Об одном методе решения задач гарантирующего управления с неполной информацией для линейных динамических систем Стрелковский Никита Витальевич

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Задача гарантированного позиционного наведения с неполной информацией в заданный момент времени 12

1.1 Постановка задачи 12

1.2 Метод пакетов программ 14

1.3 Расширенная задача программного наведения 20

1.4 Критерий разрешимости 24

1.5 Построение наводящего пакета программ 31

1.6 Пример 37

Глава 2. Задача гарантированного позиционного наведения с неполной информацией к заданному моменту времени 44

2.1 Постановка задачи 44

2.2 Задача пакетного наведения с семейством допустимых моментов наведения 44

2.3 Расширенная задача программного наведения с семейством допустимых моментов наведения 46

2.4 Критерий разрешимости 47

2.5 Построение наводящего пакета программ 56

2.6 Пример 60

Глава 3. Алгоритм решения задачи гарантированного позиционного наведения для линейных управляемых систем в условиях неполной информации 66

3.1 Алгоритм решения задачи пакетного наведения 66

3.1.1 Генерация однородных сигналов 66

3.1.2 Идентификация моментов расслоения однородных сигналов . з

3.1.3 Идентификация кластеров множества допустимых начальных состояний и кластерных позиций в моменты расслоения однородных сигналов 69

3.1.4 Проверка критерия разрешимости 69

3.1.5 Проверка наводимости нулевого пакета программ 70

3.1.6 Построение наводящего пакета программ 71

3.1.7 Вычисление элементов наводящего пакета программ для особых кластеров.

3.2 Построение -наводящей позиционной стратегии 80

3.3 Примеры

3.3.1 Пример построения кластерных позиций 85

3.3.2 Пример построения позиционной стратегии по наводяшему пакету программ 91

Заключение 94

Список литературы

• Расширенная задача программного наведения
• Расширенная задача программного наведения с семейством допустимых моментов наведения
• Идентификация моментов расслоения однородных сигналов
• Вычисление элементов наводящего пакета программ для особых кластеров.

Введение к работе

Актуальность темы. Проблема построения оптимальных стратегий управления с обратной связью в условиях неопределенности возникла во второй половине прошлого века в контексте инженерных задач, прежде всего, задач об автоматическом регулировании техническими системами. Для таких задач характерны два фактора неопределенности – действие на управляемую систему неконтролируемых динамических возмущений и неполнота информации о состояниях системы. В обеих ситуациях (и в комбинированных ситуациях) решения требуют применения принципа управления с обратной связью, позволяющего использовать всю доступную текущую информацию о системе для выработки решений о ее управлении в реальном времени.

Приняты два основных типа описания системных неопределенностей – вероятностный, предполагающий наличие той или иной статистической информации о факторах неопределенности, и детерминированный, предполагающий отсутствие такой информации. В последнем случае факторы неопределенности обычно подчиняют априорным детерминированным ограничениям типа включений.

Настоящая диссертация следует в русле исследований задач управления при детерминированных ограничениях на факторы неопределенности. В рамках этого направления изучение задач управления при неконтролируемых динамических входах привело к созданию во второй половине прошлого века теории антагонистических дифференциальных игр. Большой вклад в ее становление и развитие внесла уральская школа по теории управления, возглавлявшаяся с конца 1960-х до начала 2000 -х Н. Н. Красовским. Созданная этой школой теория позиционных дифференциальных игр разрешает фундаментальные вопросы о существовании равновесий в классах стратегий управления с обратной связью (позиционных стратегий управления), о структуре оптимальных стратегий, предлагает серию оригинальных методов их построения. Теория имеет последователей за рубежом.

¹Красовский Н. Н. Управление динамической системой. – Москва: Наука, 1985. – 520 с.

²Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. – Москва: Наука, 1974. – 456 с.

³Субботин А. И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-Якоби. – Москва: Наука, 1991. – 216 с.

⁴Субботин А. И., Ченцов А. Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. – Москва: Наука, 1981. – 288 с.

⁵Krasovskii N. N., Subbotin A. I. Game-theoretical control problems. – New-York: Springer-Verlag, 1988. – 517 pp.

⁶Krasovskii A. N., Krasovskii N. N. Control under lack of information. – Basel: Birkhauser, 1995. – 322 pp.

⁷Feedback stabilization and Lyapunov functions / F. H. Clarke, Yu. S. Ledyaev, L. Riford, R. J. Stern // SIAM Journal of Control and Optimization. – 2000. – Vol. 39, no. 1. – Pp. 25–48.

⁸Clarke F. H., Ledyaev Yu. S., Subbotin A. I. The synthesis of universal feed-back pursuit strategies in diferential games // SIAM Journal of Control and Optimization. – 1997. – Vol. 35, no. 2. – Pp. 552–561.

Важную роль в развитии теории линейных дифференциальных игр сыграли фундаментальные работы Л. С. Понтрягина , посвященные решению задач преследования, и их развитие и обобщение в трудах Е. Ф. Мищенко , М. C. Никольского , П. Б. Гусятникова , Л .A. Петросяна .

Теория позиционных дифференциальных игр позволяет рассматривать задачу управления, стоящую перед каждым из двух игроков-антагонистов, как задачу оптимального гарантирующего управления, в которой воздействия игрока-противника (динамические возмущения) могут формироваться произвольным, не известным управляющему игроку механизмом в пределах априорно заданных детерминированных ограничений. Искомая позиционная стратегия управляющего игрока при этом гарантирует наилучшее (либо требуемое) качество движению системы при наихудшей реализации динамического возмущения. В данном контексте теорию позиционных дифференциальных игр называют также теорией гарантирующего (либо гарантированного) управления.

Теория гарантирующего управления, концентрируясь на задачах управления в условиях неопределенных динамических помех, традиционно предполагает, что управляющие обратные связи используют полную информацию о текущих состояниях системы. В рамках теории рассматривались также подходы к задачам гарантирующего управления при наличии как неконтролируемых динамических возмущений, так и неполной информации о текущих состояниях . Эти исследования позволили дать адекватную формализацию таких задач, сформулировать двойственные задачи, разрешимость которых выступает альтернативой разрешимости исходных задач, и указать общую структуру искомых позиционных стратегий управления.

