Обобщенные нормальные формы гамильтоновых и контактных систем Ваганян Артур Суренович

Содержание к диссертации

Введение

1. Метод обобщенных нормальных форм 17

1.1. Квазиоднородные полиномы 17

1.2. Резонансное уравнение и резонансные наборы 18

1.3. Определение обобщенной нормальной формы 19

1.4. Обобщенные нормальные формы гамильтоновых систем с одной степенью свободы 22

1.5. Нахождение резонансных полиномов путем сведения к задаче с меньшим числом степеней свободы 24

1.6. Неполная нормальная форма Белицкого гамильтоновой системы с двумя степенями свободы 31

2. Обобщенные нормальные формы систем с гамильтоновой невоз мущенной частью и негамильтоновым возмущением 35

2.1. Связь с гамильтоновыми обобщенными нормальными формами 35

2.2. Случай двух уравнений 43

2.3. Многомерное обобщение нормальной формы Такенса 50

3. Обобщенные нормальные формы в термодинамике 53

3.1. Термические уравнения состояния 53

3.2. Нормальная форма вириального разложения 55

3.3. Модель Дебая-Хюккеля водородной плазмы 57

3.4. Резонансные возмущения классической водородной плазмы 60

Заключение 65

Литература

• Определение обобщенной нормальной формы
• Нахождение резонансных полиномов путем сведения к задаче с меньшим числом степеней свободы
• Многомерное обобщение нормальной формы Такенса
• Модель Дебая-Хюккеля водородной плазмы

Введение к работе

Актуальность исследования обусловлена прежде всего важностью нормальных форм гамильтоновых и контактных систем с нелинейной невозмущенной частью с точки зрения приложений.

Изучение гамильтоновых и контактных систем занимает значительное место в теории нормальных форм. Среди основоположников теории гамильтоно-

вых нормальных форм упомянем Дж.Д. Биркгофа, Т.М. Черри, К.Л. Зигеля и А.Д. Брюно. Что касается контактных нормальных форм, наиболее значительный вклад в развитие данного направления внес В.В. Лычагин.

К вопросу о важности изучения контактного случая процитируем В.И. Арнольда: «На нечетномерных многообразиях не бывает симплектических структур, но зато бывают контактные. Контактная геометрия играет для оптики и теории распространения волн такую же роль, как симплектическая для механики. <...> Вся симплектическая теория (включая, например, теорему Гивенталя) имеет контактные аналоги, чрезвычайно полезные для исследования особенностей в вариационных задачах.» Первоначально контактные векторные поля и преобразования исследовались С. Ли и Э. Картаном в связи с вопросами интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных. Сегодня контактные системы наряду с гамильтоновыми возникают в механике, геометрической оптике, термодинамике, задачах теории оптимального управления и других.

Стоит отметить, что помимо метода обобщенных нормальных форм существуют и другие подходы к анализу особенностей с вырожденной линейной частью, например локальный методу предложенный А.Д. Брюно, а также различные определения «неупрощаемых» нормальных форм, или нормальных форм «бесконечного порядка». Однако нахождение таких неупрощаемых нормальных форм представляет собой очень трудную задачу, полностью решаемую лишь для некоторых частных случаев.

Предлагаемый в диссертации метод обобщенных нормальных форм оказывается полезен там, где, например, важна сама по себе структура невозмущенной части, или обобщенная нормальная форма достаточно проста, или же может быть дополнительно упрощена из физических или иных соображений. Все вышесказанное демонстрируется в заключительном разделе диссертации.

Целью исследования диссертации является разработка эффективных методов нахождения обобщенных нормальных форм и построение единого гибкого подхода к классификации нелинейных гамильтоновых и контактных систем в окрестности неэлементарной особой точки. В рамках рассматриваемой работы решаются следующие задачи:

Арнольд В.И. Теория катастроф. 3 изд. М.: Наука, 1990. С. 75

1. дать универсальное определение обобщенной нормальной формы для случая гамильтоновых и контактных систем;

2. предложить конструктивные методы нахождения обобщенной нормальной формы;

3. выявить связь с обобщенными нормальными формами в смысле В.В. Басова и Г.Р. Белицкого;

4. привести примеры приложений обобщенных гамильтоновых и контактных нормальных форм.

