Введение к работе
Актуальность темы. Активное изучение локальной управляемости систем - возможности перевести систему в заданное состояние из любого близкого к нему за конечное время - началось в середине прошлого века вслед за возникновением математической теории оптимального управления. К примеру, локальная управляемость в нуле есть необходимое условие существования решения вблизи нуля задачи синтеза оптимального быстродействия в нуль, а более жёсткое требование нормально-локальной управляемости1 в нуле, т.е. существование по любому Т > О окрестности нуля, из каждой точки которой можно попасть в нуль за время, меньшее Г, - необходимое условие корректности2 постановки этой задачи синтеза для автономной системы.
Управляемые системы с конечным набором U значений управляющего параметра, каждому из которых соответствует гладкое ноле допустимых скоростей движения, называют динамическими полисистема-лш3 (или полисистемалш, или, в случае \U\ = к, к-системами). Этот класс систем тесно связан с классом аффинных по управлению систем, имеющим многочисленные приложения.
К первым классическим результатам о локальной управляемости относится теорема Лассаля о локальной управляемости в нуле в М", п > 1, линейной системы х = Ах + Ви с постоянными матрицами А, В и управлением и из множества в линейном пространстве, содержащем нуль внутри себя, при условии, что ранг матрицы (В,АВ,...,Ап~1В) равен п. Калман доказал этот результат для общей дифференцируемой системы х = f(x,u), /(0,0) = 0, при условии, что её линеаризация в нуле удовлетворяет условию Лассаля, и показал, что такая система локально управляема в нуле с помощью непрерывных управлений. В цикле статей Н.Н.Петрова1'4 получен ряд достаточных условий локальной и нормально-локальной управляемости для систем общего вида, уста-
1 Петров Н.Н. О непрерывности обобщенной функции Бсллмапа // Дифф. уранн. 1970. Т. 6, №2. С. 373-374.
2Кириллова Ф.М. О корректности постановки одной задачи оптимального регулирования // Изв. вузов. Матсм. 1958. .V' 4 (5). С. 113-126; Её же. О непрерывной зависимости решении одной задачи оптимального (мч'улиронапии от начальных данных и нараметдмш // УМ1І. 1902. 'Г. 17, № 4 (106). С. 141-140.
3Bnshaw D. Dynamical polysysLcms and optimization // IlIAS Tech. Repori. 1963. P. C3-10.
''Пстінш Н.Н. Об управляемости автономных систем // Дифф. уранн. 1968. Т. 4, №4. С. 000-617; Em же. Локальная управляемость автономных систем // Дифф. уравн. 1968. Т. 4, №7. С. 1218-1232 ; Em же. Решение одной задачи теории управляемости // Дифф. уравн. 1969. Т. 5, №5. С. 962-9G3; Em же. Некоторые вопросы теории управления в плоскости // Дифф. уранн. 1973. Т. 9, №6. С. 1058-1067; Его же. Замечание о плоских аналитических системах управлении // Дифф. уравн. 1979. Т. 15, №4. С. 743-744.
новлена связь нормально-локальной управляемости с непрерывностью и липшицевостью функции Беллмана задачи оптимального быстродействия, а для двумерных аналитических полисистем найдены необходимые и достаточные условия нормально-локальной управляемости и показано, что это свойство может быть установлено по конечному отрезку тейлоровского разложения полей скоростей в изучаемой точке. В работах А.А.Давыдова5 изучены типичные особенности локальной управляемости общих гладких систем и динамических неравенств на поверхностях.
Во всех этих работах, равно как и в недавних статьях В.М.Закалкжина и А.Н.Курбацкого6 о типичных особенностях множества точек с локальной управляемостью для систем в R3, зависимость локальной управляемости от параметра не изучалась, за исключением работ7, в которых анализировалась непрерывность зависимости от параметра нормально-локальной управляемости.
Первые результаты в важной для приложений задаче анализа бифуркаций локальной управляемости семейств систем были получены Л.Азеведо8, которая классифицировала такие бифуркации для типичных однопараметрических семейств 2-систсм на поверхностях. С этой классификацией связаны результаты об инвариантах семейств аффинных по управлению систем относительно гладких замен координат и аффинных замен управления, полученные недавно польскими математиками Б.Якубчиком и В.Респондеком9 и М.Рупниевским10, однако, прямого отношения к локальной управляемости они не имеют.
