Содержание к диссертации
Введение
Основные теоремы о локально явных уравнениях 17
1.1 Основные свойства локально явных уравнений 19
1.1.1 Критерий локальной явности . 19
1.1.2 Утверждение о единственности 19
1.1.3 О записи локально явного уравнения без o(dt) для класса сильных решений 20
1.1.4 Утверждение о продолжении решения до ыепродолжимого 20
1.1.5 Утверждение о глобальной разрешимости . 22
1.2 Уравнение реле 23
1.2.1 Феноменологическое описание реле с гистерезисом 23
1.2.2 Модель реле в виде локально явного уравнения 23
1.2.3 Теорема существования и единственности для уравнения реле 24
1.2.4 О характере локальной зависимости решения от входа 24
1.2.5 Монотонность по входам 25
1.2.6 Монотонность по пороговым значениям . 25
1.2.7 Непрерывная зависимость выхода от входа . 26
1.2.8 Определение метрики в пространстве функций 27
1.2.9 О близости выходов в метрике Хаусдорфа . 29
1.2.10 Приближенная модель реле в виде дифференциального уравнения 29
1.3 Обобщенное реле 30
1.3.1 Математическая модель обобщенного реле . 30
1.3.2 Существование и единственность решения . 31
4 Оператор упора 32
1.4.1 Феноменологическое описание упора 32
1.4.2 Математическая модель упора 33
1.4.3 Теорема существования и единственности . 34
5 Оператор люфта 36
1.5.1 Феноменологическое описание люфта 36
1.5.2 Математическая модель люфта 36
1.5.3 Теорема существования и единственности . 37
1.5.4 Связь операторов упора и люфта 38
1.5.5 Условие Липшица относительно входной функции 39
1.5.6 Условие Липшица относительно входной функции для оператора упора 40
1.5.7 Утверждение об эквивалентности моделей . 41
6 М-переключатель 41
1.6.1 Описание и математическая модель 41
1.6.2 Реле как М-переключатель 43
1.6.3 Условия локальной явности 44
1.6.4 Теорема о глобальной разрешимости 46
7 Условия единственности решения задачи Коши 47
1.7.1 Пример отсутствия единственности для не сильных решений уравнения обобщенного реле 47
1.7.2 Теорема единственности для уравнения обобщенного реле 48
1.7.3 Теорема единственности для М-переключателя 49
1.7.4 Обобщенная теорема ван Кампена 49
1.7.5 Теорема единственности для локально явных уравнений 50
1.7.6 Теорема единственности для уравнений упора и люфта 51
1.8 Альтернативные модели оператора упора . 52
1.8.1 Модель упора для кусочно монотонных входов 52
1.8.2 Замечание об эквивалентности для уравнений с нелинейными дифференциалами 53
1.8.3 Теорема существования и единственности решения задачи Коши для Ц > 0 53
1.8.4 Отсутствие решения для 0 — 0 54
1.8.5 Модель упора для непрерывно дифференцируемых входов 54
1.9 Система "контроль-коррекция" 55
1.9.1 Общее описание системы 55
1.9.2 Математическая модель 56
1.9.3 Утверждение о локальной явности 56
1.10 Сравнение с квазидифференциальными уравнениями 57
1.10.1 КДУ и его решения 57
1.10.2 Локально явное уравнение как КДУ 59
1.10.3 Теорема о непрерывных решениях КДУ . 60
1.10.4 КДУ с разрывными решениями 62
2 Системы, содержащие локально явные уравнения 64
2.1 Замкнутая система с реле 66
2.1.1 Постановка задачи Q6
2.1.2 Теорема о дифференциальном неравенстве . 66
2.1.3 Теорема о глобальной однозначной разрешимости задачи Коши 67
2.2 Система с М-переключателем 70
2.2.1 Постановка задачи 70
2.2.2 Теорема о локальной разрешимости 71
2.2.3 Замечание об операторе сдвига 74
2.2.4 Теорема о глобальной разрешимости 74
2.2.5 Пример 76
2.2.6 Пример системы с бесконечным числом переключений 79
Замкнутая система с гистерезисным элементом типа упора 81
2.3.1 Постановка задачи 81
2.3.2 Теорема о локальной разрешимости 82
О ^-устойчивости решений обобщенных динамических систем 85
2.4.1 Определение и примеры обобщенных динамических систем 85
2.4.2 Определение ^-устойчивости; примеры . 86
2.4.3 Определение степенной устойчивости с показателем р; примеры: сравнение с экспоненциальной устойчивостью 89
2.4.4 Приведенная система 91
2.4.5 Лемма о функции типа Ляпунова 91
2.4.6 Теорема о ^-устойчивости, равномерной относительно начального момента 93
2.4.7 Теорема о ^равномерной устойчивости . 95
2.4.8 Пример: система с вырожденной линейной частью 96
2.5.1 Общий вид рассматриваемой системы 97
2.5.2 Решения системы 97
2.5.3 Постановка задачи о ^о-Устйчивости 99
2.5.4 Об обратных уравнениях 99
2.5.5 Теорема о ^о-устойчивост11 X 101
2.5.6 Пример 107
Литература 109
- Основные свойства локально явных уравнений
- Замкнутая система с реле
- Теорема о дифференциальном неравенстве
Введение к работе
Актуальность темы. В диссертации рассматривается новый класс уравнений, предназначенный для описания негладких полудетерминированных процессов. По своей структуре эти уравнения близки к обыкновенным дифференциальным, однако их решения могут быть недиффе-ренцируемыми, и даже разврывными.