Методы исследования, используемые в работе, включают в себя как известные, так и новые, предложенные автором в опубликованных им статьях:

5. метод скалярных произведений Г.Р. Белицкого;

6. метод резонансных наборов В.В. Басова и его адаптация на гамильтонов случай из работы ];

7. метод квазирезонансных полиномов из работы ];

8. разбиение плоского векторного поля на гамильтонову и негамильтонову составляющие по А. Байдеру и Я. Сандерсу и его обобщение на случай квазиоднородного невозмущенного гамильтониана и полей размерности 2п из работ [3-].

Остановимся подробнее на методах Белицкого и резонансных наборов как на двух наиболее общих и часто используемых в диссертации.

Наиболее популярным подходом к вопросам локальной классификации систем с вырожденной линейной частью сейчас является метод Г.Р. Белицкого. В нем невозмущенная часть может быть представлена произвольным однородным вектор-полиномом. В частности, им было дано определение нормальной формы гамильтоновой системы с однородным невозмущенным гамильтонианом произвольной степени, так называемой неполной нормальной формы Белицкого. В подходе Белицкого с использованием на пространстве полиномов специального скалярного произведения вопрос о нахождении структуры обобщенной

нормальной формы гамильтониана сводится к отысканию полиномиальных решений однородного линейного дифференциального уравнения в частных производных. Сами эти уравнения и их решения (которые в диссертации, следуя традиционной для теории нормальных форм терминологии, названы резонансными полиномами), вообще говоря, ничем не замечательны и лишь косвенно связаны с невозмущенной системой. В этой связи автором совместно с В.В. Басовым в работе [] было предложено более гибкое определение обобщенной нормальной формы в терминах резонансных наборов. Идея резонансных наборов состоит в том, чтобы в качестве слагаемых возмущения гамильтониана в нормальной форме рассматривать не обязательно сами резонансные полиномы, а полиномы, независимым образом их представляющие. Например, резонансный набор всегда может быть составлен из мономов. Неполная нормальная форма Белиц-кого также представляется резонансным набором, состоящим из резонансных полиномов.

Теоретическая значимость исследования обусловлена универсальностью вводимых понятий и эффективностью предлагаемого аппарата для нахождения структур обобщенных нормальных форм, который вместе с тем может быть полезен и в других задачах. Так предложенное в работе определение резонансного набора позволяет выбирать ту или иную нормальную форму, исходя из условий задачи, и объединить результаты предшественников для многих специальных случаев (см. примеры 3, 6-13). В частности, этот момент используется в разделе 2 при обобщении нормальной формы Такенса на случай произвольного количества жордановых клеток 2 х 2. А применяемые в разделе 2 диссертации методы могут использоваться для описания полиномиальных решений широкого класса квазиоднородных дифференциальных уравнений в частных производных, среди которых важнейшие уравнения математической физики, такие как уравнения Лапласа и теплопроводности, волновое уравнение и другие. Также в работе развиты новые методы нахождения обобщенных нормальных форм с гамильтоновой невозмущенной частью и негамильтоновым возмущением в смысле В.В. Басова.

Практическая значимость полученных результатов проиллюстрирована в заключительном разделе диссертации, где на примере известных тер-

модинамических моделей показывается, как обобщенные нормальные формы оказываются полезны при изучении сложных физических систем. А именно, метод обобщенных нормальных форм применяется для анализа критических явлений в термодинамике неидеальных сред на примере уравнений состояния смеси неидеальных газов и классической водородной плазмы. Эта область термодинамики представляет большой практический интерес в связи с многочисленными приложениями физики плазмы. Вместе с тем сфера практического применения обобщенных нормальных форм не ограничивается термодинамикой. Гамильтоновы нормальные формы широко применяются в небесной механике, при исследовании стабильности пучков элементарных частиц в кольцевых ускорителях и в других областях физики и техники. Ввиду того, что в реальных задачах нелинейности могут оказывать значительное влияние на поведение системы, обобщенные нормальные формы могут быть полезны и в этих областях, так как позволяют корректно учесть нелинейные эффекты при исследовании таких систем.

Научная новизна настоящего исследования выражается в нескольких аспектах. Необходимость рассмотрения гамильтоновых систем с вырожденной невозмущенной частью и неединственность в выборе обобщенной нормальной формы привела к появлению множества специальных определений, годящихся лишь для некоторых частных случаев. В диссертации впервые дается определение обобщенной нормальной формы для гамильтоновых и контактных систем с произвольным квазиоднородным невозмущенным гамильтонианом. Методы нахождения нормальных форм Белицкого и Басова из первых двух разделов существенно отличаются от традиционных методов линейной алгебры, используемых предшественниками, и позволяют обойти свойственные им вычислительные трудности. Также ранее не рассматривались применения нормальных форм в термодинамике. Таким образом, все основные результаты работы являются новыми.

