Содержание к диссертации
Введение
1 Существование решений 19
1.1 Обозначения, определения и утверждения 19
1.1.1 Множества и пространства 19
1.1.2 Функциональные пространства 20
1.1.3 Функции Каратеодори 22
1.1.4 Интегральные функционалы 22
1.1.5 Многозначные отображения 24
1.1.6 Селекторы 27
1.1.7 Многозначный оператор Немыцкого 29
1.2 Дифференциальное включение 31
1.2.1 Предположения 34
1.2.2 Свойства операторов % и d 37
1.2.3 Случай полунепрерывных сверху многозначных отображений 40
1.2.4 Построение множества К 41
1.2.5 Случай полунепрерывных снизу многозначных отображений 46
1.2.6 Смешанный случай 47
1.2.7 Существование экстремальных решений 48
1.3 Управляемая система 49
1.4 Комментарии 56
2 Свойства решений 57
2.1 Постановка задачи 57
2.1.1 Предположения 58
2.2 Компактность 59
2.3 Плотность 62
2.4 Бэнг-бэнг принцип 67
2.5 Примеры систем, обладающих свойством единственности . 74
2.6 Граничность 82
2.7 Необходимые и достаточные условия компактности множества решений 88
2.8 Примеры операторов 94
2.9 Комментарии 97
3 Задачи минимизации 99
3.1 Теорема существования 99
3.1.1 Предположения 99
3.1.2 Доказательство теоремы 101
3.2 Теорема Боголюбова 107
3.2.1 Предположения 108
3.2.2 Формулировка и доказательство теоремы 110
3.2.3 Расширение вариационных задач 118
3.3 Релаксационная теорема 119
3.4 Комментарии 124
Заключение 125
Литература 127
- Функциональные пространства
- Случай полунепрерывных снизу многозначных отображений
- Необходимые и достаточные условия компактности множества решений
- Формулировка и доказательство теоремы
Введение к работе
Актуальность работы
В связи с развитием современной науки, техники и технологии все чаще возникают задачи управления и оптимизации в процессах, описываемых системами дифференциальных уравнений в частных производных. В теории управления такие системы называют системами с распределенными параметрами, а управления, зависящие от нескольких независимых переменных — распределенными управлениями.
Помимо распределенных управлений важным представляется рассматривать сосредоточенные управления, входящие в граничные условия дифференциальных уравнений (так называемые граничные управления). Меньшее число независимых переменных у управляющих функций делает такие управления особенно удобными для практической реализации.
Анализ работ, посвященных изучению систем с распределенными параметрами, показал, что в основном изучались системы с выпуклыми ограничениями на управления. Точно также в теории существования решений задач оптимального управления системами с распределенными параметрами рассматривались большей частью выпуклые задачи, т.е. задачи минимизации интегральных функционалов с выпуклыми по управлению ин-тегрантами на множествах решений распределенных систем с выпуклыми ограничениями на управление.
Таким образом, в настоящее время в теории управляемых систем с распределенными параметрами представляется важным
исследовать задачи не только с распределенным, но и с граничными управлениями;
исследовать системы с невыпуклыми ограничениями на управления и
невыпуклые задачи оптимального управления.
Общепризнанно, что исследование управляемых систем с распределенными параметрами является значительно более сложной задачей по сравнению с аналогичной проблемой для обыкновенных дифференциальные уравнений. Причины этого заключаются, в частности, в разнообразии классов уравнений и систем с частными производными, типов начально-краевых условий, в необходимости перехода к обобщенным решениям уравнений и систем и т.д. В силу этого наибольшее число работ в теории управляемых систем с распределенными параметрами направлено на изучение конкретных классов управляемых систем, а также на поиск общих приемов и методов анализа таких задач.
В данной работе мы будем исследовать управляемую систему Дарбу, заданную на прямоугольнике П = [0, а] х [0,6], а, Ь > 0,
zxy = c1(x,y}z)zx + c2(x:y,z)zy + f(x,y,z,u) (1)
с граничными условиями на характеристиках (условиями Гурса)
х у
z(x, 0) = 9?i (х) + J u\t) dt, z(0, у) =
о 0
Здесь и является распределенным, а и1 и и2 — граничными управлениями. В связи с важностью исследования невыпуклых задач, мы будем предполагать, что управления подчинены невыпуклым смешанным ограничениям, т.е. ограничениям, зависящим от текущего состояния системы z:
и{х,у) Є U{x,y,z{x,y)), и\х) Є /і(я,ГіСг)(а;)), и2(у) Є U2(y,r2(z)(y)),
где Уі, і = 1,2, — непрерывные операторы, действующие из пространства непрерывных функций двух переменных в пространство непрерывных функций одной переменной, a U, С/г-, г = 1, 2, — многозначные отображения с невыпуклыми замкнутыми значениями.
Выбор именно этой задачи был продиктован двумя причинами. Во-первых, практической значимостью системы Гурса-Дарбу, которая описывает, например, процессы хроматографии, сорбции и десорбции газов,
процессы сушки и др. [58, 65, 68, 69]. Во-вторых, новизной, связанной с одновременным рассмотрением распределенного и граничных управлений, подчиненных смешанным ограничениям.
Для указанной задачи мы изучим топологические свойства множества решений (под решением понимается четверка (z,u,и1,и2)) управляемой системы, такие как компактность, плотность, граничность и др. Следует отметить, что знание этих свойств необходимо не только в теории оптимального управления, но и в других разделах теории управляемых систем, например, в теории выживаемости. Установленные свойства мы используем для изучения задачи минимизации интегрального функционала
J(z,u,ul,u2) = I g(x,y,z(x,y),u(x,y))dxdy+ Jn
+ / gi{x,V1(z)(x),u1(x))dx+
+ [ g2(y,-r2(z)(y),u2(y))dy. Jh
на множестве решений управляемой системы Гурса-Дарбу. При этом мы будем предполагать, что подынтегральные функции невыиуклы по управлениям. Поскольку такая задача, вообще говоря, не имеет решения, возникает вопрос о построении такого расширения [55] задачи оптимального управления, которое решение имеет.
Обзор литературы
Существует несколько эквивалентных подходов к определению обобщенного решения системы Гурса-Дарбу. Мы будем использовать подход, основанный на понятии абсолютно непрерывной функции многих переменных. Пусть на 7 = [0, а] х [0,6] задана непрерывная функция /. Любой такой функции можно поставить в соответствие некоторую аддитивную функцию промежутков, содержащихся в О. А именно, если
j = [xi,X2] X [yi,y2], х2 > XU 1/2 > Уі,
то положим
V?(J) = /0, у2) - f(x1,y2) - f(x2i 2/1) + Джі, yi).