С этими исследованиями смыкается теория оценивания управляемых систем, нацеленная на синтез максимальной текущей информации о состояниях системы, используемой для выработки управляющих воздействий. Такая информация обычно представляется в

⁹Понтрягин Л. С. К теории дифференциальных игр // Успехи мат. наук. – 1966. – Т. 21, №4(130). – С. 219–274

¹⁰Понтрягин Л. С. О некоторых дифференциальных играх // Докл. АН СССР. – 1964. – Т. 156, № 4. – С. 738–741.

¹¹Понтрягин Л. С. Линейные дифференциальные игры преследования // Мат. сборник. – 1980. –Т. 112, вып. 3. – С. 307–330.

¹²Понтрягин Л. С., Мищенко Е. Ф. Задача об уклонении от встречи в линейных дифференциальных играх // Дифференц. уравнения. – 1971. – Т. 7, № 3. – С. 436–445.

¹³Никольский М. С. О квазилинейной задаче убегания // Докл. АН СССР. – 1975. – Т. 221, №3. – С. 539–542

¹⁴Гусятников П. Б. Об уклонении от встречи в линейной дифференциальной игре // Прикладная математика и механика. – 1974. – Т. 38, №3. – C. 417–421

¹⁵Петросян Л. А. Дифференциальные игры преследования. – Ленинград: Изд-во Ленингр. ун-та, 1977. – 224 с.

¹⁶Красовский Н. Н., Осипов Ю. С. Задача управления с неполной информацией // Механика твердого тела. – 1973. – № 4. – С. 5–14.

¹⁷Кряжимский А. В. Дифференциальная игра наведения в условиях неполной информации // Украинский математический журнал. – 1975. – Т. 75, № 4. – С. 521–526.

¹⁸Кряжимский А. В. Альтернатива в линейной игре наведения-уклонения с неполной информацией // Доклады АН СССР. – 1976. – Т. 230, № 4. – С. 773–776.

¹⁹Krasovskii N. N. Control under incomplete information and diferential games // Proceedings of the International Congress of Mathematicians. – Helsinki: 1978. – Pp. 152–163.

виде так называемых информационных множеств, объединяющих все состояния системы, не противоречащие текущей истории наблюдений. Для описания информационных множеств привлекаются эволюционные уравнения в бесконечномерных пространствах, аналоги уравнений Гамильтона-Якоби, конструируются аппроксимации множествами заданной структуры .

Другой подход к восстановлению не доступной прямому наблюдению информации о системе в процессе ее движения предложен в теории динамического обращения управляемых систем . Теория совмещает методологию позиционного управления с принципом регуляризации из теории некорректно поставленных задач и нацелена, прежде всего, на решение задач идентификации в режиме реального времени текущих значений неконтролируемых переменных входов. Ряд разделов теории посвящен методам динамической идентификации ненаблюдаемых компонент состояний в условиях неполной информации и использованию этих методов для управления с обратной связью. Наконец, следует упомянуть методы, направленные на решение задач стабилизации и адаптивного управления при неполной информации .

Среди общих подходов к исследованию задач гарантирующего управления центральное место занимают метод стабильных множеств¹², метод обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби ³ , метод программных итераций ⁴, метод стохастического программного синтеза ¹, метод неупреждающих стратегий. Последний метод, восходящий

²⁰Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. – Москва: Наука, 1977. – 392 с.

²¹Куржанский А. Б. О синтезе управлений по результатам наблюдений // Прикладная математика и механика. – 2004. – № 4. – С. 547–563.

²²Черноусько Ф. Л. Оценивание фазового состояния динамических систем: метод эллипсоидов. – Москва: Наука, 1988. – 319 с.

²³Kurzhanski A. B., Valyi I. Ellipsoidal Calculus for Estimation and Control. – Basel: Birkhauser, 1995. – 321 pp.

²⁴Осипов Ю. С., Кряжимский А. В. О моделировании управления в динамической системе // Известия АН СССР. Серия техн. киберн. – 1983. – Т. 21, № 2. – С. 38–47.

²⁵Осипов Ю. С., Васильев Ф. П., Потапов М. М. Основы метода динамической регуляризации. – Москва: Изд-во МГУ, 1999. – 237 с.

²⁶Осипов Ю. С., Кряжимский А. В., Максимов В. И. Методы динамического восстановления входов управляемых систем. – Екатеринбург: УрО РАН, 2011. – 291 с.

²⁷Keesman K. J., Maksimov V. I. On feedback identifcation of unknown characteristics: a bioreactor case study // International Journal of Control. – 2007. – Vol. 81, no. 1. – Pp. 134–145.

²⁸Maksimov V. I., Pandolf L. Dynamical reconstruction of unknown inputs in nonlinear diferential equations // Applied Mathematical Letters. – 2001. – Vol. 14. – Pp. 725–730.

²⁹Osipov Yu. S., Kryazhimskii A. V. Inverse Problems for Ordinary Diferential Equations: Dynamical Solutions. – London: Gordon and Breach Publishers, 1995. – 625 pp.

³⁰On the robust stabilization of nonlinear uncertain systems with incomplete state availability / G. Bartolini, A. Levant, A. Pisano, E. Usai // Journal of Dynamical Systems, Measurement and Control. – 2000. – Vol. 122. – Pp. 738–745.

³¹Kanellakopulos I., Kokotovic P. V., Morse A. S. Adaptive non-linear control with incomplete state information // International Journal of Adaptive Control and Signal Processing. – 1992. – Vol. 6. – Pp. 367–394.

³²Lions P. L. Optimal control and viscosity solutions // Lecture Notes Math. – 1985. – Vol. 1119. – Pp. 94–112.