Публикация результатов. Всего по теме диссертации автором опубликовано шесть статей -], из них четыре, содержащие основные результаты, — в рецензируемых журналах из списка изданий, рекомендованных ВАК. Работы [-3] написаны совместно с В.В. Басовым. Постановка задач в них принадлежит

В.В. Басову. Определения гамильтонова резонансного набора и гамильтоновой обобщенной нормальной формы, а также теорема о нахождении обобщенной нормальной формы двумерной системы с гамильтоновой невозмущенной частью предложены совместно с В.В. Басовым. Методы нахождения резонансных наборов и примеры обобщенных нормальных форм в работах -3], а также постановка задач и все результаты работ -] принадлежат автору. Результаты статей [-] соответствуют первому разделу диссертации, во второй и третий разделы попали результаты работ [3-] и ] соответственно.

Апробация результатов. По теме диссертации автором сделано три доклада на международных конференциях «Еругинские чтения» (Новополоцк, 2011; Гродно, 2013) , ] и «Динамика, бифуркации и странные аттракторы» (Нижний Новгород, 2013) ], а также доклад на семинаре кафедры дифференциальных уравнений математико-механического факультета СПбГУ (Санкт-Петербург, 2016).

Положения, выносимые на защиту:

9. предложено определение обобщенной нормальной формы гамильтоновой и контактной системы в терминах резонансных наборов, обладающее рядом преимуществ по сравнению с предшествующими (неполной нормальной формой Белицкого и различными специальными определениями);

10. представлены эффективные методы нахождения гамильтоновых обобщенных нормальных форм со многими степенями свободы, получены в явном виде неполные нормальные формы Белицкого для невозмущенного гамильтониана с двумя степенями свободы вида ХіТ^у¹ + Х2Х2У2¹²]

11. представлен новый метод нахождения обобщенных нормальных форм в смысле В.В. Басова, применимый для случая систем с гамильтоновой невозмущенной частью, в частности, получены в явном виде обобщенные нормальные формы систем двух уравнений с невозмущенной частью, представленной бездивергентным вектором с мономиальными компонентами произвольной степени, а также обобщена на случай произвольного количества жордановых клеток 2x2 нормальная форма Такенса;

4) введено понятие термодинамической эквивалентности и на примере двух термодинамических моделей неидеальных сред продемонстрирована его полезность и в целом применимость контактных обобщенных нормальных форм в приложениях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех разделов, заключения, библиографии, включающей в себя 47 наименований, и приложения. Общий объем работы составляет 75 страниц, включая 7 рисунков.

Определение обобщенной нормальной формы

Покажем, что линейные пространства O.J удовлетворяют условиям теоремы 2. Пусть (p,q) Є 7/то. Тогда еслир+ (j — к)(1 — 1) и g+ (j — к)(т — 1) — целые неотрицательные числа, то (p + j{l-l) )\(q + j{m-l) )\ к Н п (xP+ l-l)y i+ m-l)\ {p+(j-m-l))\{q+(j-k)(m-l))\ к (J[{lq -mp+(i- j)(l - m) )\xp+{j-k){l-l)yq+{j x i=\ В остальных случаях H [xp+ l l yq+ m l ) = 0. Полагая в приведенном выше выражении к = j и (р} q) Є IJlm, получаем неравенство (4i), а полагая к = j + 1 и (р, д) Є IJlm, — равенство (42). В случае / = т оставшиеся условия теоремы 2, очевидно, выполнены, поэтому далее мы будем предполагать, что 1 ф т.