Функцию промежутков (р называют абсолютно непрерывной, если для любого є > 0 существует такое 8 > 0, что неравенство
выполняется для любой конечной системы попарно не налегающих замкнутых промежутков jfc , содержащихся в ft, сумма площадей которых не превосходит S. Напомним, что замкнутые промежутки называются не налегающими, если они не имеют общих внутренних точек.
Функцию / называют абсолютно непрерывной функцией двух переменных, если соответствующая ей функция промежутков (р абсолютно непрерывна и, если, кроме того, функции /(О, ) и /(-,0) — абсолютно непрерывны на [0,6] и [0, а] соответственно.
Известно [66], что любую абсолютно непрерывную функцию / двух переменных можно представить в виде
х у х у
Я*,у)= /(0,0)+ J g\s)ds + J g\t)dt + J J g(s,t)dsdt, (х,у)єП,
где g, g1, g2 — некоторые интегрируемые функции. Исходя из этого интегрального представления, получим выражения для частных производных [66]
У х
Щ^- - яЧ') + /»(*, <) *. ^^ = 92{у) + Ja(s,y) ds
о о
и для смешанной производной второго порядка
д2/(Ж,у)
дхду
Некоторые авторы [23, 36, 38, 47] используют другие определения производных, которые для абсолютно непрерывных функций приводят к тем же самым выражениям.
Пространство абсолютно непрерывных функций двух переменных обычно обозначают символом AC(Q) и определяют на нем норму
||/IUc(fi) = max 1/1+ / \dxf\dxdy+ / \dyf\dxdy+ / \d2xyf\dxdy.
" Jn Jo, Jci
В большинстве работ, посвященных системе Гурса-Дарбу, предполагают, что обобщенные решения принадлежат пространству AC(fl). Взаимосвязь между пространством AC(Q) и Соболевским пространством для задачи Гурса-Дарбу изучена в [38].
Перечислим теперь известные результаты, касающиеся свойств управляемых систем, а также тесно связанных с ними включений Гурса-Дарбу. К настоящему времени лучше всего исследовано включение
zxy Є F(x, у, z) (3)
с граничными условиями
z(x, 0) = (pi(x), z(0, у) = <р2(у), (4)
а также связанные с ним включения
zxyEcoF{x,y,z), (5)
zxy є extco F(x, у, z). (6)
Здесь F — многозначное отображение, значениями которого являются замкнутые подмножества некоторого банахова пространства, со Е — замкнутая выпуклая оболочка множества Е, ext со Е — совокупность всех крайних точек множества со Е.
При определенных предположениях о многозначном отображении F для этих включений доказано существование как обобщенных [6, 9, 24, 25, 60, 39, 44, и др.] так и классических [30, 40] решений, а также доказана теорема о непрерывной зависимости от начальных условий и от параметра [28, 35, 41]. Известно, кроме того, что множество обобщенных решений включения (5) является компактным в пространстве непрерывных функций. Показано [30, 42], что множества как обобщенных так и классических решений являются ретрактами в подходящих функциональных пространствах. Установлена взаимосвязь между множествами решений включений (3), (5) и (6). А именно: показано [45], что множества обобщенных решений включений (3) и (6) одновременно плотны и граничны в множестве обобщенных решений включения (5).
Для дифференциального включения общего вида
Zxy ^ -F {,%) У і Z-i %хі Zy)
с граничными условиями (4), результатов значительно меньше: получены лишь теоремы существования классических и обобщенных решений [40, 50, 51, 32, 48, и др.], а также теорема о непрерывной зависимости от параметра [28, 42].
Что касается управляемых систем, здесь также много результатов относящихся к существованию решений и их непрерывной зависимости от параметра [33, 5, 20, 26, 61], и лишь несколько работ, посвященных изучению топологических свойств множеств решений. Это прежде всего статья [37], в которой рассматривалась система
zxy = с0(х, y)z + С!(ж, y)zx + с2(х, y)zy + с3(х, у)и (7)
с граничными условиями (4) и ограничением на управление
и Є U, (8)
где U — компактное множество. Для этой системы получены теоремы существования и единственности (т.е. показано, что каждому допустимому управлению соответствует ровно одна траектория), а также доказан так называемый бэнг-бэнг принцип. Данный результат можно сформулировать следующим образом. Для любого решения (z,u) системы (7), (4), (8) найдется другое решение (z, и) такое, что управление и кусочно-постоянно,
й(х, у) Є ext U, п.в. на Q.
z(a, b) = z(a, b).
Позднее, в работах [16, 21], Д. Иджак доказал аналогичные теоремы для системы (7) с управляемыми граничными условиями (2), а также для системы
zxy = /О, У: z) + д(х, у, z)u
с граничными условиями (4). Отметим, что бэнг-бэнг принцип в приведенной выше формулировке не имеет места для последней системы. Для
нелинейных систем свойство бэнг-бэнг формулируют следующим образом: любую допустимую траекторию системы можно равномерно аппроксимировать траекториями, которые соответствуют кусочно-постоянным управлениям со значениями из множества ext U.
Среди перечисленных топологических свойств множеств решений особое место занимает теорема о плотности множества решений системы с невыпуклым ограничением на управление в множестве решений системы с овыпукленным ограничением. Именно для систем, обладающих этим свойством, можно построить расширение задачи оптимального управления. К доказательству теоремы плотности существует два подхода. Один основан на теореме А.А. Ляпунова о выпуклости и замкнутости множества значений неатомической меры в конечномерном пространстве. В другой форме эта теорема утверждает, что интеграл от измеримого многозначного отображения с невыпуклыми замкнутыми значениями и интеграл от овыпук-ленного многозначного отображения совпадают. Второй подход основан на теореме Бэра о категориях. В этом случае показывают, что множество решений включения (6) является счетным пересечением открытых и плотных подмножеств множества решений овыпукленого включения (5) и, следовательно, но теореме Бэра само является плотным. Мы в наших доказательствах будем использовать теоремы о непрерывных селекторах многозначных отображений с невыпуклыми разложимыми значениями [44, 45]. Доказательства этих теорем основаны на теореме Бэра. Однако применять теоремы о непрерывных селекторах для исследования топологических свойств множеств решений управляемых систем намного удобней, чем напрямую теорему Бэра.