к пионерским работам по формализации дифференциальных игр 1960-70-х годов и развитый школой Н. Н. Красовского в контексте теории позиционных дифференциальных игр ⁴, служит базой основного метода настоящей работы – метода программных пакетов. В области исследований по развитию методов позиционного управления и неупреждающих стратегий для решения задач гарантированного управления системами с неопределенностями активно работает группа западных математиков, лидирующую роль в которой играет французский специалист по теории управления М. Кюнкампуа (M. Quincampoix) . Работы этой группы, связанные с методом неупреждаю-щих стратегий, выполняются в традиционной для этого метода парадигме: исследуются варианты его применения при неопределенностях, вызываемых неконтролируемыми переменными входами. При этом сохраняется традиционное определение неупреждающих стратегий – как преобразований программ-входов в программы-управления, подчиненные условию вольтерровости (физической осуществимости, неупреждаемости). Такое определение применяется и в тех случаях, когда к неопределенности, вызываемой воздействием на систему неконтролируемых входов, присоединяется и собственно неполная информация о системе. Предполагается ³⁷, что на управляемую систему действуют два неконтролируемых входа – наблюдаемый и ненаблюдаемый, а состояния системы наблюдениям не доступны. Следует отметить, что такая постановка не затрагивает типичную ситуацию, когда состояния системы наблюдаются частично. Эту же особенность имеет и постановка, где принимается, что неполнота информации заключается в статистическом характере сведений о начальном состоянии ³⁹. В области исследований по тематике управления распределенными системами следует выделить работы И. Ласецкой (I. Lasiecka) и Р. Триггиани (R. Triggiani) , Ф. Трольца (F. Troltzsch) и В. Барбу (V. Barbu) ; эти работы связаны с развитием метода динамического программирования, выявлением достаточных условий

³³Elliott R. J., Kalton N. Values in diferential games // Bulletin of the American Mathematical Society. – 1972. – Vol. 78, no. 3. – Pp. 291–486.

³⁴Roxin E. Axiomatic approach in diferential games // Journal of Optimization Theory and Applications – 1969. – Vol. 3. – Pp. 156–163.

³⁵Rull-Nardzevski C. A theory of purcuit and evasion // Advances in Game Theory. – 1964. – Pp. 113–126.

³⁶Clark J. M. C., Vinter R. B. On the interpretation of non-anticipative control strategies in diferential games and applications to fow control // Lecture Notes in Control and Information Science. – 2004. – Vol. 301. – Pp. 29–47.

³⁷Quincampoix M., Veliov V. Optimal control of uncertain systems with incomplete information for the disturbances // SIAM Journal of Control and Optimization. – 2005. – Vol. 43, no. 4. – Pp. 1373–1399.

³⁸Gao Y., Lygeros J., Quincampoix M. The reachability problem for uncertain hybrid systems revisited: a viability theory perspective // Hybrid Systems: Computation and Control. 9th International Workshop, HSCC 2006, Santa Barbara, CA, USA, March 29-31, 2006. Proceedings. – Springer-Verlag, 2006. – Pp. 242– 256.

³⁹Cardaliaguet P., Quincampoix M. Deterministic diferential games under probability knowledge of initial condition // International Game Theory Review. – 2008. – Vol. 10. – Pp. 1–16.

⁴⁰Buckdahn R., Quincampoix M. Value function of diferential games without Isaacs conditions. An approach with non-anticipative strategies // International Journal of Game Theory. – 2013. – Vol. 42. – Pp. 989–1020.

⁴¹Lasiecka I., Triggiani R. Control theory for partial diferential equations: continuous and approximation theories. Abstract parabolic sustems. – Cambridge University Press, 2000. – 1067 pp.

⁴²Troltzsch F. Optimal control of partial diferential equations. Theory, methods and applications. – American mathematical society, 2010. – 399 pp.

⁴³Barbu V. Analysis and control of infnite dimensional systems. – Boston: Academic press, 1993. – 476 pp.

оптимальности высокого порядка и усовершенствованием техники уравнений Риккати для задач квадратичной оптимизации.

Центральным инструментом, используемым в диссертационной работе, является метод программных пакетов, предложенный Ю. С. Осиповым и А. В. Кряжимским . Данный метод, являющийся новым и оригинальным, представляет собой модификацию метода неупреждающих стратегий из теории позиционных дифференциальных игр, адекватную задачам гарантирующего управления при неполной информации. Традиционные неупреждающие стратегии (известные также, как квазистратегии) отражают основное качественное свойство программных реализаций управлений с обратной связью как реакций на программные реализации динамических возмущений — свойство вольтерровости (неупреждаемости). Его содержание состоит в том, что истории программных реакций управления на разные программные реализации возмущений совпадают между собой, если это имеет место для последних (для реализаций возмущений). Классическая постановка задачи гарантирующего управления с неполной информацией не предполагает воздействия на систему динамических возмущений: неопределенность вызывается лишь дефицитом информации о состояниях системы. При этом программные реализации обратных связей реагируют на реализации начальных состояний и истории управления. Поскольку в этой ситуации единственным неопределенным элементом выступает неизвестное начальное состояние, естественной модификацией неупреждающей стратегии становится отображение «начальное состояние — программная реализация управления» или, что то же, семейство программ управления, параметризованное начальными состояниями (стесненными априори заданным множеством допустимых начальных состояний). Выявление аналога свойства неупреждаемости такого отображения (семейства) не является тривиальной задачей, тем не менее, такое свойство было найдено и формализовано ^{44 45}. Семейства программ управления, обладающие данным свойством, стали аналогом неупреждающих стратегий из теории позиционных дифференциальных игр и получили рабочее название программных пакетов. Общая схема применения программных пакетов, реализованная в работах Ю. С. Осипова и А. В. Кряжимского, состоит в следующем. Программные пакеты трактуются как идеализированные процедуры управления, близкие к программным. Исходной задаче о гарантирующем управлении в классе обратных связей сопоставляется аналогичная задача в классе программных пакетов. Устанавливается эквивалентность этих задач. Утверждение об эквивалентности и ряд сопутствующих результатов открывают возможность решения исходной задачи путем решения значительно более простой задачи, поставленной в классе программных пакетов.

⁴⁴Осипов Ю. С. Пакеты программ: подход к решению задач позиционного управления с неполной информацией // Успехи мат. наук. – 2006. – Т. 61, № 4 (370). – С. 25–76.

⁴⁵Осипов Ю. С., Кряжимский А. В. Идеализированные пакеты программ и задачи позиционного управления с неполной информацией // Труды Института математики и механики УрО РАН. – 2009. – Т. 15, № 3. – С. 139–157.

В диссертации развивается подход, обозначенный в работе для линейных динамических систем с линейным наблюдаемым сигналом.

Целью данной работы является построение конструктивных условий разрешимости задач гарантированного позиционного наведения в момент и к моменту времени для линейных управляемых систем в условиях неполной информации об их фазовых состояниях, конструктивных алгоритмов построения наводящих пакетов программ и разработка метода конструирования гарантирующего позиционного управления по наводящему пакету программ.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Осуществить переход к расширенной задаче программного наведения для линейных управляемых динамических систем и установить ее эквивалентность задаче пакетного наведения.