Допустим, что пространства O.J не взаимно ортогональны. Тогда существуют j,j Є Z__, j = j , для которых либо rl/d + j(l - 1) = r l/d + /(/ - 1), rm/d + j(m — 1) = r m/d + j (m — 1), либо ( p + j(l-l) = rl/d-l+f(l-l), q + j(m — 1) = rm/d — 1 + f(m — 1), где r, r i. В первом случае, вычитая из первого равенства, умноженного на т, второе, умноженное на /, получаем j(l — т) = j (l — т), что противоречит предположению 1 ф т. Во втором случае приходим к противоречию с предпо ложением (р, q) Є // : при j j не выполняется условие, что р = 0, / — 2 или q = 0,m — 2, а при j j-/, вычитая из первого равенства, умноженного на т, второе, умноженное на /, получаем (j — j — 1)(/ — т) = lq — тр, что противоре 3-1 чит условию Yi {iQ тР — і{1 — т) ) ф 0. Тем самым взаимная ортогональность г=0 пространств O.J доказана. Наконец, 00 00 QspanK+ -V " : Ы) Є 1{т} = 0 Н\К) = Щг]. 3=0 3=0 Как мты олько что убедились, все условия теоремы 2 выполнены, следовательно, указанные пространства Д,- являются пространствами квазирезонансных полиномов.

Отметим, что в обоих рассмотренных примерах пространства квазирезо 3 нансных полиномов индекса j Є Z+ представляются в виде 0.J = Н (ЇЯ). Операция 0. Пусть Н является суммой полиномов от различных групп канонических координат: H{z )z") = Hl{z ) + H2{z"). Обозначим через Н С Щг ] и О"- С Щг"} пространства квазирезонансных полиномов индекса j для Н\ и Н соответственно. По теореме 2 для всяких полиномов Р Є Ш[г ] и Р" Є Ш[г"] единственны разложения 00 00 3=0 3=0 поэтому корректно определена билинейная операция 0 : Ш[г ] х Ш[г"] — Ш[г] : оо j Р 0 р» = (_!) я; (Р ) Н-Г (Р"). (5) j=0 г=0 Теорема 3 (см. [ 13, теорема 2]). Операция 0 задает канонический изоморфизм пространств: 0 п; 0 п; = 91. (6) 3=0 Доказательство. Действуя оператором Я на Р 0 Р", получаем оо 3 . . . . j=0 г=0 оо = J2 Р з 2J+1 (Р?) + (-1) iJ+1 ( / = 0. 3=0 Таким образом, полиномы вида (5) и их линейные комбинации — резонансные. Пусть Q Є R[z] ортогонален всем полиномам вида (5): оо j j=0 г=0 Последнее эквивалентно тому, что для каждого j Є Z+ (-1) Я/ Я/" (Q) = HXJ+1 (Q ) + я/ +1 (Q") i=0 для некоторых полиномов Q ,Q" Є K[z]. Это возможно тогда и только тогда, когда Q = Hl(Q,) + H2 (Q )eH(R[z}), т. е. когда Q ортогонален пространству резонансных полиномов. Отсюда вытекает, что всякий резонансный полином — это линейная комбинация полиномов вида (5), а значит, Vl = R[z }QR[z"}. (7) Пусть {е -к}} {е Л}, j Є Z__, к,І Є N, — базисы пространств Н и Н" соответственно. Тогда {е -к 0 е г} — базис в (8) Н". Из (7) следует, что элементы {e j к 0 е Л} порождают 91. Докажем, что они линейно независимы. Допустим, что 2 Ckje jk 0 e -i = 0 в предположении, что отлично от нуля к,1=1 лишь конечное число коэффициентов с&;/. Тогда 00 00 j Е С»А« йї е", ) = Е , (-і)і_1 #Г (еЬ) #Г ( &) А;,/=1 к,1=1 г=1 Поскольку справа отсутствуют слагаемые из П (8)t[z"], а слева присутствуют только такие слагаемые, каждая из частей этого равенства должна равнять 3 ся нулю. В свою очередь, поскольку элементы Н (e i) линейно независимы, левая часть может равняться нулю только при равенстве всех с&;/ нулю.

Таким образом, элементы е -к 0 е 1 образуют базис пространства 91, что доказывает изоморфизм (6). Наконец, поскольку 0 не зависит от выбора базиса в (J) У- 0 О. , этот изоморфизм является каноническим. 3=0 1.6. Неполная нормальная форма Белицкого гамильтоновой системы с двумя степенями свободы с невозмущенным гамильтонианом \\xly1 + Х х у2 Пусть s = 4. Положим х\ = Z\, х2 = z2, у і = з, 2/2 = 4- Применим полученные результаты, чтобы найти неполную нормальную форму Белицкого гамильтониана с невозмущенной частью вида