Отметим, что система Гурса-Дарбу рассматривалась не только на прямоугольнике Q, но и на неограниченных множествах [4, 36]. Выделим также работы [8, 15], в которых изучалась система Гурса-Дарбу с импульсным управлением. Возмущенная управляемая система (дифференциальная игра) изучалась в работе [22].
Большое число статей посвящено вопросам существования решений в задаче оптимального управления распределенной системой Гурса-Дарбу [14, 18, 17, 27, 46, 52, 53, и др.]. Отметим одну общую особенность этих ра-
бот: все задачи, рассматриваемые в них, выпуклые (выпуклые ограничения на управления и выпуклые по управлению интегранты).
Невыпуклые задачи изучались ранее лишь для систем вида
zxy = с0(х, y)z + с^х, y)zx + с2(х, y)zy + f(x, у, и). (9)
В работе [37] рассматривалась проблема Майера (т.е. J(z, и) = ф(г(а, Ь)), где ф — непрерывная функция) для этой системы с невыпуклым ограничением на управление. В статье [71] для системы (9) с граничными условиями (2), невыпуклыми ограничениями на управления и ограничениями
Vi(z) ^ bi, Wj(zx, Zy, и, и1, v2) ^dj, (і = 1,..., к, j = 1,...,1)
изучалась задача минимизации интегрального функционала вида
/ 01 (я, 2/, z(x, у)) + д2(х, у, и(х, у)) dx dy+ Jfi
+ / g3(x,u1(x))dx+ / gA(y,u2{y))dy.
Jh Jh
При этом предполагалось, что функции z і—» g\(x,y,z), V{ и Wj являются вогнутыми. Отметим также работы [7, 12], в которых исследовались невыпуклые задачи минимизации интегральных функционалов специального вида на множествах решений управляемых систем
Zxy ~ ^i %ху = / (,-> У і 1L)i
для которых граничные условия заданы на всех четырех сторонах прямоугольника ft. Во всех этих работах для доказательства существования решений был использован подход, основанный на теореме Ляпунова для интеграла от многозначного отображения.
Как видно, существование решений доказывалось лишь для невыпуклых задач оптимального управления специального вида. Дело в том, что в невыпуклых задачах решение, как правило, не существует. В связи с этим возникает вопрос о поиске подходящего расширения невыпуклой задачи, которым для систем Гурса-Дарбу, по-видимому, никто не занимался.
Существует несколько подходов к понятию расширения вариационной задачи. Мы будем пользоваться определением, введенным А.Д. Иоффе и В.М. Тихомировым в работе [55].
Пусть на некотором метрическом пространстве V определен функционал X. Пару (V,X) называют вариационной парой, а задачу inf X(v) ва-
риациошюй задачей.
Вариационную задачу inf J{vS) называют расширением вариационной
W&W
задачи inf X(v), если существует непрерывное отображение г: V —» W,
при котором
г(У) плотно в W;
J{i{v)) < X(v) для всех v Є V;
для любого w W существует последовательность vn Є V такая, что
lim i(vn) = w и lim X{vn) = J7"(w).
Первым исследованием, относящимся к расширению вариационных задач, была работа Н.Н. Боголюбова [3], в которой в нашей терминологии доказана следующая теорема. Пусть
V = {«() Є С%, к] | v(t0) = «ь, v(*i) = vj,
«і
«о
где С1^,^] — пространство непрерывно дифференцируемых функций г>: [io,*i] —> Mn, д: [tch] х Mn х Rn —> R — непрерывное отображение. Расширением задачи inf X{v) будет задача inf J"(w), в которой
W = -И-) є АС[і0, *і] | w(t0) = v0, w(h) = іл},
«і
J(w) = J g**(t,w(t)Mt))dt,
где ЛС[о,і] — пространство абсолютно непрерывных функций ги: [to, ^i] —> IRn с измеримыми существенно ограниченными производными, g(t,v,).
Позднее СИ. Суслов [67] построил расширение задачи inf X(v), в кото-рой V являлось множеством решений включения
і) Є F(t,v), v(t0) = v0, vfa) = Vi, 12
где F: [to,ti] x Rn —* Rn — непрерывное no Хаусдорфу многозначное отображение, значениями которого являются строго выпуклые компактные подмножества М.п с непустой внутренностью. В работе [11] требование выпуклости было снято. Расширение было также построено для задачи минимизации интегрального функционала на множестве решений эволюционной управляемой системы [72, 43].
Цель работы
Целью работы является изучение топологических свойств множеств решений управляемой системы, описываемой уравнением Гурса-Дарбу с распределенным и граничными управлениями, подчиненными смешанным ограничениям. Использование этих свойств для изучения вопроса существования решения в невыиуклой задаче оптимального управления системой Гурса-Дарбу. Построение такого расширения невыпуклой задачи оптимального управления, которое имеет решение.
Структура и объем работы
Данная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.
Первая глава посвящена вопросам существования решений включений и управляемых систем типа Гурса-Дарбу. В первом параграфе вводятся необходимые обозначения, определения, а также приводятся теоремы многозначного анализа, которые используются затем в работе. Во втором параграфе изучаются вопросы существования решений включения Гурса-Дарбу для случая полунепрерывных сверху, полунепрерывных снизу, а также непрерывных по Хаусдорфу многозначных отображений. В третьем параграфе доказываются теоремы существования для управляемой системы Гурса-Дарбу.
Во второй главе изучаются топологические свойства множеств решений управляемой системы Гурса-Дарбу. В первом параграфе приводится постановка задачи, а также условия, накладываемые на функции и многозначные отображения, входящие в управляемую систему. Во втором па-
раграфе доказана теорема о компактности множества решений системы с выпуклыми ограничениями в некотором функциональном пространстве. В третьем параграфе вводится понятие свойства единственности для системы со смешанными ограничениями на управления, которое является обобщением свойства единственности (каждому допустимому управлению соответствует единственная траектория) для системы с постоянными ограничениями. Для систем, обладающих свойством единственности доказана теорема плотности. В третьем параграфе доказан бэнг-бэнг принцип для систем с постоянными ограничениями. В четвертом параграфе приведены нетривиальные примеры управляемых систем, обладающих свойством единственности. В следующих двух параграфах для этих систем доказаны теоремы о граничности, а также получены необходимые и достаточные условия замкнутости множеств решений таких систем с невыпуклыми ограничениями на управления.
В третьей главе рассматривается задача оптимального управления системой Гурса-Дарбу. В первом параграфе приводятся условия, при которых задача минимизации интегрального функционала с невыпуклым по распределенному управлению интегрантом на множестве решений управляемой системы Гурса-Дарбу имеет решение. Во втором параграфе доказан аналог теоремы Боголюбова (о расширении) для системы Гурса-Дарбу. В третьем параграфе доказана теорема о релаксации.