Используемое в диссертации определение локальной управляемости (коротко - л.у.) отличается от классического тем, что для любой окрестности изучаемого состояния системы мы требуем существование не только перехода в него из любой точки его некоторой окрестности за конечное время без выхода из первой окрестности, но и такого же возвращения обратно. Если это возможно для любого положительного времени за счёт уменьшения второй окрестности, то мы говорим о локальной управля-
5Давыдов А.А. Особенности полей продольных направлений двумерных управляемых систем // Матем. сб. 1988. Т. 136 (178), вып. 4. С. 478-499; Его же. Локальная управляемость типичных динамических неравенств на поверхностях // Труды МИАН. 1995. Т. 209. С. 84-123.
63акалюкип D.M., Ку]>бацкий Л.II. Особенности огибающих <ч;мсйстн ноіісрхи<ит?й в *п*>]>ии управления // Труды МИАН. 2008. Т. 262. С. 73-86] Их же. Выпуклые оболочки кривых и особенности множества транзитивности в R3 // Соврем, проблемы матсм. и мехап. М.: МГУ, 2009. . 7См. сноски 1,2_
8Azevedo L. Transitividade Local de Sistcmas Polidinamicos: MS Thes. Porto, 2006.
9Jakubczyk В., Respondek W. Bifurcations of 1-parameter families of control-affine systems in the plane И SIAM J. Control Optim. 2006. Vol. 44, » 6. P. 2038-2062.
'"Rupniewski M. Local bifurcations of control-affine systems in the plane // Journal of Dynamical and Control Systems. 2007. Vol. 13, № 1. P. 135-159.
емости за малое время. Такое определение представляется разумным для приложений, и наши результаты косвенно устанавливают его эквивалентность классическому для изучаемых в диссертации классов систем, однако, равносильность определений для общих гладких систем не доказана.
Множеством локальной управляемости семейства систем называется объединение всех точек из пространства семейства (произведении фазового пространства систем на пространство параметра семейства), в которых системы семейства локально управляемы.
Цель работы - решение следующих основных задач:
классифицировать типичные случаи локальной управляемости (за малое время) в семействах нолисистем с параметром малой размерности на поверхностях; .
изучить типичные особенности множества локальной управляемости для семейств нолисистем с параметром малой размерности на поверхностях.
Методы исследования. В работе используются методы качественной теории дифференциальных уравнений, теории нормальных форм векторных полей, теории особенностей дифференцируемых отображений.
Научная новизна. В диссертации изучены бифуркации локальной управляемости в типичных семействах полисистем с маломерным параметром на поверхностях. Перечисленные ниже основные научные результаты являются новыми:
классификация типичных случаев локальной управляемости (за малое время) для однопараметрических семейств полисистем и двупара-метрических семейств 2-систсм на плоскости;
классификация типичных случаев локальной управляемости (за малое время) для семейств полисистем на плоскости с параметром конечной размерности вне особых точек полей скоростей системы;
классификация типичных особенностей множества локальной управляемости однопараметрических семейств нолисистем на плоскости, а также двупараметрических семейств 2-систем на плоскости вне общих особых точек полей скоростей системы;
описание структуры множества локальной управляемости типичного двупараметрического семейства 2-систем на плоскости вблизи общей особой точки полей скоростей системы.
Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты носят теоретический характер. Они могут быть использованы при
изучении управляемости конкретных систем, в частности, аффинных по управлению.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференциях: "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной памяти И.Г.Петровского (Москва, 2007); "Дифференциальные уравнения и топология", посвященной 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина (Москва, 2008); "Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам" (Суздаль, 2008); IV межотраслевой научно-технической конференции аспирантов и молодых учёных "Вооружение. Технология. Безопасность. Управление" (Ковров, 2009). Они также обсуждались на научных семинарах профессоров А.А.Давыдова и В.И.Данченко по нелинейному анализу и его приложениям во Владимирском государственном университете и профессора А.П.Солдатова по дифференциальным уравнениям и их приложениям в Белгородском государственном университете.
Публикации автора. Результаты диссертации опубликованы в 6 работах. Статьи [1,4] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных результатов кандидатской диссертации. Из совместной работы [1] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие соискателю.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы из 33 наименований. Объём диссертации составляет 120 страниц машинописного текста.