2. Получить критерий разрешимости расширенной задачи программного наведения в момент времени и к моменту времени.

3. Для задач пакетного наведения, разрешимых в момент времени и к моменту времени, получить достаточные условия существования наводящего пакета программ.

4. Разработать конструктивную процедуру построения гарантирующего позиционного управления линейной динамической системы по наводящему пакету программ при наблюдении линейного сигнала о состояниях этой системы.

Основные положения, выносимые на защиту:

5. Сформулирована и доказана теорема об эквивалентной разрешимости задачи пакетного наведения и расширенной задачи программного наведения для линейных динамических систем с наблюдаемым линейным сигналом.

6. Сформулирован и доказан критерий разрешимости расширенной задачи программного наведения для линейных управляемых динамических систем в момент времени и к моменту времени.

7. Предложены и обоснованы конструктивные условия для определения элементов наводящего пакета программ в задачах пакетного наведения в момент времени и к моменту времени.

8. Построена процедура построения -наводящей позиционной стратегии по наводящему пакету программ.

Научная новизна:

1. Задача о гарантирующем позиционном управлении при неполной информации в заданный момент времени была впервые сведена — через посредство задачи о гарантирующем управлении в классе программных пакетов — к задаче программного управления расширенной управляемой системой (случай линейных систем с линейным наблюдаемым сигналом и конечным множеством допусти-

⁴⁶Осипов Ю. С., Кряжимский А. В. О разрешимости задач гарантирующего управления для частично наблюдаемых линейных динамических систем // Математическая теория управления и дифференциальные уравнения, Сборник статей. К 90-летию со дня рождения академика Е. Ф. Мищенко. – Москва: МАИК, 2012. – Т. 277. – С. 152–167.

мых начальных состояний). На базе решений последней задачи были сконструированы искомые гарантирующие обратные связи. 2. Выполнено исследование задачи о гарантирующем позиционном управлении при неполной информации к заданному моменту времени, в результате которого получен критерий ее разрешимости и условие минимума для определения элементов наводящего пакета программ с семейством допустимых моментов наведения. Основные методы исследования. В работе используются методы теории линейных дифференциальных уравнений, теории гарантирующего управления, элементы функционального и выпуклого анализа.

Теоретическая и практическая значимость Диссертация носит теоретический характер; представленные в работе алгоритмы могут быть использованы для численных экспериментов.

Апробация работы. Результаты настоящей работы были представлены в виде научных докладов на следующих конференциях и семинарах:

– международная научная конференция «Ломоносов» (Москва, 2013, 2014,

2015 гг.); – научная конференция «Тихоновские чтения» (Москва, 2014, 2015 гг.); – научная конференция «Ломоносовские чтения» (Москва, 2014 г.); – 13 Viennese Workshop on Optimal Control and Dynamic Games (Вена, Австрия,

2015 г.); – научно-исследовательский семинар кафедры оптимального управления факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова под руководством академиков РАН А. В. Кряжимского и Ю. С. Осипова, профессора Н. Л. Григоренко. Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 8 печатных изданиях, 3 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [–], 5 — в тезисах докладов [–].

Все результаты, вошедшие в диссертацию и в перечень опубликованных работ, получены автором самостоятельно. В совместных работах научному руководителю А. В. Кряжимскому принадлежат постановки задач.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения. Полный объем диссертации 103 страницы текста с 7 рисунками и 3 таблицами. Список литературы содержит 81 наименование.

Расширенная задача программного наведения

Семейства (ux (-))жоєХ0 программ, применяемых для управления расширенной системой, ограничим классом всех допустимых расширенных программ. Фазовым пространством расширенной системы является lZn. В соответствии со сказанным для каждой допустимой расширенной программы (их (-))ХоЄх0 под соответствующим ей движением расширенной системы будем понимать функцию t ь- (x(t\xo,uXo(-))Xoex0 [tofl] ь 7 -п; также будем пользоваться обозначением (х(-\хо,иХо(-))ХоЄх0.

Расширенным целевым множеством назовем множество Л4 всех семейств (хХо)ХоЄх0 Є VJ1 таких, что хХо Є М для всех хо Є Хо. Будем говорить, что допустимая расширенная программа (иХо(-))ХоЄх0 является наводящей для расширенной системы, если соответствующее ей движение расширенной системы в момент $ принимает значение в расширенном целевом множестве: (х($\хо,иХо(-)))ХоЄх0 Є Л4. Будем говорить, что разрешима расширенная задача программного наведения, если существует допустимая расширенная программа, являющаяся наводящей для расширенной системы.

Вернемся к интересующей нас задаче пакетного наведения для исходной системы (1.1). Справедлива следующая теорема.

В соответствии с теоремой 1.2 условия разрешимости задачи пакетного наведения (а вследствие утверждения теоремы 1.1, и задачи гарантированного позиционного наведения при неполной информации) сводятся к условиям разрешимости расширенной задачи программного наведения. Расширенная система, для которой поставлена расширенная задача программного наведения, имеет бoльшую размерность, чем исходная система (1.1), однако структурно она весьма проста: она представляет собой хорошо изученную задачу программного наведения линейной управляемой системы на выпуклое целевое множество в заданный момент времени при выпуклых поточечных (геометрических) ограничениях на программные управления (см., например, [57]). Условия разрешимости такой задачи получаются в результате применения теоремы об отделимости выпуклых множеств и сводятся к решению конечномерной задачи оптимизации. Ниже соответствующая конструкция применяется к расширенной задаче программного наведения.

Доказательство. Будем трактовать Uext как множество пространства 2([(), Щ-, 7 .т) (см., напр., [58], разд. I.5 ). В силу равномерной ограниченности и выпуклости допустимых расширенных ресурсов Vk, ограничивающих значения допустимых расширенных программ на (тк-\-,Тк] при к 1 и на [о,ті] при к = 1 (к = 1,... ,К), множество Uext ограничено и выпукло. Отсюда следует, что множество Л ограничено и выпукло в lZn. Для завершения доказательства осталось показать, что Л замкнуто в lZn.