Библиография включает в себя только работы, имеющие непосредственное отношение к диссертации. Поэтому ее нельзя считать исчерпывающей.
Методы исследования
Исследования проводились с использованием методов теории дифференциальных уравнений с частными производными, теории дифференциальных включений, многозначного анализа, теории непрерывных селекторов многозначных отображений с невыпуклыми разложимыми значениями и теории неподвижных точек однозначных и многозначных отображений.
Научная новизна
Все результаты, представленные в диссертации являются новыми, имеют теоретический характер и получены автором самостоятельно.
Новой является сама постановка задачи, поскольку управляемые системы Гурса-Дарбу с распределенным и граничными управлениями, подчиненными смешанным ограничениям, рассматриваются впервые.
Для рассматриваемой управляемой системы доказаны теоремы существования решений, теоремы плотности, граничности и бэнг-бэнг принцип. Доказана теорема существования решения в задаче оптимального управления системой Гурса-Дарбу с невыпуклым по распределенному управлению функционалом. Подобные результаты были получены ранее только для некоторых частных случаев нашей задачи.
Необходимые и достаточные условия замкнутости множества решений системы с невыпуклыми ограничениями на управления, а также аналог теоремы Боголюбова (о расширении) для невыпуклой задачи оптимального управления ранее не рассматривались для систем Гурса-Дарбу и доказаны впервые.
Теоретическая и практическая значимость работы
Результаты данной работы являются важным вкладом в качественную теорию управляемых систем с распределенными параметрами и могут быть использованы при исследовании и оптимизации широкого класса реальных физических, химических и технологических процессов, описываемых управляемой системой Гурса-Дарбу.
Основные результаты диссертации, выносимые на защиту
Теоремы о существовании решений управляемой системы Гурса-Дарбу с распределенным и граничными управлениями, подчиненными смешанным ограничениям. Теорема о компактности множества решений системы Гурса-Дарбу с выпуклыми ограничениями на управления.
Теорема о плотности множества решений системы Гурса-Дарбу с
невыпуклыми ограничениями на управления в множестве решений системы с овьшукленными ограничениями. Теорема о бэнг-бэнг принципе для системы Гурса-Дарбу с постоянными ограничениями.
Теоремы о граничности, а также необходимые и достаточные условия замкнутости множеств решений системы с невыпуклыми ограничениями, доказанные для частных случаев рассматриваемой нами задачи.
Теорема о существовании решения в задаче минимизации интегрального функционала с невыпуклым по распределенному управлению ин-тегрантом на множестве решений управляемой системы Гурса-Дарбу. Теорема о расширении невыпуклой задачи оптимального управление системой Гурса-Дарбу. Теорема о существовании решения в расширенной задаче оптимального управления.
В целом в диссертационной работе методы теории непрерывных селекторов многозначных отображений с невыпуклыми разложимыми значениями используются для изучения качественных свойств множеств решений управляемой системы Гурса-Дарбу. Основываясь на полученных свойствах, мы строим расширение невыпуклой задачи оптимального управления и доказываем существование решения в расширенной задаче.
Апробация работы
Результаты, излагаемые в диссертации, докладывались на следующих конференциях:
Научная конференция "Теория управления pi математическое моделирование", посвященная 75-летию Удмуртского государственного университета (3-8 июля 2006 г., Ижевск).
Конференция ИДСТУ СО РАН "Ляпуновские чтения и презентация информационных технолога" (14-15 декабря 2006 г., Иркутск).
Международная конференция "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", посвященная 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа (28 мая - 2 июня 2007 г., Новосибирск).
Конференция ИДСТУ СО РАН "Ляпуновские чтения и презентация информационных технологи" (ноябрь 2007 г., Иркутск).
Международная конференция "Дифференциальные уравнения и топология", посвященная 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина (17-22 июня 2008 г., Москва).
Школа-семинар «Нелинейный анализ и экстремальные задачи» (23-30 июля, 2008, Иркутск).
Конференция ИДСТУ СО РАН "Ляпуновские чтения и презентация информационных технологи" (декабрь 2008 г., Иркутск).
Результаты диссертации неоднократно обсуждались на семинарах Института динамики систем и теории управления СО РАН.
Публикации
По материалам диссертации опубликованы следующие работы.
Погодаев Н.И. О решениях задачи Гурса-Дарбу с граничными и распределенными управлениями / Н.И. Погодаев // Дифференциальные уравнения. - 2007. - Т. 43, №8. - С. 1116-1126.
Погодаев Н.И. О свойствах решений задачи Гурса-Дарбу с граничными и распределенными управлениями / Н.И. Погодаев // Сибирский математический журнал. — 2007. — Т. 48, №5. — С. 1116-1133.
Погодаев Н.И. О решениях включения типа Гурса-Дарбу со смешанными ограничениями на граничные и распределенные управления / Н.И. Погодаев // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2008. - Т. 11, №1. - С. 96-110.
Погодаев Н.И. О решениях задачи Гурса-Дарбу с граничными и распределенными управлениями // Известия института математики и информатики, выпуск 3 (37), с. 125-126, Ижевск, 2006.
Погодаев Н.И. Об одном классе управляемых систем типа Гурса-Дарбу // Материалы конференции «Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий» (14-15 декабря 2006 г., Иркутск), с. 43.
Погодаев Н.И. Свойства экстремальных решений управляемой системы типа Гурса-Дарбу // Тезисы докладов Международной конференции «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения» (28 мая - 2 июня 2007 г., Новосибирск), с. 250-251.
Погодаев Н.И. Релаксация в задаче оптимального управления для системы типа Гурса-Дарбу // Материалы конференции «Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий» (ноябрь 2007 г., Иркутск), с. 34.
Погодаев Н.И. Релаксация в управляемой системе типа Гурса-Дарбу // Тезисы докладов международной конференции «Дифференциальные уравнения и топология» (17-22 июня 2008 г., Москва), с. 387-388.
Погодаев Н.И. Расширение задачи оптимального управления для системы типа Гурса-Дарбу // Тезисы докладов школы-семинара «Нелинейный анализ и экстремальные задачи» (23-30 июня 2008 г., Иркутск), с. 51
10. Погодаев Н.И. Существование решений в задаче оптимального управления для системы Гурса-Дарбу // Материалы конференции «Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий» (декабрь 2008 г., Иркутск), с. 32.
