным по времени условием и обратной задачи для гиперболического уравнения.
Общая методика исследования. В работе используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, интегральных уравнений, аппарат функциональных пространств С.Л. Соболева, методы априорных оценок.
Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты:
-
Доказана разрешимость задачи с динамическими условиями, содержащими интегральный оператор.
-
Разработан новый метод исследования задач с условиями типа DI, который оказался эффективным в случае одной пространственной переменной.
-
Доказана разрешимость задачи с нелокальным по времени условием.
-
Доказана однозначная разрешимость обратной задачи для гиперболического уравнения.
Все результаты диссертации являются новыми.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и методы представляют научный интерес и могут быть использованы для дальнейшего развития теории нелокальных задач, для применения в исследовании обратных задач для гиперболических уравнений, для исследования прикладных задач, математическими моделями которых являются задачи с нелокальными интегральными условиями.
Апробация работы. Основные результаты исследований по теме диссертации докладывались на:
Межвузовском научном семинаре кафедры уравнений математической физики Самарского государственного университета в 2011-2015 гг. (руководитель - д.ф-м.н., профессор Л.С. Пулькина);
СамДифф-2011, Всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения», Самара, 2011;
СамДифф-2013, Всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения», Самара, 2013;
1-ой Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых с международным участием «Проблемы и перспективы развития естественных наук», Орел, 2014;
Четырнадцатой Всероссийской молодежной школе-конференции «Лобачевские чтения — 2015», Казань, 2015;
Десятой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара, 2016.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в семи работах [1]-[7]. Список публикаций приведен в конце автореферата. Три статьи: [1]-[3] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК. В совместной работе [3] постановка задачи и идея доказательства принадлежит научному руководителю Л.С. Пулькиной.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы из 125 наименований, включая работы автора. Объем диссертации составляет 96 страниц машинописного текста.
Задача с динамическим нелокальным условием
Применив теперь к (1.19) лемму Гронуолла, приходим к неравенству J[(uT(x,r))2 + (и(х,т))2 + (um(x,r))2]dx Ме / 2(дт) . п После интегрирования этого неравенства по г от 0 до Т, получим lk.mil г 2 IF ІІИЗДт) - с4 II / IIL2(QT) где С4 0 и не зависит от т. Благодаря полученной оценке из последовательности {um(x,t)} можно выбрать подпоследовательность, слабо сходящуюся в W QT) И равномерно по t Є [0,Т] в норме (П) при m — оо к некоторому элементу u(x,t) Є W HQT) [48]. Покажем, что ее предел и есть искомое обобщенное решение задачи (1.1)-(1.3). Умножим (1.10) на hi(t), h{{t) Є С [0,Т], hi(T) = 0 просуммируем по і от 1 до т и проинтегрируем по t от 0 до Т. Обозначив
В равенстве (1.21) перейдем к пределу при фиксированной функции hm(x,t) и получим тождество (1.4) для предельной функции и(x,t). Таким образом, тождество (1.4), определяющее обобщенное решение, выполняется для всех m функций вида hm(x,t) = 2 hi(t)wi(x). Так как множество всех таких функ ций плотно в W),{QT) [48] (с. 215), то тождество (1.21) выполняется для всех v Є W QT), а значит, совпадает с тождеством (1.4), что и завершает доказательство теоремы.
В этом параграфе рассмотрена задача с нелокальными условиями второго рода типа DI, т.е. представляющие собой соотношения, в которые входят следы искомого решения на боковой границе и интегральный оператор. Однозначная разрешимость задачи доказана с помощью метода, отличного от известных ранее [41], [70]. Разработанный метод позволил отказаться от некоторых условий на входные данные, обеспечивающих разрешимость задачи, а именно, от требования обратимости оператора, порождаемого нелокальным условием. При реализации этого метода обнаружилась интересная связь нелокальных интегральных условий с динамическими условиями, содержащими производную второго порядка.
