Введение к работе
Актуальность темы. Исследование корректной разрешимости начально-краевых задач для эволюционных уравнений является одной из актуальных проблем в современной математике. В приложениях к различным проблемам естествознания важную роль играют математические модели с нестационарными граничными условиями. Сюда, в частности, относятся задачи, возникающие в явлениях тепломассопереноса.
Понятие корректной постановки задач математической физики было введено Ж. Адамаром в связи с желанием выяснить, какие типы граничных условий наиболее естественны для различных типов дифференциальных уравнений.
Пусть F и U - метрические пространства с соответствующими метриками рр и р\]. Согласно Адам ару, задача определения решения и Є U уравнения
Аи = /, (1)
где / Є F задано, называется корректно поставленной на паре метрических пространств (F, U) , если выполняются условия:
для всякого / Є F существует и Є U решение уравнения (1);
решение определяется однозначно;
задача устойчива на пространствах (F,U), если для любого є > О можно указать такое 6(e) > 0, что из неравенства /^(/ъ/г) < ^(є) следует ри(щ,щ) < є.
Обычно топологии определяются постановкой задачи и не могут выбираться произвольно.
В связи с этим возникает следующая проблема, связанная с выбором топологий в пространствах данных задачи F и решений U:
а) с одной стороны, желательно, чтобы эти топологии не зависели от
оператора А. Например, в случае, когда А = А(Х) - оператор зависящий
от некоторого параметра А, важно, чтобы область определения обратного
оператора Л_1(А) ( например, резольвенты R(X,A) = (А — Х1)~г) была
не зависящей от параметра А;
б) с другой стороны, хотелось бы иметь наиболее широкие простран-
ства данной задачи F, при которых решение задачи остается в некотором "достаточно хорошем "классе U.
В диссертации рассматривается только тот случай, когда оператор А линейный, а пространства U и F банаховы. В этом случае для того чтобы линейная задача (1) была корректной в паре банаховых пространств (U, F) необходимо и достаточно, чтобы существовал оператор R = А~1, действующий из F в U: причем область определения оператора D(R) совпадает с F и оператор R был ограниченным из F в U.
Отметим, что абстрактная теория полугрупп операторов была построена с целью изучения корректной разрешимости задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка в банаховом пространстве.
При этом важным является вопрос о поведении полугруппы при t —> 0.
Решению проблем связанных с этим фактом посвящены многочисленные работы таких математиков как: А.Г. Баскаков - теория отношений; Федоров В.Е., Свиридюк Г.А. - задача Коши для дифференциального уравнения неразрешенного относительного производной Lv! = Аи\ Ю.Т. Сильченко - уравнения с неплотно определенным оператором А.
Отметим, что полугрупповое свойство обеспечивает экспоненциальный рост решения, а, следовательно, и полугруппы U(t) при t —> оо, что позволяет к их исследованию применять преобразование Лапласа.
Однако существует обширный круг задач, в которых решение растет быстрее экспоненты. Для таких задач применение к исследованию преобразования невозможно. В тоже время к ним может быть применен другой метод - метод С.Г. Крейна.
Например, вопрос об устойчивости по начальным данным решения
задачи:
du(t,x) d2u(t,x)
dt дх2
ди дх
0 < х < оо,0 < t < оо; (2)
х=о = q(t); (3)
\imu(t,x) = 0; (4)
X—^oo
u{0,x) = 0, (5)
а, следовательно, о ее корректной разрешимости сводится к указанию пространств функций, в которых оператор дробного интегрирования
«(*, o)=-L г'^в (6)
V^ Jo y/t-s
является ограниченным.
Однако оператор заданный выражением (6) и определенный в классических пространствах Lp^p(0} оо) и Ср[0, оо] со степенными весами p(t) = (1 + t)a не является ограниченным. И, следовательно, задача (2)-(5) в этих пространствах не является корректной.
С этой же точки зрения важны исследования и левого интеграла дробного интегрирования
1 ґ
t1-^ = Т^Л / (s - *)a_1/Mds>" > 0. (7)
В связи с этим возникла задача поиска класса функциональных пространств отличных от экспоненциально-весовых. И, в частности, включающих в себя функции растущие или убывающие быстрее экспоненты.
В настоящей диссертации вводятся и изучаются весовые пространства естественным образом обобщающие и включающие классические пространства Lp, C[_oo;00], Sp[0, оо), а также пространства Sp^, введенные В.А. Костиным, А.В. Костиным, в которых операторы (6) и (7) ограничены. Что позволит показать корректную разрешимость задачи (2)-(5) в этих пространствах.
При исследовании корректной разрешимости различных задач приходится изучать возникающие интегральные операторы и вводить соответствующие пространства, в которых эти операторы ограниченно действуют.
В частности, с этой целью В.А. Костиным введены n-мерные пространства Степанова SPii(Rn), в которых исследовались полугруппа Гаусса-Вейрштрасса и оператор Лапласа.
В диссертации с целью изучения равномерной корректной разрешимости задачи Коши, используя подход СМ. Никольского и результаты, полученные В.А. Костиным для пространств Spj(Rn): вводятся и исследуются анизотропные пространства Степанова - множество локально интегрируемых на Шп функций, для которых имеет место норма
ll/lk7 = sup ||T(Q/||Wr
Цель работы. Основная цель диссертационной работы - исследование корректной разрешимости в новых функциональных классах с использованием методов исследования теории дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. С этой целью используется теория весовых пространств, теория сильно непрерывных полугрупп, метод С.Г. Крейна.
Методика исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы теории полугрупп,теории функций и функционального анализа, метод С.Г. Крейна, методы теории дифференциальных и интегральных уравнений.
Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.
Введены весовые классы функций, содержащие классические пространства Степанова. Показана инвариантность относительно операции дробного интегрирования в этих пространствах.
Получена корректная разрешимость в весовых пространствах Степанова с надэкспоненциально растущими и подэкспоненциально убывающими весами некоторых нестационарных задач для уравнения теплопроводности с исходными данными не преобразуемыми по Лапласу.
Определен оператор Лапласа в анизотропных пространствах Соболева-Степанова-Никольского и показано, что он является генератором Cq-полугруппы Гаусса-Вейерштрасса в анизотропных пространствах Степанова.
Доказана теорема о сильной непрерывности полугруппы Гаусса-
Вейерштрасса в анизотропных пространствах Степанова.
5. Получена корректная разрешимость в анизотропных пространствах Степанова.
Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Результаты, представленные в диссертации, могут найти применение при решении обширного круга задач, в частности, разнообразных моделей тепломассопереноса.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Воронежской зимней математической школе С.Г.Крейна (Воронеж, 2010 г.), Воронежской зимней математической школе - 2011 (Воронеж, 2011 г.), семинаре по глобальному и стохастическому анализу (ВГУ, 2010 г.), Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач "Понтрягинские чтения - ХП"(Воронеж, 2011 г.), семинаре ВГУ по нелинейному анализу (рук. проф. Ю.И. Сапронов).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 8 работах.Из совместных публикаций [2], [7] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору. Работа [7] соответствует списку ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы из 51 наименования. Общий объем диссертации — 94 стр.
Похожие диссертации на О корректной разрешимости некоторых задач для эволюционных уравнений в обобщенных пространствах Степанова