Функциональные пространства
Целью работы является изучение топологических свойств множеств решений управляемой системы, описываемой уравнением Гурса-Дарбу с распределенным и граничными управлениями, подчиненными смешанным ограничениям. Использование этих свойств для изучения вопроса существования решения в невыиуклой задаче оптимального управления системой Гурса-Дарбу. Построение такого расширения невыпуклой задачи оптимального управления, которое имеет решение.
Данная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Первая глава посвящена вопросам существования решений включений и управляемых систем типа Гурса-Дарбу. В первом параграфе вводятся необходимые обозначения, определения, а также приводятся теоремы многозначного анализа, которые используются затем в работе. Во втором параграфе изучаются вопросы существования решений включения Гурса-Дарбу для случая полунепрерывных сверху, полунепрерывных снизу, а также непрерывных по Хаусдорфу многозначных отображений. В третьем параграфе доказываются теоремы существования для управляемой системы Гурса-Дарбу.
Во второй главе изучаются топологические свойства множеств решений управляемой системы Гурса-Дарбу. В первом параграфе приводится постановка задачи, а также условия, накладываемые на функции и многозначные отображения, входящие в управляемую систему. Во втором параграфе доказана теорема о компактности множества решений системы с выпуклыми ограничениями в некотором функциональном пространстве. В третьем параграфе вводится понятие свойства единственности для системы со смешанными ограничениями на управления, которое является обобщением свойства единственности (каждому допустимому управлению соответствует единственная траектория) для системы с постоянными ограничениями. Для систем, обладающих свойством единственности доказана теорема плотности. В третьем параграфе доказан бэнг-бэнг принцип для систем с постоянными ограничениями. В четвертом параграфе приведены нетривиальные примеры управляемых систем, обладающих свойством единственности. В следующих двух параграфах для этих систем доказаны теоремы о граничности, а также получены необходимые и достаточные условия замкнутости множеств решений таких систем с невыпуклыми ограничениями на управления.
В третьей главе рассматривается задача оптимального управления системой Гурса-Дарбу. В первом параграфе приводятся условия, при которых задача минимизации интегрального функционала с невыпуклым по распределенному управлению интегрантом на множестве решений управляемой системы Гурса-Дарбу имеет решение. Во втором параграфе доказан аналог теоремы Боголюбова (о расширении) для системы Гурса-Дарбу. В третьем параграфе доказана теорема о релаксации.
Библиография включает в себя только работы, имеющие непосредственное отношение к диссертации. Поэтому ее нельзя считать исчерпывающей. Методы исследования Исследования проводились с использованием методов теории дифференциальных уравнений с частными производными, теории дифференциальных включений, многозначного анализа, теории непрерывных селекторов многозначных отображений с невыпуклыми разложимыми значениями и теории неподвижных точек однозначных и многозначных отображений. Все результаты, представленные в диссертации являются новыми, имеют теоретический характер и получены автором самостоятельно. Новой является сама постановка задачи, поскольку управляемые системы Гурса-Дарбу с распределенным и граничными управлениями, подчиненными смешанным ограничениям, рассматриваются впервые. Для рассматриваемой управляемой системы доказаны теоремы существования решений, теоремы плотности, граничности и бэнг-бэнг принцип. Доказана теорема существования решения в задаче оптимального управления системой Гурса-Дарбу с невыпуклым по распределенному управлению функционалом. Подобные результаты были получены ранее только для некоторых частных случаев нашей задачи. Необходимые и достаточные условия замкнутости множества решений системы с невыпуклыми ограничениями на управления, а также аналог теоремы Боголюбова (о расширении) для невыпуклой задачи оптимального управления ранее не рассматривались для систем Гурса-Дарбу и доказаны впервые. Теоретическая и практическая значимость работы Результаты данной работы являются важным вкладом в качественную теорию управляемых систем с распределенными параметрами и могут быть использованы при исследовании и оптимизации широкого класса реальных физических, химических и технологических процессов, описываемых управляемой системой Гурса-Дарбу. Основные результаты диссертации, выносимые на защиту 1. Теоремы о существовании решений управляемой системы Гурса-Дарбу с распределенным и граничными управлениями, подчиненными смешанным ограничениям. Теорема о компактности множества решений системы Гурса-Дарбу с выпуклыми ограничениями на управления. 2. Теорема о плотности множества решений системы Гурса-Дарбу с невыпуклыми ограничениями на управления в множестве решений системы с овьшукленными ограничениями. Теорема о бэнг-бэнг принципе для системы Гурса-Дарбу с постоянными ограничениями. 3. Теоремы о граничности, а также необходимые и достаточные условия замкнутости множеств решений системы с невыпуклыми ограничениями, доказанные для частных случаев рассматриваемой нами задачи. 4. Теорема о существовании решения в задаче минимизации интегрального функционала с невыпуклым по распределенному управлению ин-тегрантом на множестве решений управляемой системы Гурса-Дарбу. Теорема о расширении невыпуклой задачи оптимального управление системой Гурса-Дарбу. Теорема о существовании решения в расширенной задаче оптимального управления. В целом в диссертационной работе методы теории непрерывных селекторов многозначных отображений с невыпуклыми разложимыми значениями используются для изучения качественных свойств множеств решений управляемой системы Гурса-Дарбу. Основываясь на полученных свойствах, мы строим расширение невыпуклой задачи оптимального управления и доказываем существование решения в расширенной задаче.