Дифференциальным уравнениям, допускающим негладкие решения, посвящена обширная литература. Прежде всего это литература по теории обобщенных функций, на основе которой изучаются линейные и некоторые нелинейные дифференциальные уравнения с негладкими и, возможно, разрывными решениями (А.Ф. Филлипов, Б.М. Миллер, А.Н. Сесекин, СТ. Завалищин).
Другое направление связано с представлением дифференциальных уравнений в виде интегральных, которые допускают менее гладкие решения (К. Каратеодори, А.Ф. Филлипов, Ю.В. Покорный, С.Г. Пандит, С.Г. Део, С. Швабик).
Для изучения гистерезисных явлений, которые также приводят к рассмотрению негладких эволюционных процессов, в монографии М.А. Красносельского, А.В. Покровского разработана специальная функционально-аналитическая техника.
Большое количество работ посвящено изучению негладких поведений систем, испытывающих импульсные воздействия (В.Д. Мильман, А.Д. Мышкис, A.M. Самойленко, Н.А. Перестюк, А.Н. Сесекин, СТ. Завалищин, Б.М. Миллер).
Данная диссертация примыкает к направлению, связанному с изучением уравнений, которые называются квазидифференциальными7 или уравнениями с нелинейными дифференциалами (А.И. Панасюк, И.Е. Васильева, П.Е. Клоеден, Б.Н. Садовский).
В ней вводится и изучается новый класс таких уравнений. Рассматриваемые уравнения названы локально явными^ поскольку они явно определяют решение в некоторой заранее не известной правой окрестности любого момента времени. Целесообразность выделения таких уравнений для подробного изучения подтверждается тем, что многие процессы и явления наиболее естественно и компактно моделируются средствами локально явных уравнений. Значительная часть работы посвящена выводу и анализу локально явных моделей для таких известных элементов систем управления, как реле и обобщенное реле, упор, люфт, многопозиционный переключатель.
Цель работы - исследовать класс локально явных уравнений как новое средство моделирования негладких процессов, изучить признаки
локальной явности, построить математические модели некоторых технических, в частности, гистерезисных элементов в виде локально явных уравнений, исследовать вопросы о разрешимости задачи Коши для систем, включающих локально явные уравнения, а также в некоторых ситуациях вопросы продолжимости, единственности и устойчивости решений.
Методика исследования. В диссертации использованы методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального анализа, математической теории систем с гистерезисом, теории устойчивости.
Научная новизна. Перечисленные ниже основные результаты работы являются новыми.
Построение локально явных математических моделей ряда технических элементов.
Исследование общих свойств локально явных уравнений: условий локальной и глобальной разрешимости задачи Коши, признаков единственности; доказательство общего утверждения о продолжении решения до непродолжимого, формулировка и доказательство обобщенной теоремы ван Кампена.
Изучение свойств локально явных моделей реле, обобщенного реле, упора, люфта, многопозиционного переключателя, системы "контроль-коррекция". В частности, нового условия локальной явности для многопозиционного переключателя, условия непрерывной зависимости выхода от входа для локально явной модели реле, условия единственности решения начальной задачи для обобщенного реле.
Исследование условий локальной и глобальной однозначной разрешимости задачи Коши для замкнутых систем, содержащих локально явные уравнения с нелинейными дифференциалами и обыкновенные дифференциальные уравнения.
