Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Спектральная теория несамосопряженных дифференциальных операторов является молодым, но достаточно быстро развивающимся направлением в современной математике. После появления работ таких известных ученых, как В.А. Стеклов, Я. Д. Тамаркин, Б. М. Левитан, активно занимавшихся спектральной теорией самосопряженных дифференциальных операторов еще в первой половине нашего столетия, возник естественный интерес к возможности модификации изложенных идей и методов для несамосопряженного случая. Развитию этого направления также способствовали возникшие прикладные проблемы как. например, отыскание условий устойчивости турбулентной плазмы, расчет ядерных реакторов и многие другие.
Отметим, что одна из сложностей, возникающая при исследовании несамосопряженных дифференциальных операторов состоит в том, что система собственных функций не только не образует базиса, но и не является полной. Поэтому систему собственных функций приходится дополнять так называемыми присоединенными функциями. Объединение системы всех собственных функций с системой присоединенных функций данного оператора принято называть системой корневых функций.-Важнейшим этапом становления спектральной теории несамосопряженных дифференциальных операторов является установление Ы. В. Келдышем факта полноты в ьг специально построенной системы корневых функций для широкого класса краевых задач. Однако работы М.В. Келдыии не дали ответ на весьма актуальный для приложений вопрос о том, образует ли построенная система базис, по которому можно разложить произвольную функцию из некоторого класса.
Конструктивное, легко проверяемое необходш.юе и достаточное условие базисности в lp (при любом фиксированном р>1) системы собственных и присоединенных функций, отвечающей произвольному несамосопряженному обыкновенному дифференциальному оператору любого конечного порядка было установлено В. А. Ильиным.
В основе развитых В.А.Ильиным методов построения спектральной теории несамосопряженных дифференциальных операторов лежит отказ от задания краевых условий и рассмотрение собственных и присоединенных функций дифференциальных операторов в обобщенном смысле - только в качестве регулярных решений соответствующих дифференциальных уравнений со спектральным параметром. Развитые им методы изучения спектральных разложений в биортогональный ряд по произвольной полной и минимальной в lp системе, состоящей из понимаемых в указанном выше обобщенном смысле собственных и присоединенных функций, позволяют охватить случаи совершенно произвольных краевых условий, в том числе нелокальных, зависящих произвольным образом от спектрального параметра или, даже, без краевых условий ( как, например, в случае разложения по системе экспонент).
Результаты данной диссертации тесно связаны с проблемой равномерной равносходимости спектральных разложений с тригонометрическим рядом.
В.А.Ильиным1'были установлены конструктивные необходимые и
1.В. А.Ильин. Равносходимость с тригонометрическим рядом разложений по корневым функциям одномерного оператора Шредингера с комплексным потенциалом из класса ы. Дифференц. Уравнения . 1991. Г. 27. NJ. С. 577-597.
достаточнио условия, при вшолнении которых при любом фиксированном ргі для любой функции f(x) из класса lp[o,i] разложения этой функции в биортогональный ряд по корневым функциям {^k(x)) одномерного оператора Шредингера с комплексным потенциалом из класса Li равномерно на любом компакте основного интервала (0,1) равносходятся с разложением f(х) в тригонометрический ряд Фурье,
т.е. модуль разности
і k = 1 0 стремится к нулю при n-хо равномерно относительно х на произвольном компакте К интервала (0,1). А в другой работе В.А.Ильина25 тот же результат был перенесен на случай покомпонентной равносходимости с тригонометрическим рядом разложений по корневым вектор-функциям оператора Шредингера с неэрмитовим матричным потенциалом все элементы которого только суммируемы. Однако, при использовании рядов Фурье по системам корневых функций дифференциальных операторов наряду с вопросом о равносходимости возникает задача об оценке скорости сходимости этих рядов к рассматриваемой функции. Проблема, поставленная в настоящей работе, была 2. В.А.Ильин. Покомпонентная равносходимость с тригонометрическим рядом разложений по корневым воктор-функциям оператора Шредингера с матричным неэрмитовым потенциалом, все элементы которого только суммируемы. Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, N11. С. 1862-1879. решена В.Л.Ильиным и И. Ио3)для случая разложений абсолютно непрерывной функции по системам собственных функций, отвечающих двум произвольным неотрицательным самосопряженным расширениям двух операторов типа Штурма - Лиувилля с вещественными потенциалами из класса lp при р>і. В данной диссертации этот вопрос изучен для более широкого класса задач, а именно для несамосопряженных операторов с матричными потенциалами. В часности получены оценки длі случая принадлежности потенциала только классу ы. ^стоящая работа является продолжением исследований В.А. Ильина, опубликованных в работах [1,2]. ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Доказательство покомпонентной оценки разности частичных сумм разложений по корневым вектор-функциям, отвечающих двум операторам Шредингера с неэрмитовыми матричными потенциалами, для вектор-функции с монотонными компонентами. НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертации оценки, известные ранее для разложений абсолютно непрерывной функции по системам собственных функций отвечающих двум произвольным неотрицательным самосопряженным расширениям двух операторов типа Штурма - Лиувилля с вещественными потенциалами из класса lp при р>1 получены для более общего случая, а именно для несамосопряженных операторов с матричными потенциалами. '3.В. А.Ильин, И. Ио. Оценка разности частичных сумм разложений, отвечающих двум произвольным неотрицательным самосопряженным расширениям двух опералоров типа Штурма-Лиувилля, для абсолютно непрерывной функции. Дифференц уравнения. 1979. Т.15. N7, С. 1176-1193. ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАІШЯ. Доказательство основных результатов базируется на методе В. А. Ильина исследования дифференциальных операторов с помощью обобщенной трактовки корневых функций. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Результаты данной диссертации могут быть применены в теории приближения функций биортогональными рядами. АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на семинаре кафедры общей математики под руководством В. А. Ильина. А.В. Бицадзе и Е. И. Моисеева. ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты работы опубликованы в статьях [1-3]. СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения и трех глав. Объем работы - 65 машинописных страниц. Список литературы состоит из 31 наименования.
) а ,с sin(|nn|(х-у))
L