Задача 2. В ограниченной области QT = (0, /) х (0,Т) рассмотрим уравнение щь - {а(х, t)ux)x + с(х, t)u = f(x, t) (1.22) и поставим задачу с интегральными условиями. Найти в QT решение уравнения (1.22), удовлетворяющее начальным данным и(х,0) =,0) = 0, (1.23) а также интегр 0, щ(хальным условиям u(0,t) + / Ki(x)u(x,t)dx = О, (1.24) «с )+/ад«(м) ь=о. о Исследование поставленной задачи начнем с доказательства утверждения, выявляющего связь нелокального условия (1-24) с условием, содержащим значение производных по пространственной переменной на боковой границе рассматриваемой области QT Лемма 1. Если и Є C2{QT) П C1(QT), удовлетворяет уравнению (1.22) и условиям (1.23),
Рассмотрим полученные равенства как системы уравнений относительно ііж(0,) и ux(l,t). В силу условия А т 0 ее можно разрешить относительно ІІЖ, в результате чего приходим к условиям (1.25).
Теперь, предположим, что выполняются равенства (1.22), (1.23) и (1.25). Но тогда выполняются и (1.28). Интегрируя слагаемые, содержащие (a(x,t)K-(x))xu, дважды по частям, и учитывая условия леммы, получим: Utt(0,t) = - Ki(x)utt(x,t)dx, о Utt(l,t) = - K2(x)utt(x,t)dx. (1.29) о Интегрируя (1.29) no t, получим: Ut(0,t) — щ(0, 0) + / Ki(x)utdx — / KiUt(x,0)dx = 0, о о Ut(l,t) — щ(1,0) + / K i{x)utdx — \ K2Ut(x,0)dx = 0 о о и учтем начальное условие щ(х,0) = 0, после чего интегрируем еще раз и учитываем и(х,0) = 0, получим (1.24). Таким образом, доказанное в лемме 1 утверждение позволяет нам перейти от исходной задачи к задаче с нелокальными условиями (1.25).
Задача 2.1. Найти в QT решение уравнения (1.22), удовлетворяющее условиям (1.23) и (1.25). Смысл перехода к задаче 2.1 от исходной задачи состоит в следующем. Заметим, что в отличие от условия (1.24), условие (1.25) содержит в качестве внеинтегрального члена значения выводящей производной неизвестной функции на боковой границе, т.е. ux(0,t),ux(l,t), что позволит нам при доказательстве разрешимости задачи воспользоваться методом компактности. Это становится видно на первом этапе исследования, при выводе интегрального тождества для определения обобщенного решения.
Нелокальная задача с условиями типа DI
В этой главе рассматриваются задачи с нелокальным интегральным условием, которое содержит интеграл по переменной/: от искомого решения. Как и в случае пространственно нелокальных интегральных условий будем различать условия первого и второго рода [74] в зависимости от того, содержит ли т оно внеинтегральное слагаемое, или нет. Так, условие J Kudt = h(x) является о т т условием I рода, условия видаг (ж, 0)+J Kudt = Е(х) или щ(х, 0)+J Kudt = о о Ф(х) - условия II рода. Исследования нелокальных задач выявили их тесную связь с обратными задачами [73]. Естественным из физических соображений условием переопределения в обратных задачах является интегральное условие I рода [33], [58], [59], [92], [93], [111], которое интерпретируется как действие некоего прибора, регистрирующего характеристики физических полей. Однако, при исследовании задач с нелокальными условиями I рода могут возникнуть трудности, связанные с тем, что задача с нелокальным условием I рода сводится к операторному уравнению I рода. В случае пространственно нелокальных условий эта трудность может быть преодолена с помощью метода, предложенного в [72], который заключается в сведении задачи с интегральным условием I рода к эквивалентной задаче с условиями II рода. Этот метод можно применить и в случае нелокального по времени условия.