Возьмем произвольную последовательность (xi)f l из А, cходящуюся в 1Z71 к некоторому х Є lZn. Докажем, что х Є Л. Имеем ХІ = (x(i!}\xo UiXo(-))Xoex0 при некоторых (uiXo(-))Xoex0 Є Uext (і = 1,2,...). Поскольку ограниченное в 2([Аь $] 7m) множество Uext слабо компактно в этом пространстве [58], из последовательности ((uiXo(-))Xoex0)iLi можно выделить подпоследовательность, слабо сходящуюся в L,2([to, $], 71т) к некоторой функции t ь- (uXo(t))Xoex0 из этого пространства. Избегая переобозначений, будем считать, что данным свойством сходимости обладает сама последовательность ((uiXo(-))Xoex0)iLi. Имеем (UiXQ(t))Xoex0 Є Vk при почти всех t Є (Tfc_i,Tfc] для к 1 и почти всех t Є [to,Ті] для к = 1 (& = 1,..., ІІГ). Вследствие того, что множества Vk являются выпуклыми компактами в lZm (см. лемму 1.4), для каждого к = 2,..., К при почти всех t Є (Tk_i,Tfc] выполняется (гіЖо())ЖоЄх0 Є "Р/с и при почти всех Є [to,Ті] выполняется (uXo(t))Xoex0 Є V\. Следовательно, изменением значений функции t ь- (uXo(t))Xoex0 на множестве нулевой меры, мы можем превратить ее в допустимую расширенную программу, далее обозначаемую (мЖо(-))Жох0, с сохранением свойства слабой сходимости к ней в L2([to ] 7lm) последовательности (( гж0( ))жоєХо)і :і. Используя последнюю сходимость и представление состояний х($\хо, ЩХо(-)) (і = 1,2,...) и х($\хо, иХо(-)) (хо Є Хо) по формуле Коши x{&\xo,uXQ(-)) = F($,to)xo + / F($,t)B(t)uXo(t)dt + / F($,t)c(t)dt,

Пусть С — какое-либо множество пространства lZh, которое содержит образ единичной сферы Sh при ее, вообще говоря, неравномерном растяжении вдоль всех направлений, то есть такое, что при некоторых положительных г\ и "С і Т\ для каждой точки z Є Sh найдется г Є [гі,Г2], для которого rz Є С.

Функцию ф(-) : lZh ь- К. будем называть положительно однородной, если ф((ХІХо)ХоЄх0) = \ф((1Хо)ХоЄх0) для произвольного семейства векторов (Іхо)хоєХо Т 1 и любого А 0. Очевидно, функция нормы в расширенном пространстве (h = 1,2,...) положительно однородна.

Доказательство. В соответствии с теоремами 1.1 и 1.2 указанные выше задачи разрешимы или не разрешимы одновременно. Проверим, что (1.14) является критерием разрешимости первой из них - расширенной задачи программного наведения. Данная задача разрешима тогда и только тогда [59], когда непусто пересечение множества достижимости Л расширенной системы (1.11) и расширенного целевого множества Л4. Расширенное целевое множество Л4, в силу выпуклости и замкнутости целевого множества М, выпукло и замкнуто в 1Z71. Множество достижимости А, по лемме 1.6, есть выпуклый компакт в lZn. Следовательно, критерием непустоты пересечения Л П Л4 выступает отсутствие вектора отделяющего Л от АЛ; точнее, в соответствии с замечанием 1.7 и теоремой об отделимости выпуклых множеств (см., например, [60]), пересечение Л П Л4 непусто тогда и только тогда, когда для каждого (1Хо)х0еХ0 7 п справедливо неравенство

Расширенная задача программного наведения с семейством допустимых моментов наведения

Обобщим определение пакета программ, данное в разделе 1.2. Пакет (иХо(;))х0еХо программ будем называть наводящим к моменту, если для любого Хо Є Хо найдется момент tXo Є W такой, что x(t\xo,uXo(-)) Є M(t). Если существует наводящий к моменту пакет программ, говорим, что разрешима задача пакетного наведения к моменту. Всякое семейство си = (tXo)Xoex0 элементов множества W будем называть семейством допустимых моментов наведения. Будем говорить, что пакет программ (иХо(-))ХоЄх0 является наводящим с семейством си = (tXo)Xoex0 допустимых моментов наведения, если для любого Хо Є Хо выполняется x(tXo\xo,uXo(-)) Є M(tXo). Если существует пакет программ, являющийся наводящим с семейством си допустимых моментов наведения, будем говорить, что разрешима задача пакетного наведения с семейством си допустимых моментов наведения. Очевидны следующие утверждения. Лемма 2.1. 1) Пакет программ является наводящим к моменту тогда и только тогда, когда он является наводящим с некоторым семейством допустимых моментов наведения. 2) Задача пакетного наведения к моменту разрешима тогда и только тогда, когда разрешима задача пакетного наведения с некоторым семейством допустимых моментов наведения.

Известно [45], что для любой позиционной стратегии S и любого Хо Є XQ существует единственный управляемый процесс (иХо(-), хХо{-), Ух0{ )) с начальным состоянием хо под действием стратегии S. Семейство программ (их (-))ж0єХо, получающееся варьированием начального состояния хо Є Хо, является пакетом программ. Будет говорить, что этот пакет программ порожден позиционной стратегией S.

Лемма 2.2. Пусть задача пакетного наведения к моменту не разрешима. Тогда задача гарантированного позиционного наведения к моменту также не разрешима.

Доказательство. Из леммы 2.1 следует, что для любого семейства допустимых моментов наведения си = (tXo)Xoex0 задача пакетного наведения с семейством си не разрешима. То есть, для любого си = (tXo)Xoex0 Є и любого (их (-))жоєХ0 существует такое допустимое начальное состояние Хо Є Хо, что x{tXo\xo,uXo) ф М.