Случай полунепрерывных снизу многозначных отображений
Докажем, что из Л(с ) и A (U) следует A (V). Ясно, что значения V будут компактными множествами; выполнение условия A (V)(3) также очевидно. Из свойств полунепрерывных многозначных отображений (теорема 1.1.4) вытекает, что z н- V(x,y,z) полунепрерывно снизу, т.е. выполняется условие A (V)(2). Согласно теореме 1.1.13, для любого є О существует компактное множество Q С fi, / ( \ Дг) j такое, что сужение сг-, г — 3,4, на 0хХ непрерывно, а сужение U на Q х X полунепрерывно снизу. Последнее означает, что отображение полунепрерывно снизу на Q,E х X. Поскольку є можно выбрать сколь угодно малым, то отсюда следует, что (х, у, z) і— V(x, у, z) совместно измеримо. Условие .4 (F)(1) выполнено. 2) Докажем, что из А{с ) и A {U) следует A (V). Ясно, что значения V будут выпуклыми компактными множествами; выполнение условия A (V)(3) также очевидно. Из свойств полунепрерывных многозначных отображений (теорема 1.1.4) вытекает, что z і— V(x,y,z) полунепрерывно сверху, т.е. выполняется условие A (V){2). Согласно теореме 2.2 [70], для любого є 0 существует компактное множество Сіє С П, /л2(П \ їє) є, такое, что сужение сі} і — 3,4, на fl х X непрерывно, а сужение U на Пє х X полунепрерывно сверху. Последнее означает, что отображение V полунепрерывно сверху на Пх J. Так как є можно выбрать сколь угодно малым, то отсюда следует, что (х, у, z) t—» V(x, у, z) совместно измеримо. Отсюда в силу теоремы 1.1.5 вытекает A (V){1). 3) Импликация А(с ) и A(U) = A(V) является прямым следствием теорем 1.1.3 и 1.1.4. Пусть выполняются предположения А(р) и А(с ), U удовлетворяет одному из двух условий: A (U), A (U); U\ — одному из условий A (Ui), A (Ui); U2 — одному из условий A {U2), A (U2). Тогда система (1.33)-(1.35) имеет решение. Доказательство. В силу леммы 1.3.1 имеет место одна из доказанных выше теорем существования для включения (1.9)-(1.11), в котором V определено по формуле (1.36). Пусть (z, й1, 2) — решение этого включения. Так как выполняется одно из предположений A (U), A (U), то многозначное отображение (х, у) н- U(x,y,z(x,y)) является измеримым, а его значения — замкнутыми. Поэтому, согласно теореме 1.1.6, у отображения (х, у) н- U(x,y,z(x,y)) есть такой измеримый селектор й, что почти всюду. Учитывая ограничения на U: получим \й(х, у)\у т(1 + \z(x, у)\х) п.в. на П. Но т{1 + \z{-)\) Е C(fi;R) С Lp(ft;R). Следовательно, и Є ЩП; Y). Ясно, что четверка (z, й, у},й2) является решением системы (1.33) (1.35). Теорема доказана. D Теорема 1.3.2. Пусть выполняются предположения А((р), А(с ), A(U), A{U{) и A{U2) Тогда существуют экстремальные решения системы (1.33)-(1.35), т.е. такие решения (z, и, и1, и2), что и(х,у) Є extU(x,y,z), и\х) Є ext U x, Щг)(х)), и2(у) ext U2(y, %(z)(y)). Доказательство. Если выполняются условия теоремы, то существует экстремальное решение (z, y},u2) системы (1.9)-(1.11), в которой V определено по формуле (1.36). Нам нужно показать, что существует такой измеримый селектор й многозначного отображения (ж, у) ь- ext U(z, у, z{x, у)), (1.37) что zxy(x, у) = ci(x, у, z(x, y))zx(x, у) + с2(х, у, z(x, y))zy(x, у)+ + с3(х, у, z(x, у))й(х, у) + с4(х, у, z(x, у)) п.в. (1.38) В этом случае четверка (z, и, и1, и2) будет экстремальным решением задачи (1.33)-(1.35). Пусть v = zxy . Тогда v(x, у) Є сі(ж, у, z(x, y))zx(x, у) + с2(х, у, z(x, y))zy(x, у)+ + ext V(x,y,z(x,y)) п.в. (1.39) Положим SP(U) := {и Є Lp{tl;Y) \ и(х,у) є U{x,y,z(x,y)) п.в.}, SP(U) := {г; Є Lp{Vi\X) \ v{x,y) Є c3{x,y,z(x,y))U(x,y,z(x,y)) п.в.}. Рассмотрим оператор A: LP(Q; Y) — Lp(0,;X), определенный по правилу А{и)(х, у) = с3(а;, у, z(x, у))и(х, у) п.в., -и Є Lp(fi; У). Из предположения Л(с ) следует, что А является линейным непрерывным оператором. Ясно, что A{SP(U)) С SP(U). С другой стороны, из теоремы 1.1.6 получаем обратное включение A(SP{U)) D SP{U). Таким образом, SP(U) = A(SP(U)). Отсюда следует, что extSp(U) С A(extSp{U)). (1.40) Согласно формулам (1.36), (1.39) и замечанию 1.1.1, функция , определенная равенством (я, у) = v(x, у) - d(x, у, z(x, y))zx(x, у) - с2(ж, у, z(x, y))zy(x, у) - с4(х, у, z(x, у)) п.в., принадлежит множеству extSp(U). Но тогда, согласно (1.40), существует такое й Є ext SP(U), что — А(й). Снова принимая во внимание замеча ние 1.1.1, приходим к выводу, что это й является измеримым селектором отображения (1.37) и для него выполняется равенство (1.38). Отсюда сле дует, что четверка (z, й,-й1,- !2) является экстремальным решением задачи (1.33)-(1.35). Теорема доказана. D Замечание 1.3.1. 1. Аналог теоремы 1.3.1 будет справедлив в рамках предположений А(с ), A {U), A {U), A (Ui), А (Щ, г = 1,2 и для системы вида zxy = сі(ж, у, z)zx + с2(ж, у, z)zy + f(x, у, z, и) с граничными условиями (1.34) и ограничениями на управления (1.35), если f:Q,x(XxY)- X является функцией Каратеодори и существует такое С, что для всех z е X, иєУ /(.т, у, г, и)х (7(1 + гх + иу) п.в. на Q. При этом, если имеют место предположения A (U), мы должны дополнительно потребовать, чтобы множество /(ж,у, z, /( ,2/, )) было выпуклым почти всюду. Доказательство дословно повторяет доказательство теоремы 1.3.1, если положить V(x, у, z) := /(х-, у, 2, [/(ж, у, 2:)). 2. Схемы доказательства существования решений включений и управляемых систем базировались на предположении о том, что 1 р со. Однако при р = 1 эти результаты справедливы для управляемых систем вида Zxy = С3(Ж, У, z)tt + 6 4(Ж, у, Z) с граничными условиями (1.34) и ограничениями на управления (1.35). При этом все предположения относительно с3 , с4, С/, /i, 6 остаются прежними, за исключением условий роста, которые имеют вид.