Задача с нелокальным по времени интегральным условием Пусть Q — ограниченная область в Rn с гладкой границей 9Г2, Т — конечное число. Обозначим QT = Q х (0,Т), ST = dQ х (0,Т) — боковую поверхность цилиндра QT- Рассмотрим уравнение Lw = Utt — Аи + c(x,t)u = f(x,t) (2.1) и поставим для него следующую задачу. Задача 3. Найти в цилиндре QT решение уравнения (2.1), удовлетворяющее граничному условию Q =0, (2.2) u(x,t) начальному условию и(х,0) = (р(х) (2.3) и нелокальному условию т о Основным результатом этой главы является доказательство разрешимости задачи 3. Исследование разрешимости задачи Лемма 2. Пусть выполняются условия / Є L2(QT), ft Є L2(QT), ір Є Wi(Q)n w\ W,c Є C(QT). Если функция к{t) в (2.4) удовлетворяет условиям ікеС ОДпС Г), fc(T) = fc (T) = 0, k(0) 0,he С2 (П)ПС(П) и выполняется условие согласования /г(ж) = 0, то задача (2.1)—(2.4) эк-вивалентна задаче отыскания решения уравнения (2.1), удовлетворяющего условиям (2.2), (2.3) и нелокальному условию второго рода
Теперь сосредоточим внимание на разрешимости задачи с нелокальным условием второго рода. Задача 3.1. В области QT найти решение уравнения (2.1), удовлетворяющее условиям (2.2), (2.3) и (2.5). Введем понятие обобщенного решения задачи 3.1. Пусть u(x,t) - решение поставленной задачи. Умножим уравнение (2.1) на произвольную функцию v Є W QT), WKQT) = {V : V Є WKQT), V(X,T) = 0} И проинтегрируем по области Q:
Обобщенным решением задачи 3.1 будем называть функцию и Є W21(QT), удовлетворяющую условию и(х,0) = (р(х) и тождеству (2.7) для любой функции v Є W2 1 (QT) Пусть выполняются следующие условия: 1. /GL2(Qr), ipeW2(n); 2. ceC(QT), дєЬ2(П); 3. KeC{QT). Из условия 2 следует, что существует положительное число Со такое, что т max \c(x,t)\ со- Обозначим ко = max J K2(x,t)dt, с\ = со(1 + г2) + т. Q T О Теорема 3. Пусть выполняются условия 1-3, а так же ко -Рзу- (2.8) Тогда существует единственное обобщенное решение задачи 3.1. Доказательство. Единственность обобщенного решения докажем, как обычно, от противного. Предположим, что существуют два различных решения ui(x,t) и u2(x}t) задачи 3.1. Тогда их разность u(x,t) = U\(x,t) — u2(x}t) удовлетворяет условию и(х, 0) = 0 и тождеству
Оценим правую часть равенства (2.10). Для оценки первого слагаемого правой части применим неравенства Коши, Коши-Буняковского и представление функции v(x,t). Из представления функции v(x,t) легко получить неравенство: Для обоснования разрешимости задачи 3.1 воспользуемся методом вспомогательных задач, который заключается в следующем: будем временно считать заданным второе из начальных условий щ(х,0) = ф{х). Тогда мы можем воспользоваться известными результатами о разрешимости получившейся начально-краевой задачи, а затем применим к решению этой вспомогательной задачи нелокальное условие (2.5), что приведет к операторному уравнению относительно неизвестной функции1 (х). Если это уравнение разрешимо в подходящем пространстве, то решение вспомогательной задачи, в условиях которой ф{х) есть решение операторного уравнения, и будет решением поставленной задачи.
Задача с нелокальным по времени интегральным условием
Исследование нелокальных задач выявило их тесную связь с обратными задачами. Обратные задачи, в которых требуется определить правую часть дифференциального уравнения возникают при изучении физических объектов или явлений в том случае, когда помимо решения уравнения необходимо восстановить действие внешних источников. Обратные задачи для уравнений с частными производными различных типов исследовались во многих работах [33], [58], [59], [92], [114].
В обратных задачах вместе с начальными и граничными условиями, характерными для той или иной прямой задачи, присутствует дополнительное условие, появление которого объясняется наличием неизвестных коэффициентов или правой части уравнения. Дополнительная информация, называемая условием переопределения, представлена в различных формах. Данная информация определяется природой изучаемого объекта и используемым экспериментальным комплексом. Однако, часто данные поступают в усредненном виде, и тогда их удобно представить как интеграл от искомого решения. Именно такое условие переопределения рассматривается ниже.