Заметим, что найдя неполную нормальную форму Белицкого, мы при желании сможем выписать и любую другую обобщенную нормальную форму, выбрав нужный резонансный набор. Пример 6 (см. [23, следствие 1]). Пусть Н = уГ±ур (шьт2 2) и канонический вес 7 выбран так, что \ = Тз і = 74 2 J- Соответствующие квазирезонансные полиномы были найдены в примере 4. По теореме 3 для такого невозмущенного гамильтониана полиномы ?/f+j(rai-1)0 /fj(ra2-1) = yfx yf x J ir (qi+j(mi -1) ) ! (q2+j{m2-l) )\ г=0 {qi + U г)(ті - 1) ) ! (q2 + i{m2- 1) ) ! x (mixiy -1 )1 [m2x2y -ly-1. образуют базис в пространстве резонансных полиномов, а неполная нормальная форма Белицкого имеет вид оо mi—2 т2 — gi+j(mi-l) ,-. Л 2„Я2+з(т2-1) H+V = у г ± Й + Е wtf J/Г "1"4 »? j=0 qi=0 q2=0 Несмотря на то, что при vri\ = m2 = 2 наши рассуждения предполагали, что возмущение начинается с членов четвертой степени, приведенная формула дает правильный результат и при наличии в возмущении кубических членов, H + V = yl±yl+ Y сРиР хр11хр22(хіу2Тх2уіУ, Pi+P2+2j -i поскольку всякий полиномиальный интеграл линейной гамильтоновой системы, сопряженной системе, порожденной невозмущенным гамильтонианом у\ ± у%, ЯВЛЯеТСЯ ПОЛИНОМОМ ОТ Х\, Х і И Х\У і =F Х іУ\. Пример 7 (см. [23, следствие 2]). Пусть Н = у ± xi]yp (ггц 2, /2, m2 1) и канонический вес 7 выбран так, что \ = 7з 1 = 72 2 + 74 2 Соответствующие квазирезонансные полиномы были найдены в примерах 4 и 5. По теореме 3 для такого невозмущенного гамильтониана полиномы

Нахождение резонансных полиномов путем сведения к задаче с меньшим числом степеней свободы

В термодинамике отношения между макроскопическими параметрами описываются уравнениями состояния, которые, в свою очередь, делятся на два класса: термические и калорические. Предметом нашего дальнейшего рассмотрения станут термические уравнения состояния (см. напр. [ :0, Глава I, 1]), которые описывают взаимосвязь между температурой , объемными концентрациями компонент системы, давлением и другими обобщенными термодинамическими силами. Для более компактной записи ниже в формулах температура рассматривается в энергетических единицах, что равносильно принятию постоянной Больцмана равной единице, а на графиках для удобства температура приводится в градусах Кельвина. Остальные физические величины рассматриваются в системе СГСЭ.

Рассмотрим термическое уравнение состояния вида (,,,...,,) = 0. (13) С учетом уравнения Гиббса-Дюгема (см. напр. [41, с. 322]) к d-d- ,d, = 0, І=\ где обозначает плотность энтропии, а І — химический потенциал го типа частиц, термическое уравнение состояния (13) является уравнением в частных производных первого порядка относительно . Его характеристические урав нения образуют контактную систему с гамильтонианом Н, для которой величины T,rij/ Хлп Н/ Хлп являются первыми интегралами, а поверхность (13) — интегральной. Отсюда вытекает, что на этой поверхности система (14) полностью интегрируется. Таким образом, для любой модели, заданной термическим уравнением состояния (13), мы можем описать все ее термодинамические свойства, непосредственно решая систему (14).

Уравнения состояния реальных сред, которые, как правило, сложно получить теоретически, можно рассматривать как возмущения идеальных моделей. Один из подходов к классификации такого рода возмущений дает метод обобщенных нормальных форм.

Определение 13. Будем называть два уравнения состояния вида (13) контактно эквивалентными, если они сопряжены при помощи контактного преобразования, сохраняющего уравнение Гиббса-Дюгема. Для применимости метода обобщенных нормальных форм необходимо, чтобы левая часть термического уравнения состояния (13) являлась квазиоднородным полиномом от переменных Р,Т,пі,... ,п&, причем уравнение Гиббса-Дюгема должно быть квазиоднородным с тем же самым весом. При этом резонансное уравнение для невозмущенного гамильтониана Н принимает вид Я (Д) = 0, ДєЩ[Р,Т,щ,...,п,]], (15) где линейный дифференциальный оператор Н определяется формулой

Чтобы проиллюстрировать понятие контактной эквивалентности, рассмотрим уравнение состояния смеси неидеальных газов, обычно записываемое при помощи вириального разложения, называемого также групповым разложением Майера (см. [40, Глава III, 16], [42, Глава VII, 75]): Функции Bm называются вириальными коэффициентами и характеризуют взаимодействие между ш-частичными группами молекул газа.