Доказательство локальной теоремы типа теоремы Пеано для замкнутой системы, содержащей локально явное уравнение.
Доказательство общих признаков ^-устойчивости и р-устойчивости обобщенных динамических систем.
Исследование устойчивости решений одного типа систем релейного управления.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты представляют новую методику математического моделирования негладких процессов и могут быть использованы в теории управления, математической теории систем с гистерезисом и теории устойчивости.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2002 г. и 2006 г.) [2], [7], Международной научной конференции "Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений" (Воронеж, 2003 г.) [3], а также семинарах кафедры функционального анализа и операторных уравнений математического факультета ВГУ.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[8]. В совместных работах [3],[4],[6] Б.Н. Садовскому принадлежит постановка задачи.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на 15 параграфов, и списка литературы, содержащего 55 наименований. Текст диссертации включает в себя 6 иллюстрирующих рисунков. Общий объем диссертации - 115 страниц.
Основные свойства локально явных уравнений
Напомним некоторые понятия и факты, относящиеся к теории частично упорядоченных множеств ([3], с.14-17), в применении к упорядоченному по включению семейству множеств. Пусть М - некоторое семейство множеств. Множество т Є М называется максимальным (в М), если не существует такого т\ Є М, что т С т\ и т ф mi. L С М называется линейно упорядоченным, если для любых 1\}І2 Є L справедливо соотношение її С h или h С h- Множество т М называется мажорантой множества L С М, если I С m для любого І Є -L. Из леммы Цорна вытекает, что если любое линейно упорядоченное подмножество множества М имеет мажаранту, то М имеет хотя бы одно максимальное множество.
Пусть F семейство всех решений уравнения (5), которые являются продолжениями фиксированного решения Тр. Обозначим через М множество их графиков. Проверим выполнение леммы Цорна. Рассмотрим линейно упорядоченное подмножество L множества М.
Положим т = U I. Очевидно, / С т для любого I L. Покажем,
lei что т Є М. Так как L линейно упорядочению, то т является графиком некоторой однозначной функции ipf которая, очевидно, является продолжением Тр.
Замкнутая система с реле
Основным отличием системы, рассмотренной в параграфе 2.3, является то, что на правую часть уравнения управляемого объекта ни в какой форме не накладывается условие Липшица. При этом предполагается, что правая часть локально явного уравнения (48) непрерывно зависит от аргумента х\+ это условие выполнено, например, для уравнений упора и люфта. В этих условиях решение задачи Коши не обязательно единственно и, возможно, существует лишь на маленьком промежутке ([52]). Доказательство локальной теоремы существования проведено с помощью принципа Шаудера.
Четвертый и пятый параграфы посвящены задаче об устойчивости решений системы, моделирующей один из вариантов регулятора температуры. Для характеризации степени устойчивости мы применяем понятие -устойчивости, которое является обобщением известного понятие экспоненциальной устойчивости. Анализу этого понятия и его частного случая р-устойчивости, а также признаков р- и -устойчивости так называемых обобщенных динамических систем, посвящен четвертый параграф главы. Его результаты используются в пятом параграфе для исследования -устойчивости решений одного класса систем релейного управления, которые можно рассматривать как математические модели процесса регулирования температуры.
Теорема о дифференциальном неравенстве
Самая простая и типичная ситуация рассмотрена в параграфе 2.1. Здесь в качестве (48) выступает уравнение реле, а правая часть во втором уравнении при каждом фиксированном значении v предполагается непрерывной по совокупности переменных (, х) и удовлетворяющей по х одностороннему глобальному условию Липшица с коэффициентом, непрерывно зависящим от t. В этих условиях установлена глобальная теорема существования и единственности задачи Когаи, причем установлено, что точки смены состояния реле могут сгущаться только на бесконечности.
Система, рассмотренная в параграфе 2.2, наряду с управляемым объектом содержит М-переключатель и, возможно, другие элементы, описываемые локально явными уравнениями (например, обобщенное реле, упор, люфт). Поскольку уравнение М-переключателя не в любой ситуации является локально явным, такие системы имеют свою специфику. Доказана теорема об однозначной локальной разрешимости и при дополнительных ограничениях теорема о глобальной разрешимости задачи Копій. Для таких систем возможен вариант непродолжимости решения за некоторую точку т из-за бесконечного числа переключений до этой точки.
Похожие диссертации на О локально явных уравнениях
