Введение к работе
Актуальность темы. Одним из основных вопросов теория
обобщенных решении задачи Коши для квазилинейных уравнении
первого порядка - г -'
U(o,x)=u0(x) (2)
является описание классов существования и единственности решении при различных предположениях о начальной функшга 14. (ж) и функциях потока fi("U.) .
Построение нелокальное теории обобщенных решение ( о.р. ) задачи (1),(2) для гладких функции потока было начато в 50-х годах в работах Э.Хопфа, П.Лакса, О.А.ОлеВкик, А.Н.Тихонова, А.А.Самарского, И.М.Гельфанда, О.А.Ладыженской, О.К.Годунова, Б.Л.Рождественского и других.
Обшя теория этой задачи в классе измеримых ограниченных функция ( идейно тесно связанная с теорией распределении ) была построена в конце 60-х годов в работах С.Н.Крухкова Ш,[2]. .
[I] Кружков G.H. Обобщенные решения задачи Коши в целом для нелинейных уравнении первого порядка. - ДАН 0ССР,т.187, . NI( 1969),с.29-32. " ' '''. [2] Кружков G.H. Квазилинейные уравнения первого порядка со многими независимыми переменными.-Мат.сборник,т.81, N2(1970). с.228-255.
-I-
В случае лишь непрерывных функши потока может нарушаться одно кэ характерных свойств гиперболических уравнений - конечность области зависимости решання от начальных данных.Это обстоятельство значительно осложняет нсследованхе задачи.
Иэученне еадачк Кошх (1).(2) при непрерывных функциях \fi(u) было начато в работах [3],[4] .где доказано существование и единственность ( прн выполненЕп некоторых предположении ) о.р. в классе ограниченных суммируемых функций к в классе zCt,*)* L (Пт) , і(і,&) - некоторая фиксированная ограниченная измеримая функция.
Представляет интерес построение теории обобщенных решении задачи Кошв (1),(2) с непрерывными функциями у»(гс) в наиболее широких классах.
При этом. основными являются проблемы существования обобщенного решения, его единственности н устойчивости по отношению к начальным данным и функциям потока.
Исследование этих проблем имеет яе только теоретическое, во и прихладвое значение, так как ледача Кош (1),(2) возникает в ряде физических моделе! (например, в механике сплошных сред ).
[3] Кружков С.Н. .жильдебранд Ф. Задача Коши для хвазилявей-ных уравнений первого порядка в случае,когда область зависимости от начальных данных бесконечна.-Вестник МГУ, NI(I974).c.93-.I00.
[4] Кружков С.й. Андреяиов П.А. К нелокальной теория задачи Коши для квазилинейных уравнений первого порядка в классе локально-суммируемых функций.- ДАН ООСР.т.220, Ю(1975),с.23-аб?'; '
Цель работы. Исследование задачи Кош (1),(2) в классах
t.
локально суммируемых и мероэначных функций.
Метод исследования. В диссертации применяется дальнейшее развитие методов работ [1],[2], связанное с более тонким осуществлением предельных переходов я специальным выбором энтропийных функций.
Научная новизна. Основные результаты диссертация следующие:
Теорема существования обобщенного решения в классе локально, суммируемых функций; теоремы единственности и монотонной зависимости от начальных данных.Пример неединственности.
Принцип максимума для обобщенных решений.
Теоремы разрешимости и регулярности в классе мероэначных функций.
Свойства обобщенных решений при выполнении условия (С).
Необходимое и достаточное условие существования нзэнтро-пического решения,его регулярность и аналитическое представление; изэнтропичность регулярного, непрерывного при t>o решения.
Существование и нерегулярность мёроэначного решения в случае нерегулярной ограниченной мероэначной начальной функции; существование мероэначных решений, сколь угодно близких ( в определенном смысле ) к регулярному.
Принцип максимума для мероэначных решений. Приложения. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут найти применение при исследовании квазилинейных законов сохранения в механике сплошных сред, в теории ударных волн и т.п.
Апробація работы. Результати диссертанта докладывались на семинаре "Дифференциальные уравнения с частными производными" под руководством проф.С.Н.Кружкова, на семинаре "Системы квазилинейных уравнений и их приложения в механике сплошных сред" под руководством проф. С.Н.Кружкова, проф. Б.Л.Рождественского і проф. В.А.Тупчиева, на совместном заседании семинара им'. "И.Г.Петровского и ШО, на заседании 14-и Всесоюзной школы по теории операторов в функциональных пространствах.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора, список которых приведен в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на 12 параграфов.Список литературы содержит 35 наименования.