Термин «вириал» восходит к Г. Клаузиусу [40, Глава III, 17]. Вириальное разложение хорошо соотносится с экспериментальными данными для не слишком плотных газов и повсеместно используется для их описания. В связи с этим на него возлагались большие надежды в части описания критических явлений и тройной точки. Однако эти надежды не оправдались [ ]. Р. Фейнман связывает неприменимость вириального разложения при очень больших плотностях с тем, что все частицы оказываются вовлеченными в один большой кластер, так что влияние TV-го члена преобладает над предыдущими слагаемыми. Мы покажем более простое и строгое объяснение этому факту при помощи метода нормальных форм.

Примем за невозмущенный гамильтониан Н левую часть уравнения состояния смеси идеальных газов Р_пТ = 0. (17) Н квазиоднороден, если положить вес переменной Р равным 2 и веса остальных переменных равными 1. Тогда резонансное уравнение (15) принимает вид i=l а резонансные полиномы суть линейные комбинации мономов видаРТ , п Тт. Итак, вириальное разложение полностью состоит из нерезонансных слагаемых, которые могут быть уничтожены контактным преобразованием.

Многомерное обобщение нормальной формы Такенса

Покажем на примере классической водородной плазмы, как метод обобщенных нормальных форм может применяться для получения нетривиальных моделей реальных сред.

Модель Дебая-Хюккеля классической водородной плазмы, состоящей из атомов водорода, электронов и протонов, обозначаемых в дальнейшем индексами а, е и р соответственно, описывается уравнением состояния (см. напр. [42, Глава VII, 78]) р-Тп + 12пТе3 = {) где через е обозначен элементарный заряд. Данное уравнение применимо в предположении электрической нейтральности, Пe — Tip, и малости кулоновского взаимодеитсвия по сравнению с кинетической энергией, ( Т пpе2 Из системы (14) находим 3 / 8ттап /ia = Tlnn + 61, /ip + /ie - 2/ia = -e A j——— + C2) V (! + ")т где а обозначает коэффициент ионизации [42, Глава X, 104]: а = пp/(пa+Пp). Поскольку величина а является интегралом системы (14), а при малых концентрациях плазма ведет себя, как смесь идеальных газов, постоянные интегрирования С1 и С2 можно найти, заменяя химические потенциалы компонент на химические потенциалы идеальных газов в пределе прип — 0. Выражение для химического потенциала идеального газа имеет вид (см. [42, Глава IV, 45]) где п обозначает концентрацию, Z — статистическую сумму, am — массу частицы. Для электронов и протонов Z = 2, а для атомов водорода следует ис пользовать формулу Планка-Ларкина (см. напр. [44])

При малых плотностях слагаемое Дебая-Хюккеля в (18) можно отбросить, при этом множитель ехр(-е3\/8ттпр/T:i/2) в (19) исчезает, и в результате получается классическая формула Саха для а, что соответствует хорошо известной модели «идеальной плазмы» [ , Глава X, 104]. При больших плотностях, как видно из рисунка 2, поведение коэффициента ионизации плазмы Дебая-Хюккеля значительно отличается от предсказываемого формулой Саха. С дальнейшим ростом плотности (вообще говоря, выходящим за пределы применимости самой модели) коэффициент ионизации сначала стабилизируется, а затем, после того как щ превысит значение 8 10 частиц/см , быстро стре 0.15

Гипотетический плазменный фазовый переход мится к 1 (см. рисунок 3). При температурах меньших Т 23 000 К кривая Р(щ) имеет две ветви с положительной производной (дР/дщ)т, что соответствует разделению плазмы на две устойчивых фазы. Это явление до сих пор не обнаружено экспериментально, поэтому в литературе оно называется гипотетическим плазменным фазовым переходом (см. напр. [45, Часть II, Глава 6, 6.4.2]).