Введем числовую последовательность еп такую, что еп 0. Рас П—7 00 смотрим Sn = {(ТІ , гЄп)і=і — последовательность єп-наводящих семейств позиционных стратегий . Рассмотрим последовательность пакетов программ {иХо (-))хоєХ0, порожденных Sn с семейством иоп. Тогда x{tXo \хо,иХо ()) Є \M(sTn )}Єп для любого Хп Є Хо. Так как Р — выпуклый компакт, то Uer+ слабо компактно в L2{[to, #],7?.m). Множество Q конечно, следовательно, существует подпоследовательность ио = си Є Г2, си = (tXr.)Xf)eXn. Так как множество Хо пк конечно, то, не ограничивая общности, будем считать, что иХп () ихА) (слабо). Тогда в силу формулы Коши x(tX(\xo uXr. {)) x(txAxo uxA-)) для любого Хо Є Хо. Поскольку для каждого s Є W множество M{w) замкну то, то x{tXQ\xQ,uXQ{-)) Є M{tXo). Получили противоречие, то есть, стратегия S не является наводящей. Теорема 2.1. Задача гарантированного позиционного наведения к моменту разрешима тогда и только тогда, когда разрешима задача пакетного наведения к моменту. Доказательство. Необходимость напрямую следует из леммы 2.2. Достаточ ность вытекает из конструктивной процедуры построения позиционной страте гии по наводящему пакету программ (см. теорему 3.1). В связи с утверждениями леммы 2.1 и теоремы 2.1 основное внимание далее уделим вопросу о разрешимости задачи о наведении с заданным семейством моментов наведения. 2.3 Расширенная задача программного наведения с семейством допустимых моментов наведения Расширенным целевым множеством для семейства си = (tXo)Xoex0 допустимых моментов наведения будем называть множество Л4(ш) всех семейств {%хо)х0єХо Є -п таких, что хХо Є M(tXo) для всех Хо Є XQ. Замечание 2.1. Из выпуклости и замкнутости целевых множеств M(t) (t Є W) вытекает, что для всякого семейства си допустимых моментов наведения множество Л4(ш) выпукло и замкнуто в lZn. Будем говорить, что допустимая расширенная программа (иХо(-))ХоЄх0 является наводящей для расширенной системы с семейством си = (tXo)Xoex0 допустимых моментов наведения, если для движения (х(-\хо,иХо(-))ХоЄх0 расширенной системы, соответствующего (мЖо(-))Жох0, выполняется условие (x(t XQ\XQJ UXQ Будем говорить, что разрешима расширенная задача программного наведения с семейством си допустимых моментов наведения, если существует допустимая расширенная программа, являющаяся наводящей для расширенной системы с семейством си допустимых моментов наведения.

Из лемм 1.3 и 2.1 с очевидностью вытекает следующее. Теорема 2.2. 1) Допустимая расширенная программа является наводящим пакетом программ с семейством си допустимых моментов наведения тогда и только тогда, когда она является наводящей для расширенной системы с этим же семейством допустимых моментов наведения. 2) Задача пакетного наведения с семейством си допустимых моментов наведения разрешима тогда и только тогда, когда разрешима расширенная задача программного наведения с этим же семейством допустимых моментов наведения. 2.4 Критерий разрешимости Приведем критерий разрешимости расширенной задачи программного наведения с заданным семейством допустимых моментов наведения. Обозначим Q - множество всех семейств (tXo)Xoex0 допустимых моментов наведения. Для каждого семейства си = (tXo)Xoex0 введем соответствующее ему множество достижимости A(uj) = {(x(tXo\xo UXo(-)))Xoex0 {иХо{-))х0еХ0 Mext} расширенной системы; здесь Uext - множество всех допустимых расширенных программ. Лемма 2.3. Для каждого семейства си допустимых моментов наведения множество А(си) есть выпуклый компакт в lZn.

Доказательство. Выберем произвольное семейство допустимых моментов наведения си Є Vt. Ограниченность и выпуклость множества А(си) следует из равномерной ограниченности и выпуклости допустимых расширенных ресурсов управления Vk и полностью повторяет доказательство теоремы 1.6.

Докажем, что А(си) замкнуто в lZn. Возьмем произвольную последовательность {xi)f l из А(ш), сходящуюся в lZn к некоторой точке х Є lZn и проверим, что х Є A{IJO). Имеем ХІ = (x(tXo\xo UiXo(-))Xoex0 при некоторых {uiXo(-))Xoex0 Ьі (і = 1,2,...). Множество Ы слабо компактно и ограничено в пространстве iy2([o, #],7?m), поэтому из последовательности ((Иіжо( ))жоЄХо) 1 можно выделить подпоследовательность, слабо сходящуюся в L2([o, #],7?m) к некоторой функции (иХо(-))ХоЄх0 из этого пространства. Не нарушая общности, будем считать, что данным свойством сходимости обладает сама последовательность ((гігжо( ))жоєХо)і :і. Тогда, ввиду того, что (uiXo(t))Xoex0 Є Vk при всех t Є [rk-i-jTk] для к 1 и всех t Є [to,ті] для к = 1 (к = 1,..., if), и компактности и выпуклости множеств Р/с в lZm (см. лемму 1.4) для каждого к = 2,..., К при почти всех t Є (Tfc_i,Tk] выполняется (гіЖо())ЖоЄх0 Є "Р/с и при почти всех Є [to,ті] выполняется (гіЖо())ЖоЄх0 7-V Следовательно, изменяя значения функции t ь- (uXo(t))Xoex0 на множестве нулевой меры, можно превратить ее в допустимую расширенную программу (которую будем обозначать (иХо(-))ХоЄх0) с сохранением свойства слабой сходимости к ней в L,2([to, &\, R-m) последовательности ((гігжо( ))жоєХо)і :і. Используя последнюю сходимость и представление состояний ж(Жожо, ИІЖ0( )) (і = 1,2,...) и ж(Жожо, иЖо( )) (жо - о) по формуле Коши

Идентификация моментов расслоения однородных сигналов

Обозначим все моменты вг Є Т (г = 0,... ,R) через Tk,k = 1,...,К. Пусть строки п = 1,... ,7V и п" = 1,... ,7V таблицы / равны до момента Tk и 1п,г = 1п,,г = 4, где Ik = 1, , max ijr. Тогда допустимые начальные со j=l,...,N стояния Хоп Хоп» Є XQ приписываются одному кластеру Xoik(Tk). Таким образом для всех Tk Є Т составляются кластерные позиции X{rk) = {Хо/(г/г), / = 1,..., max ijr, г : вг = Tk}. j=l,...,N В соответствии с теоремой 1.3 требуется проверить выполнение неравенства sup 7(( о)х0єХ0) 0 (3.1) на множестве , содержащем образ единичной сферы с центром в нуле из пространства 1Z71. Напомним, что функция 7(-) является аналогом функции управляемости для расширенной задачи программного наведения, а именно, Лемма 3.1. Функция (((1Хо)ХоеХо) вогнута по (1Хо)ХоЄх0 70 Доказательство. Нижняя опорная функция р ((1Хо)ХоЄх0\Л) множества Л во гнута по {lx0)x0ex0, а верхняя опорная функция р+ ((1Хо)ХоЄх0\А4) множества Л4 выпукла по {lx0)x0ex0, но она входит в правую часть неравенства (3.2) со знаком минус, следовательно, функция гу({1Хо)х0еХ0) является суммой вогнутых функ ций, то есть вогнута.