Необходимые и достаточные условия компактности множества решений
Но любая слабо сходящаяся последовательность элементов пространства Lp(ft; X) ограничена и, следовательно, лежит в некотором слабо компактном множестве. Поэтому, согласно лемме 2.3.1, она сходится к нулю и в топологии пространства Z (fi;X). Итак, f(vn, w , vfy — (v, и1,и2) в w-K, а потому (и, и1, и2) Є Fix(/). Таким образом, точка {T{v,u\u2)Ju 0T{v,u\u2),u\u2) лежит в &f, и последовательность (T(vn, ul и2п), / о T(vn, ui, uD/al, и2п), п Є N, принадлежащая extco , сходится к этой точке в пространстве (2.8). Теоре ма доказана. Как уже отмечалось, для каждой точки (z ,u ,ul,ul) Є Мсо существует непрерывная функция /: w-K — w-K вида (2.16) такая, что (z ,u ,ul,ul) Є &f. Введем сле/іующее определение. Определение 2.3.1. Будем говорить, что управляемая система (2.1)-(2.3) обладает свойством единственности, если для любой точки (z ,u ,u\,u2) Є &со существует функция f вида (2.16) такая, что % = {(2 ,и+,и1,и1)}. Следствие 2.3.1. Если система (2.1)-(2.3) обладает свойством единственности, то справедливы равенства где черта означает замыкание в топологии пространства (2.8). Следствие вытекает из теоремы 2.3.1 и включений cxtCo С {% С Мсо. 2.4 Бэнг-бэнг принцип В этом параграфе мы рассмотрим случай, когда многозначные отображения U, U\, Ui постоянны, т.е., когда U, U\, U2 — некоторые фиксированные компактные множества. Выше мы показали, что если система (2.1)-(2.3) обладает свойством единственности, то, согласно следствию 2.3.1, справедливо равенство другими словами, любую точку (z, и, и1, и2) из &со можно сколь угодно точно аппроксимировать (в топологии пространства (2.8)) точками , ип: ип: ип ) из ext со Однако поскольку функции ип, и\, и являются измеримыми, такую аппроксимацию не удобно использовать на практике. Цель этого параграфа — показать, что для любой точки (z, и, и1, и2) Є 2%zo существует последовательность (zn,un, и , и ) Є extco, сходящаяся к (z, и, и1,и2) в пространстве (2.8), и такая, что управления ип, w , и2п кусочно-постоянны. Определение 2.4.1. Функция ф: Г2 — X называется кусочно-постоянной (или ступенчатой), если существуют конечные разбиения 0 = а$ ai ... ak = а, 0 = Ь0 bi ... bk = b отрезков I\ = [0, а] и 12 = [О, Ь] такие, что на каждом из множеств Ец = (a -i, аг-) х (Ьг--і, b{), і — 1,..., A;, j = 1,...,/ функция ф постоянна. В точках множества к і Q \ (J {J Eij функция ф может принимать произвольные значения. Лемма 2.4.1. Пусть гг(-) Є LP(Q;Y), и(х,у) Є extcoU п.в. на Q. Тогда существует последовательность vn{-) кусочно-постоянных функций таких, что vn(x,y) є extcoU п.в. на Q и и„(-)-»«() в ЩП;У). Доказательство. Известно, что кусочно-постоянные функции плотны в LP(Q,; Y). Поэтому для любого п 1 существует кусочно-постоянная функция wn такая, что \\u-wn\\p -. (2.23) Так как множество ext со U компактно, то найдется кусочно-постоянная функция vn такая, что vn(x,y) є ext со U и \wn(x, у) - vn(x, у)\ = dY{wn(x, у), ext со U) и.в. на Q. Следовательно, существует кусочно-постоянная функция vn такая, что vn{x,y) Є extcoU и \wn(x,y) - vn(x,y)\ dY(wn(x, у), ext со U) + - и.в. на Q. lb Поскольку u(x,y) Є ext со U, то отсюда следует, что \w„(x, у) - vn(x, j/) \wn(x, у) - u(x, у) + - п.в. на О. Используя это неравенство, получим (аЪУ/Р \\и - vn\\p \\и - wn\\p + \\wn - vn\\p 2гі - гупр Н . Ї Ь С учетом неравенства (2.23) имеем 2 + « п Что и требовалось доказать. Теорема 2.4.1 (Бэнг-бэнг принцип). Пусть каждой тройке управлений (и, и\и2), и є LP{Q; Y), и1 є Р(Д; Л"), -и2 є Lp{h\ X), такой, что и(х,у) Є coU, v}(x) Є coC/i, «2(j/) Є соб , соответствует единственное решение z системы (2.1)-(2.2). Тогда для любой точки (z ,u ,ul,ul) Є со существует последовательность (zn,un,u ,u2) Є extco сходящаяся к (z ,гг ,и];,и2) е пространстве (2.8), и такая, что управления иП! и , и\ кусочно-постоянны. Доказательство. Очевидно, что в рамках сделанных предположениях система (2.1)-(2.3) будет обладать свойством единственности. В самом деле, в формуле (2.16) достаточно положить fuco(z) — и- fui0{z) — а fU2 (z) = и2 и множество &f будет в этом случае состоять из одной точки — {z u,ul,u2). Пусть (z ,u ,ul,u1) Є &со- Согласно теореме 1.1.9, существуют такие функции ип, u , и , п 1, класса Lp, что ип(х,у) Є ext cot/ п.в. на О, ип(х) Є extcoC/i п.в. на іг w (y) Є ext со U i п.в. на I\ Ik - un\\Lvu{sl) — 4 - u2n\\Lvw(7l) —, Цг/J - i4LS)(/2) —. (2.24) В силу леммы 2.4.1 существуют такие кусочногпостоянных функций йп, ЙІ. Йп. п 1, что йп{х,у) Є ext cot/ п.в. на О, м (.т) Є ext со U\ п.в. на /г, (2.25) й (у) є extcot/г п.в. на 1\ 111 К-йпІІи(П) , wi-u2jrP(Jl) —, \\ul-ul\\LPw{h) —. (2.26) Из (2.24) и (2.26) вытекает, что 11«. - й»11й(п) ІІ«І-«ЇІІій(/х) ІІ"Ї-«ЇІІЛ(/Я) С2-27) Пусть zn , п 1, — траектории, соответствующие управлениям йп, и , й„, п 1. Исходя из включений (2.25) и неравенств (2.27), можно, рассуждая также как при доказательстве теоремы 2.3.1, показать, что zn — z в (7(0; X). Последовательность (йп,г2 ,ї7 ) принадлежит слабо компактному множеству {и Є Lp(0; У) up т} х Qx х Q2, где (5i и ( определенны формулами (1.27) и (1.28), am— константа из предположения Л(U). Поэтому из (2.27) и леммы 2.3.1 следует, что (йп,й,й) сходится к (u ,ul,ul) и в пространстве w-Lp{n-Y) х w-Lp(h;X) х w-Lp(/2;X). Таким образом, последовательность (zn,un, u ,u ) Є « extco является искомой. Теорема доказана.