Легко видеть, что уравнение состояния (18) квазиоднородно вместе с уравнением Гиббса-Дюгема, если положить веса переменных/ia,/ie,/ip,T равными 1, веса n, np, s — равными 3, и вес Р — равным 4. Это обстоятельство позволяет применить метод обобщенных нормальных форм для нахождения резонансных возмущений модели Дебая-Хюккеля (приведенные ниже результаты опублико ваны в [ 10, 4]). Для этого перепишем уравнение (18) в полиномиальном виде: 8-7Г Т(Р-пТ)2- п3е6 = 0. (21)

Физически допустимые возмущения должны исчезать как при Т — оо, так и при пр — 0, приводя к уравнению состояния смеси идеальных газов, что накладывает дополнительные ограничения на обобщенную нормальную форму. В частности, в обобщенной степени 10 возмущение в обобщенной нормальной форме должно иметь вид -np(an + 6np + cT3)(P-nT), (22) где а,Ь,с — постоянные. Действительно, базис пространства резонансных полиномов обобщенной степени 10 может быть выбран состоящим изТ , Тп, гпр, T4nnp, Тп2пр, ТАп1, Тпп\, п2Р, Т прР, ппрР, п2Р, Т7п + 7Т6Р, Тп -Т пР, 4ТПр + ТАп2, Тп3 + ЗТ2Р2. Из них от пр явно зависят только мономы ТАппр, T3npP, Тп2пр, Тпп\, ппрР, nlP, Т7пр, Т\ь\ и двучлены Тп3р-Т3пР, 4Тп3 + Т п2, Tn3+3T2P2. Можно выбрать резонансный набор так, что представители последних двучленов не будут содержать пр, поэтому эти резонансные полиномы также следует исключить. С учетом упомянутого условия при Т — оо, из оставшихся резонансных мономов получаем выражение (22).

Влияние полученных возмущений на давление в плазме по сравнению с невозмущенной моделью плазмы Дебая-Хюккеля показано на рисунках 4-7. Разрешая возмущенное уравнение состояния относительно давления с учетом знака слагаемого Дебая-Хюккеля и разлагая по параметрам а, 6, с, в первом 2-Ю10 1-Ю10 2-Ю10 1-Ю 5-Ю21 1-102: 5-Ю21 1-102: 5-Ю21 1-Ю2 (a) T = 20 000 К (b)T = 23 000K (c)T = 26 000K -a = 0 --aT/e6 = -0.05 --- аТ/е6 = 0.05 Рис. 4: Зависимость Р от щ при 6, с = 2-1010 2-Ю10 1-Ю 5-1021 1 (а) Т = 20 000 К 5-Ю21 (Ь) Т = 23 000 К 5-Ю21 1-Ю2 (с) Т = 26 000 К -6 = 0 --ЪТ/е6 = -0.1 ---6Т/е6 = 0.1 Рис. 5: Зависимость Р от щ при а, с = 0 порядке получим следующие поправки к давлению: РыпТ 3Jl/2nP Є + а г/8тг Полученные поправки допускают прозрачную физическую интерпретацию.

Предположим, что нейтральные атомы плазмы имеют собственный электрический дипольный момент. Тогда благодаря эффекту экранирования Дебая-Хюккеля они приобретают дополнительную энергию в поле, создаваемом окружающими их ионами и электронами, обратно пропорциональную квадрату де-баевского радиуса, т. е. пропорциональную пр/Т, а соответствующая поправка к давлению будет пропорциональна п&пр/Т. Аналогично если ионы плазмы обладают собственным электрическим дипольным моментом, то соответствующая поправка к давлению пропорциональна ni/T. Кроме того, дипольные электрические поля в плазме могут образовывать близкие друг к другу пары