Множество С можно выбрать выпуклым и компактным (см. замечание 1.8), следовательно для решения задачи (3.1), которая, очевидно, является конечномерной, применимы методы, описанные, например, в работах [64-66].

Если неравенство (3.1) не выполняется, то исходная задача гарантированного позиционного наведения не разрешима, и алгоритм (A1) прекращает свою работу. Иначе алгоритм (A1) переходит на следующий этап, описанный в подразделе 3.1.5.

Здесь и далее будем предполагать, что мгновенный ресурс управления Р содержит нулевой вектор в своей внутренности. Из определения наводящего пакета программ следует, что для того, чтобы нулевой пакет программ (uXo(t))Xoex0 = 0, XQ Є Хо, t Є [tofl] являлся наводящим необходимо и достаточно, чтобы для всех XQ Є XQ выполнялось включение

Если найдется xf0 Є XQ такое, что ж(#жо,0) Ф М", то нулевой пакет программ не является наводящим, и алгоритм (A1) переходит на следующий этап, описанный в подразделе 3.1.6. В противном случае алгоритм (A1) переходит сразу на этап 7, к построению наводящей позиционной стратегии (см. раздел 3.2). 3.1.6 Построение наводящего пакета программ.

Введем функцию 7( ) : [ОД] ь- К: 7(a) = max 7(( о)ж0єХ0?а)-Лемма 3.2. Функция j(-) монотонно убывает на отрезке [0,1]. Доказательство. Пусть 0 а а" 1, 7(а/) = І{{ Х0)Х0ЄХ0)-,СІ )-, ї{а") = 7((/"0)ж0єХ0)?а//). Поскольку О Є Р, то р (1\Р) 0 для произвольного / Є Ш171 [62]. Из этого утверждения и вида функции 7(( 0)ж0єх0? ( )) (см. (1.24)) следует, что {{1 Хо)ХоЄх0)-,Сі") l{{l x0)x0eX0)-, а ) = ї{а ) и ї{а") 7(( ж0)а;оЄХо)? a"), поэтому j(aff) j(af), что и требовалось доказать. Заметим, что если для каждого к = 1,... ,К все кластеры Xoj(rk),j = 1,... ,J(rk) — регулярны, то 7((/ 0)ж0єХ0)?а") і{(1 х0)х0єх0)-, а ), из чего следует строгая монотонность функ ции j(a). П Модифицируем алгоритм поиска оптимального управления методом последовательных приближений, предложенный в работе [67], для расширенной задачи программного наведения. — конечное состояние движения расширенной системы (1.11) под действием нулевого пакета программ. Очевидно, что с Є Л. Поскольку нулевой пакет программ не является наводящим, то с ф АЛ. Найдем точку

Из выполнения критерия разрешимости (1.14) следует, что 7( 51) 0. Из лемм 1.8 и 3.2 следует, что найдется а Є (0,1] такое, что 7((/жо )х0єХоіа ) = 0. Найдем его из уравнения (1.25): Далее для каждого к = 1,... ,К и всех регулярных кластеров Xoj(rk) Є Xo{Tk) вычислим элементы пакета программ {их\ (-))Жох0 из (1.27): и f\ At) Ga (0)Arg min D(t) У l }0 ,u (t Є [rk-i,Tk)). (3.3) Для особых кластеров процедура поиска элементов соответствующего пакета программ описана в подразделе 3.1.7. Замечание 3.1. Здесь и далее в данном подразделе кластер Xoj(rk) Є Хо{т к) {к = 1,... ,К) считается регулярным на г-ом шаге (і = 0,1,...) этапа 6 алгоритма (А1), если выполняется условие У D(t)l y Ф 0 {t Є [rk-i,Tk)). x0eX0j(Tk) Вычислим значение движения расширенной системы в момент времени &: () = (ж(#ж0, (00)(-)))хоєХо = с+ ( F(&,t)B(t)u \t)dt Если С/0 Є Л4 (то есть х($\хо,и ( ) Є М для всех хо Є Хо), то этап 6 алгоритма (A1) заканчивает свою работу с выходом (3.3). В противном случае полагается

Замечание 3.2. Если множество Р строго выпукло, то, в соответствии с результатами работы [62], искомые значения элементов наводящего пакета программ могут быть найдены по формуле: их (т )(0 = a grad р I D(t) У / x0eX0j(Tk) P I (3.6) (t Є [rk-iiTk]). Здесь dp-(ЦРУ dh grad p {l\P) = . I , / Є Шт др-(1\Р) Ul — обозначение градиента функции р {-\Р). Для особых кластеров процедура поиска элементов соответствующего пакета программ описана в подразделе 3.1.7. 4. Вычисляется значение движения расширенной системы в момент &: = (х(-&\хоХ (-)))хоХо = с+\ I F(&,t)B(t)u V(t)dt 5. Если г є Л4 (то есть X($\XQ,UX0()) Є М для всех XQ Є ХО), то этап 6 алгоритма (A1) заканчивает свою работу с выходом (3.5). В противном случае полагается z w Argmax (f , z)nn (3.7) и этап 6 алгоритма (A1) переходит на (і + 1)-й шаг. В качестве критерия остановки этапа 6 алгоритма (A1) на г-ом шаге может выступать также приближение конечного состояния движения расширенной системы к расширенному целевому множеству на расстояние еЦ, заданное дополнительно:

Вычисление элементов наводящего пакета программ для особых кластеров.

Сходимость алгоритма (А2) следует из сходимости соответствующего алгоритма в евклидовом пространстве [69] и замечания 1.7.

Замечание 3.5. В случае, если мгновенный ресурс управления Р — произвольный выпуклый компакт, сжимаемый относительно начала координат, то алгоритм (А2) можно модифицировать — в этом случае необходимо либо применить соответствующие методы аппроксимации множества Р (см., например, [70; 71]), либо использовать формулу (3.6) для вычисления выражений, содержащих элементы пакета программ.