Формулировка и доказательство теоремы
Напомним, что подмножество топологического пространства называется граничным, если его дополнение всюду плотно. Мы покажем, что для систем, рассмотренных в предыдущем параграфе, справедливо следующее утверждение: & и extco являются граничными подмножествами 3%т, если последнее множество снабжено топологией пространства (2.8).
Для доказательства этого результата мы будем использовать свойства точек правой плотности измеримого множества. Определение 2.6.1. Пусть Е С (0, а) х (0, 6) — измеримое множество. Точка (х,у) Є Е называется точкой правой плотности множества Е, если lim Mfez + ft] х [y,y + h]}r\E) = г Л-+0+ h2 Лемма 2.6.1. Почти каждая точка (х,у) Є Е является точкой правой плотности. Доказательство. Согласно следствию 7 [54, гл. III, 12], если / Є i(fi,R),To x+h У+h lim т / / f(s,t)dsdt — f(x,y) п.в. на (0, a) x (0, 6). x у Взяв в качестве f характеристическую функцию множества Е, мы полу чим требуемый результат. Прежде чем сформулировать основные результаты этого параграфа, отметим, что из предположений A(U), A(U\) и свойств измеримых многозначных отображений (теорема 1.1.3) вытекает, что для любого z Є C(Q,;X) функции Dy(U(-, z(-)),coU(-,z(-))), Dx(Ui(- i(z)(-)),coUi(-, /i(z)(-))) измеримы. Отсюда следует, что Лебеговы множества этой функций измеримы; поэтому формулировки следующих теорем корректны. Теорема 2.6.1. Допустим, что наряду с предположениями из параграфа 2.1.1 выполняются предположения Л\{с) и A\{U). Пусть (z , м , ul, ul) є Ж . Тогда если имеет место хотя бы одно из неравенств (і) и2{(х,у) Є П DY(U(x,y,z (x,y)),coU(x,y,z (x,y))) 0} О, (гі) {х Є /і I Aar(tfi(aO,coC/i(a:)) 0} 0, (Hi) мі {у Є h I Dx(U2{y),coU2{y)) 0} 0, то существует последовательность (zn,uniUniUn ) Є MP \ (/), n 1, сходящаяся к (z ,u ,ul,ul) в пространстве C(Sl;X) x ЬР{П;У) x ЬР(ІҐ,Х) x LP(I2;X). (2.37) Теорема 2.6.2. Допустим, что наряду с предположениями из параграфа 2.1.1 выполняются предположения Л2{с), A2{U), A2(U\), АііУ\) Пусть (-z ,u , ul,u1) Є М 11 . Тогда если имеет место хотя бы одно из неравенств (і) р.2{(х,у) Є ft I DY(U(x,y,z (x,y)),coU(x,y,z (x,y))) 0} 0, (ii) іц{х Є h І /?дг(ї/і(а;, М(а;)),со/і(я;,Гі(«,)(і))) 0} 0, (Hi) Vi{v Є h I Dx(U2(y),coU2(y)) 0} 0, то существует последовательность (zn, un, u\, u\ , n 1 сходящаяся к (z ,u ,ul,u1) в пространстве (2.37). Докажем теорему 2.6.1. Доказательство. Пусть, например, выполняется (і). В силу предположения A{U) функция со ы- Dy(U(co,z (со)),coU(co,z (со))) интегрируема на П. Поэтому, согласно (і), выполняется неравенство ( f DYp{U{uj,z (uj)),coU{u),z {u)))dn2j О, ft из которого, в силу утверждения 4.2 [44], вытекает, что DLP(n;Y)( (z ),UC0(z ) О, где Щъ) = {fe LP((l; У) /И Є U(u, г,(ш)) п.в.}, IkoM = {/ Є (П;У) /(w) coU(u,z (cu)) п.в.} и ДСР(П;У) — метрика Хаусдорфа в пространстве LP(Q; У). Так как U{z ) С UCo(z ), то отсюда следует, что существует w Є Wco(z ) такое, что (П;У)(м і#(г )) 0. Поскольку (см. [44]) dLP(n;Y)(w U{z )) = ( / ( Н . Н)) /" dyp(w(w), С/(а;, ,(ц;))) ф2 0. о Поэтому существуют є 0 и измеримое множество Г2 С Г2, /tz2(f2) 0 такие, что dY(w(u)),U(co,z (u)))) Зє п.в. на О. (2.38) По теореме Лузина существует компактное множество OQ С П, /іг( о) 0, на котором функции ги(-), (), 77(-) и dy(w(-), (-, (-))) непрерывны, а по теореме Скорца-Драгони [70] это множество можно выбрать так, чтобы отображение U было непрерывным по Хаусдорфу на QQ Х X. Пусть Е = Z (Q,Q) + В, где В — замкнутый единичный шар в X. Тогда Е является компактом в X. Следовательно, U равномерно непрерывно на По х Е. Последнее означает, что существует 1 5 0 такое, что DY{U{UJ,Z1))U(U,Z2)) є, как только \z\ — z2\x $, о; Є Г20 , z\, z2 Є E. В частности, DY(U(u, z), U{UJ, z (co))) є, (2.39) если \z — z {u)\x 5 и и є По Пусть ueK, weOo и dy(«,w(a/)) є. (2.40) Объединяя (2.38), (2.39) и (2.40), мы получим, что dy{u, U(UJ, z)) є при \z — z (u)\x 5, \u — w(uS)\Y є и wefifl. (2-41) Пусть u = (ж , у ) Є По — точка правой плотности множества OQ- Положим Пп := {[ ,ж + ]х[у ,у + ]}ПЛо и определим последовательность функций J «/(о;), о/ П„, wn(w):= п 1. [и (а ), wes2\ S2n, Очевидно, wn(u) Є co(/(w, ,Z (UJ)) и wn(u ) — U (CJ) п.в. на Г2. По теореме Лебега об ограниченной сходимости wn- u в Z7(f2,F). (2.42) Теперь построим требуемую последовательность. Положим . 1 rn(x, y,z) = - + f (ж)77(у)2 - я (ж, у), п 1. Определим многозначные отображения Нп: О х X — У формулами #n(w, г) = со и(ш, z) П ВГпМ{шп(ш)), п 1. Из предположений Д(/), Ді(і7) и свойств многозначных отображений (теоремы 1.1.3 и 1.1.4) вытекает, что отображения Нп удовлетворяют всем условиям теоремы 1.1.12. Согласно этой теореме, многозначные операторы Tin, порожденные многозначными отображениями Нп по правилу.