Пусть Q - ограниченная область в Rn с гладкой границей dQ. Т - конечное число. Обозначим QT = Q х (0,Т), ST = dQ х (0,Т) — боковая поверхность цилиндра. Рассмотрим в QT уравнение йи — Дй + с(х, t)u = p(x)h(x, t) + f(x, t). (2.28) Задача 4. Найти пару функций {м,р}, удовлетворяющих уравнению (2.28) и условиям й(х, 0) = (р(х), щ(х, 0) = ф(х), (2.29) u(x,t)\sT = 0 (2.30) и условию переопределения т H{t)u{x,t)dt = E{x). (2.31) о Будем искать решение в виде {й,р} = {u,p} + {v,0}, где { ,0} - решение следующей прямой задачи: Задача 4.1. Найти в области QT = Q х (0,Т) решение уравнения -Д + с(ж,ф = /(ж, ), (2.32) удовлетворяющую начальным данным г (ж,0) = /?(ж), г г(ж,0) = ф(х), (2.33) и граничному условию v(x,t)\sT = 0. (2.34) А пара функций {и,р} - решение следующей обратной задачи: Задача 4.2. Найти пару функций {м,р}, удовлетворяющих уравнению ии(х, t) — Аи(х, t) + с(х, t)u(x, t) = p(x)h(x, t), (2.35) начальным данным и(х,0) = 0, щ(х,0) = 0, (2.36) граничному условию u(x,t)\sT = 0 (2.37) и условию переопределения т H{t)u{x,t)dt = E{x), (2.38) о где т Е(х) = Ё{х) - I H{t)v{x,t)dt. (2.39) о Доказательство разрешимости прямой задачи (2.32)-(2.34) повторяет рассуждения, используемые при доказательстве разрешимости аналогичной задачи 3.2 предыдущего параграфа. Поэтому сосредоточим внимание на исследовании обратной задачи (2.35)-(2.38). Исследование разрешимости обратной задачи Прежде, чем формулировать основной результат, проделаем некоторые преобразования и докажем вспомогательные утверждения, нужные для обоснования разрешимости поставленной задачи. Обозначим т О Пусть и Є C2(QT) f]Cl(Qr)} р Є C(Q), и выполняются равенства (2.35)-(2.38). В этом случае пару функций {и,р} будем называть классическим решением задачи. Будем предполагать выполненными следующие условия:
Пусть теперь {и,р} удовлетворяет уравнению (2.35), и выполняются условия (2.36), (2.37), (2.40). Интегрируя (2.35), умноженное на H(t), от 0 до Т, получим, принимая во внимание условия Н(Т) = Н (Т) = 0, равенство т т т 0 0 0 откуда в силу (2.40) т {Н№Ф, ) -ЬВ1 ) = 0. (2.4!) Из граничных условий (2.37) следует, что т / H(t)u(x,t)\sTdt = 0. (2.42) Уравнение (2.41) можно записать так: т Д(/ж«м-,«)л-ад) = о. Интегрируя его с учетом условий (2.42), получим т о т.е. выполняется условие (2.38). Таким образом доказана Лемма 3. Если выполняются условия (А) и (В), то задачи (2.35)-(2.38) и (2.35)-(2.37), (2.40) эквивалентны. Доказанная лемма позволила разработать подход к обоснованию разрешимости поставленной задачи, который заключается в следующем. Сначала мы докажем существование и единственность обобщенного решения задачи (2.35)-(2.37), (2.40), а затем покажем, что при выполнении некоторых дополнительных условий на входные данные оно будет решением задачи (2.35)-(2.38). Обозначим W}(QT) = {v:ve W}(QT)Xx,T) = 0}. Введем понятие обобщенного решения задачи (2.35)-(2.37), (2.40). Для этого сначала выведем тождество, следуя известной процедуре [48] (с. 93): умножим (2.35) на v Є W {QT) И проинтегрируем по QT- Получим т т \ \ [—ЩЩ + VMV-U + cuv)dxdt = / p(x)h(x,t)v(x,t)dxdt. (2.43) on on Определение 6. Обобщенным решением задачи (2.35)-(2.37), (2.40) будем называть пару функций {и}р}, таких что и Є WI{QT) P Є (П), выполняется условие (2.40), и для всех-и Є W),{QT) справедливо тождество (2.43). Рассмотрим теперь задачу (2.35)-(2.37), предполагая, что р(х) известна. Обобщенное решение этой задачи существует, единственно, и справедлива оценка [48] (с. 209).
Обратная задача
Пусть a(x,t) ao 0 V(x,t) Є QT- Воспользуемся произволом т, выберем его так, чтобы выполнялось неравенство 2о 2А\т 0. Для определенности будем считать, что 2о 2А\т -у- Тогда первое слагаемое правой части в (1.36) можно перенести в левую часть, и для всех г Є [0, -f -\ будет выполнятся неравенство то \ [и2(х}т) + w2(x}r)}dx A3 [u2(x}t) + w2(x}t)]dxdt} о о где rriQ = min{l} у}, А% = max{2Ai}A2}. Но тогда с помощью неравенства Гронуолла заключаем, что откуда получаем, что u(x,t) = 0, Є [0, f -\- Повторяя рассуждения для г Є tiA JA \ И пРДлжая этот процесс, мы за конечное число шагов убедимся в том, что u(x,t) = OVt Є [0,Т], что и опровергает наше предположение о существовании более одного решения.