Опишем процедуру построения є-наводящей позиционной стратегии, решающей исходную задачу гарантированного позиционного наведения, по заданному наводящему пакету программ.

Отправляясь от построенного наводящего пакета программ (м о(-))Жох0, зададим некоторый позиционный способ управления системой (1.1), стартующей в момент to из, вообще говоря, неизвестного управляющей стороне истинного начального состояния хо Є XQ. Отождествим себя с управляющей стороной. Отметим такое 5 0, что для любого к = 1,..., К верно условие

До начала движения принимаем решение в каждый момент t Є [to,to + S) применять к системе (1.1) произвольное тестовое управляющее воздействие й(-) (u(t) Є Р, t Є [о,о + 8)). В момент to + S проделаем следующие действия: отметим некоторый момент to Є ( о, о + 8) и рассмотрим значение У {to) = Q{to)x{to) сигнала (неоднородного!) об истинном состоянии x{to) системы в этот момент. По формуле Коши имеем to to У {to) = Q{to)F{to-,to)xo + Q{to) / F{to T)B{r)u{r)dr + Q{to) / F{to,T)c{r)dr. to to Используя знания о входных данных, найдём вектор if (to) = У (to) — Q(to) F(to,s)B(s)u(s)ds — Q(to) F(to, s)c(s)ds. to to Из определения однородного сигнала (1.4) ясно, что Так как до момента т\ Є Т однородный сигнал ?ж0( ) не имеет моментов расслоения, мы установили, что х0 Є Хо(ті\до(-)) = {хо Є Хо : gXo(-)\[t0:Tl} = 90( )\[to,ri] Очевидно, что множества Xo(ri\gXo(-)) (хо Є Хо) являются кластерами и составляют кластерную позицию XQ(T\). Занумеруем их индексами j = 1,..., J(T\) и присвоим кластеру Хо(ті\дХо(-)) номер j. Следовательно, в каждый момент t Є [to + 6,ті] будем применять к системе управляющее воздействие Ux ,(Tl)(t), соответствующее кластеру Х -(т\).

Далее, для каждого к = 1,... ,К — 1 в каждый момент t Є [т , Tk + 8) будем применять к системе (1.1) управляющее воздействие их -.(ті)() (применявшееся ранее на отрезке \тк-\ + 8, тк\). В момент тк + 5 отметим некоторый момент fk Є (rk-jTk + 6) и найдём вектор w(fk):

Очевидно, что множества Хо(тк+і\дХо{ )) {%о Є - о) являются кластерами и составляют кластерную позицию Хо(тк+і). Занумеруем их индексами j = 1,..., J(TVI-I) И присвоим кластеру Хо(тк+і\дХо(-)) номер j. На отрезке [тк + Тк+і] будем применять к системе (1.1) управление их -.(тк+1){і): соответствующее кластеру X0j(rk+i).

Замечание 3.6. Отметим, что кусочная непрерывность слева матрицы-функции наблюдения Q(t) является достаточном условием идентификации сигналов на любом отрезке, лежащем в [о,#]. Рассмотрим управляемую систему (1.1) с множеством допустимых начальных значений, состоящим из двух различных точек: XQ = {х 0,х$}. Пусть матрица-функция Q(t) задана следующим образом:Q,t Є [0,ті) U (ті,#] E,t = т\ где О — нулевая, а Е — единичная (п х п)-матрицы. Очевидно, что Q(t) имеет разрыв первого рода в точке Т\. Однородные сигналы дх () = Q(-)F(-,to)x 0 и 5Ч (-) = Q{ )F{ ,to)%o имеют первый момент расслоения Т\, однако идентифицировать его по наблюдаемому сигналу y(t) невозможно - для любого 5 0 и любого f\ Є (ті,ті + 6) вектор w{f\) = 0 для каждого из начальных состояний.

Лемма 3.4. Пусть разрешима задача пакетного наведения для системы (1.1), и х (-) = х(-\хо,и . ()) — движение, исходящее из допустимого начального состояния Хо Є XQ под действием программы и х () из наводящего пакета программ иХо(-)ХоЄх0. Пусть х (-) = х(-\хо,й (-)) — движение в управляемом процессе (ж (-),г/(-),й (-)) с начальным состоянием Хо под действием позиционной стратегии S , соответствующей (иХо(-))ХоЄх0, где и (-) Є U,y(t) = Q(t)x(t) (t Є [o,#]), и для каждого к = 0,... ,К выполнено u (t) = u ((Tk) = Uk{yak{ ),uak(-)) (t Є [o kiO k-\-i])- Тогда существует неотрицательная постоянная С такая, что

Из непрерывности функций А(-) и () на отрезке [tofl] по теореме Вейер-штрасса следует их ограниченность на этом отрезке. Следовательно, для любого s Є [о,#] верно неравенство (#, s)B(s)\\- nxm Н, а поскольку мгновенный ресурс управления Р ограничен, то \ulo(r) — u j. (т)\ Ck-,T Є (т , + ), А; = 0,... ,К — 1. Здесь Н и Ck — некоторые неотрицательные константы. Положим С = max Ck. Таким образом

Теорема 3.1. Пусть разрешима задача пакетного наведения для системы (1.1), и для достаточно малого положительного 5 выполнено условие К6С є, где С — некоторая положительная постоянная. Тогда позиционная стратегия S = ( 7fc, Uk)k=o , соответствующая наводящему пакету программ, будет являться е-наводящей. Доказательство. Пусть пакет программ (м о(-))Жох0 является наводящим для системы (1.1). Из определения разрешимости задачи пакетного наведения сле дует, что для любого допустимого начального состояния хо Є XQ верно вклю чение ж (і?) = ж( жо,м 0(-)) Є М. Пусть х (-) = х(-\хо,й (-)) — движение в управляемом процессе (ж (-),г/(-),й (-)) с начальным состоянием хо под действи ем позиционной стратегии S . Из леммы 3.4 следует, что \х ($) — ж (#) КдС, а по условию теоремы КдС є. Таким образом ж (#) — ж (#) є, что эквива лентно ж (#) Є [М]є. Это включение по определению означает, что позиционная стратегия S является є-наводящей, что и требовалось установить.