Модель Дебая-Хюккеля водородной плазмы

Как было показано в примере 2, в рассматриваемом случае гамильтонов резонансный набор составляют мономы xp r pqlyq+rpqTn с q т — 2 для произвольно выбранных целых чисел гм, таких, что 0 rpq [р//]. Нужный усеченный на бор получается исключением из него мономов, не ортогональных степеням Н. Из-за громоздкости формул мы приведем не все возможные структуры обобщенных нормальных форм, а лишь те, которые соответствуютrpq = 0. Из теоремы 4 и приведенных вслед за ней рассуждений вытекает, что соответствующая обобщенная нормальная форма имеет вид и для каждых і 0 mod /, і //m, j = 1, m — 2, r 0[m — j/] и s Є N полагаем X( ,m-2) = 0 или y(i-l,m-l) = 0} J -IJ -I) = О ИЛИ уМ"2 = 0, X "1) = О или y(s/-1 -? ) = 0, за исключением случая / = т, в котором при j = m —2 в парах jX(Sm,m-3)5 y(Sm-l,m-2) полагаем (sm,m-3) = Q При m = 2 полученная формула совпадает с нормальной формой второго порядка, полученной А. Байдером и Я. Сандерсом в работе [10]. Отметим, что для случая / = 3,ш = 2 полная классификация обобщенных нормальных форм приведена в [ 18, теорема 4], а для случая / = 4, т = 2 — в [ , теорема 3]. 2.3. Многомерное обобщение нормальной формы Такенса

Для случая п = 1 обобщенная нормальная форма такой системы была впервые получена Такенсом (см. [6, proposition 2.2]). Применим полученные нами выше результаты, чтобы распространить данное утверждение на 2п-мерный случай. Оператор Н принимает вид гамильтонова векторного поля Н = 2 хгд/дуг П1 г=1 так что резонансные полиномы суть его полиномиальные интегралы. В рассматриваемом случае Нь = —yf/2, а соответствующая алгебра із = определяемая равенством (11), состоит из нерезонансных полиномов. Таким образом, линейные пространства 9\ и 9 совпадают вне зависимости от того, считаем ли мы гамильтониан Н однородным или квазиоднородным, и имеют вид К = 91І = ЩЖ,М], где М = {Mij = XiHj — Xjiji : Согласно [39, теорема 9], полиномы вида хаМ/3, не содержащие множителей X{Mjk с і j к и MijMki сі j к /, образуют базис пространства 91. Отсюда следует, что в условиях теоремы 4 резонансные наборы &\ и %\ всегда можно выбрать не зависящими от у\. Аналогично резонансные наборы &І И %І МОЖНО выбрать не зависящими от уг.

Теорема 5 (см. [25, теорема 2]). Система (12) формально эквивалентна системе вида %і У і 1 Уг = fi+УіЯі, где ряды fi,gi не зависят от у І. Доказательство. Пусть &І И %І — произвольные не зависящие от уі резонансные наборы. Согласно теореме 4, система (12) может быть приведена формальным почти тождественным преобразованием к системе с возмущением вида 2 = \ —— + СгЕ {, j-f дхгдуг г 7 где ряды F{, Gi состоят из мономов, принадлежащих %І И &І соответственно. Те же рассуждения, что были приведены выше для двумерного случая, показы вают, что мы всегда можем уничтожить любую из двух ненулевых компонент вектора GiSlyi при помощи слагаемых, не принадлежащих соответственно %І И &і. Таким образом, избавляясь от слагаемых, соответствующих ij, мы прихо дим в точности к утверждению теоремы.

Формулировка теоремы 5 почти дословно повторяет утверждение Такенса. И хотя полученная нами структура возмущения еще не является обобщенной нормальной формой, так как может быть дополнительно упрощена при помощи почти тождественных преобразований, она имеет существенно более простой вид, чем у исходной системы. Например, если fi = —dV{x)/dxi, то ввиду равенства d п 2 п в ряде случаев можно судить об устойчивости положения равновесия в зависимости от вида функций V и д,[. Пример 13. Пусть п = 2. В этом случае резонансные наборы &І И %І определяются условиями теоремы 5 однозначно и состоят из мономов х х Уъ, Pi Я2і Для г = 1 и x x yf, 2 7ъ для і = 2. Соответствующая обобщенная нормальная форма имеет вид = 2/ъ 2/і= У/мАЫ 422/2 2 +Ш Х)У1 (Р1 Р2,1,д5)ж1 1ж2 2 Рі+1 й Рі й = 2/2, 2/2= У2 (РЬР2 91 22/Г+2/2 ЬР2 /1 1) 22/?1 Р2+1 ?1 P2 q\ Отметим, что задача о нахождении так называемой нормальной формы s/(2) системы (12) решается в работе [і Э], но там нормальная форма находится неявно, а в уравнениях на Х{ не уничтожается возмущение. Т. е. обобщенная нормальная форма Такенса несмотря на очевидные достоинства не укладывается в рамки других известных подходов, например Белицкого и s/(2). Этот пример еще раз подтверждает целесообразность введения резонансных наборов.