Существование обобщенного решения
Для доказательства существования обобщенного решения воспользуемя следующей схемой: построим последовательность приближенных решений; получим априорную оценку; покажем, что полученная априорная оценка позволяет выделить слабо сходящуюся подпоследовательность; докажем, что предел этой подпоследовательности и есть искомое решение. Приступим к реализации данной схемы. Пусть wk(x) Є О2[0, /] - функции, образующие линейно независимую полную в W2 (0,/) систему. Будем искать приближенное решение задачи в виде т um(x,t) = Y,Ck(t)wk(x) (1.37) к=1 из соотношений / / (u Wj + auWj + cumWj)dx+ о +wk(0)[anum(0, t)+a12um(l, )+/3n (0, t)+f312um(l, t)+f #і(ж, t)u(x, t)dx\ o / -wk(l)[a2lum(0} t)+a22um(l} t)+(32lu(0} t)+(322um(l} t)+j H2(x, t)u(x, t)dx] = о / / / = / f(x}t)wj(x)dx — Wj(0) / Si(x)f(x,t)dx+ Wj(l) / S2(x)f(x}t)dx. (1.38) ooo Соотношения (1.38) вместе с начальными условиями ск(0) = 0,с (0) = 0 представляют собой задачу Коши для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений относительное ), разрешимость которой гарантирована условиями теоремы. Покажем, что эта система разрешима относи т тельно старших производных. Подставляя в (1.38) um(x}t) = ck(t)wk(x), ooo Здесь мы не можем воспользоваться свойством матрицы Грама в силу структуры коэффициентов Akj. Поэтому для доказательства разрешимости системы относительно старших производных рассмотрим квадратичную форму с q = J \z(x)\2dx + /3nz(0)2 + 2{3l2\z( d)\\z(l)\ - (322\z(l)\2. В силу условия (с) теоремы 2 q 0, причем равенство нулю возможно только при условии z = 0. Так как функции Wi(x) линейно независимы, то z = 0 только при j = 0 Vi = 1, ...,m. Следовательно, квадратичная форма, а также матрица коэффициентов при старших производных системы (1.38), положительно определена, а это и означает разрешимость системы относительно старших производных. По условию теоремы коэффициенты системы ограничены, а свободные члены fj Є Li(0,T). Таким образом, решение задачи Коши для системы (1.38) существует, причем ск Є Li(0,T). А это означает, что последовательность приближенных решений построена.
Для обоснования существования обобщенного решения поставленной задачи нам понадобится априорная оценка, к выводу которой мы и переходим. Умножив каждое из равенств (1.38) на с-(), просуммировав по j от 1 до т и проинтегрировав по t от 0 до т, получим равенство
Применяя неравенства Коши, Коши-Буняковского, условие теоремы (d), используя те же приемы, что и при доказательстве единственности решения, получим следующие оценки Следовательно, из построенной последовательности приближенных решений {ит{х, t)} можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность BW(QT)-Сохраним за ней прежнее обозначение. Теперь покажем, что предел выделенной подпоследовательности, и Є W(QT), И есть искомое приближенное решение. Для этого умножим каждое из равенств (1.38) яаdj Є С (0,Т),dj(T) = О, просуммируем по / от 1 до т, а затем проинтегрируем от 0 до Т.
Обозначим Nm совокупность функций вида dj(t)wj(x). Из какого-либо множества 7VTO. зафиксируем произвольную функцию ту (ж, ). В силу поученной выше слабой сходимости выделенной подпоследовательности в (1.45) можно перейти к пределу при m — оо. В результате мы приходим к тождеству (1.30) для предельной функции и Є W{QT), которое справедливо для произ оо вольной функции г] Є Nm.. Так как (J Nm плотно в W(QT), полученное в m=l результате предельного перехода тождество выполняется для любой функции из W(QT)- ЭТО И означает, что обобщенное решение задачи 2.1 существует. Таким образом, теорема 2 доказана.