Введение к работе
Актуальность темы диссертации определяется, во-первых, той исключительной ролью, которую играют периодические движения в общей теории динамических систем, в частности, при их качественном интегрировании, при решении вопросов об устойчивости движения. Во-вторых, тем интересом, который представляет теория периодических движений для приложений при изучении явлений и процессов, которые моделируются как динамическими системами, обладающими в том или ином смысле свойством консервативности, так и автоколебательными системами, когда незатухающие колебания возникают за счет непериодических источников энергии. И, в-третьих, отсутствием общих регулярных методов исследования периодических движений конкретных динамических систем.
Связь работы с крупными научными программами, темами. Исследования но теме диссертации проводились в соответствии с планом научно-исследовательских работ кафедры дифференциальных уравнений Белорусского государственного университета, который является частью плановых научно-исследовательских работ, выполняемых в рамках программы Академии наук Беларуси "Дифференциал -4" и Белорусской республиканской программы в области математики и математического моделирования (Регистрационный номер 01910054944).
Цель и задачи исследования. Цель работы заключается в развитии методов исследования изохронных динамических систем с одной степенью свободы и в разработке новых подходов изучения периодических движений автоколебательных систем.
Решаемые при этом задачи состоят в изучении качественных и количественных характеристик динамических систем, связанных с параметризацией по времени траекторий и заменами фазовых координат, в изучении свойств дивергенции векторных полей.
Научная новизна полученных результатов. Все результаты в диссертации являются новыми. В работе дано дальнейшее развитие методов исследования изохронных динамических систем, связанное с построением конкретных параметризаций траекторий по времени и нормальных форм дифференциальных уравнений, а также предложены новые подходы к изучению изолированных периодических движений, основанные на введенном автором понятии дивергентной траектории и уточненном понятии регулярности цикла, и что позволило отве-
тить на вопрос об основных качественных и количественных характеристиках двумерных изохронных и автоколебательных систем.
Практическая значимость полученных результатов. Проведенные исследования позволили выявить ряд новых, важных свойств движений динамических систем, имеющих место при математическом моделировании колебательных процессов, изучении их устойчивости, выяснении вопроса о числе и кратности периодических движений. Конструктивный характер большинства доказываемых утверждений позволяет использовать полученные результаты не только в теоретических разработках тех научных центров, где изучаются периодические процессы, но и непосредственно на практике, например, при решении обратных задач динамики.
Результаты диссертации нашли отражение в специальных курсах, которые автор читал в течение ряда лет студентам и аспирантам Белорусского, Самаркандского и Пекинского университетов, а также во второй главе монографии В.В. Амелькина, Н.А. Лукашевича и А.П. Садовского "Нелинейные колебания в системах второго порядка". - Минск, изд-во БТУ, 1982. - 208 с.
Оснозные положения диссертации, выносимые на зашиту. Автором диссертации защищаются следующие основные положения:
основанные на построенных автором нормализующих и изменяющих время обхода по траекториям динамических систем преобразованиях критерии существования нелинейных изохронных колебаний, позволившие выявить новые нелинейные эффекты у монодромных динамических систем (общая, частная и совершенная изохронность затухающих и периодических колебаний; канонический вид изохронных динамических систем);
критерии существования, числа, кратности и устойчивости периодических движений двумерных динамических систем, связанные с обращением критерия Бендиксона-Дюлака об отсутствии у динамических систем замкнутых траекторий и предложенной автором классификацией предельных циклов, основанной на свойствах дивергенции векторного поля и условиях регулярности циклов, и которые позволяют конструктивно решать обратные задачи динамики.
Личный вклад соискателя. В диссертацию включены только те результаты, которые получены лично диссертантом. В частности, из работ /1,2,6,13,14/ (см. список опубликованных автором работ по теме диссертации), написанных в соавторстве, из /1/ диссертанту принадлежат теоремы 1.1, 1.3, 2.1, 2.3 и следствие (теоремы 1.2,
1.4, 2.4, 3.1, 3.2 получены Н-.А. Лукашевичем); из /2/ - теоремы 2, 4, 6, 7, 8 и следствия 1, 2 (теоремы 1, 3 получены Н.А. Лукашевичем); в книге /6/ диссертантом написаны 10 - 16, 21 - 22 и ему принадлежат теоремы 11.1, 11.2, 11.3, 12.1, 13.3, 13.4, 13.8, 13.9, 13.10, 14.1, 14.2, 14.3, 16.2, 16.3 и следствие 13.1 (6, 25, 26 написаны Н.А. Лукашевичем; из 13 теоремы 13.5, 13.6, 13.7 доказаны А.П. Садовским. Им же написаны 1-5,7 -9, 23 - 24); в /14/ диссертантом доказана лемма и следствие на стр. 29 (теорему и следствие на стр. 31 доказал Чинь Зань Данг). Результаты работы /13/ в равной степени принадлежат обоим авторам.
Апробация результатов диссертации. Результаты диссертационной работы докладывались на: Всесоюзных конференциях по качественной теории дифференциальных уравнений (Рязань, 1971; 1Э76; Кишинев, 1979; Иркутск, 1986; Рига, 1989; Самарканд, 1992); 3-ей Всесоюзной Четаевской конференции по устойчивости движения, аналитической механике и управлению движением (Иркутск, 1977); Всекитайской конференцій по теории устойчивости движения и динамическим системам (Гуанчжоу, 1987); семинаре по динамическим системам Пекинского университета (Пекин, 1987; 1988) - рук. проф. Чжан Чжифэн; семинаре по обыкновенным дифференциальным уравнениям им. Ю.С. Богданова (Минск, 1988; 1992) - рук. академик АН Б проф. Н.А. Изобов,.проф. Л.А. Черкас; семинаре кафедры дифференциальных уравнений и математического анализа Нижегородского государственного университета (Нижний Новгород, 1991) - рук. проф. М.В. Долов; семинаре кафедры теоретической механики Московского государственного университета ( Москва, 1991 ) - рук. академик РА Н проф. В.В.Румянцев, проф. Ю.А.Архангельский; семинаре кафедры высшей математики Всероссийского заочного института инженеров железнодорожного транспорта (Москва, 1991) - рук. проф. А.А.Шестаков; семинаре кафедры дифференциальных уравнений Санкт-Петербургского государственного университета (Санкт-Петербург,
-
- рук. член-корр. РА Н проф. В.А.Плисс; семинаре лаборатории моделирования и анажза систем Института математики АН Б (Минск, 1992) - рук. академик АН Б проф. И.В.Гайшун; семинаре по функциональному анализу и дифференциальным уравнениям Белорусского государственного университета (Минск, 1992) - рук. проф. А.В. Антоневич, проф. П.П. Забрейко, проф. Н.А. Лукашевич, проф. Я.В. Радано, проф. Н.И. Юрчук; семинаре кафедры теоретической механики Московского государственного университета (Москва,
-
- рук. проф. В.В. Козлов, проф. СВ. Болотин; семинаре ка-
федры теоретической механики Российского университета дружбы народов (Москва, 1Э93) - рук. проф. А.С. Галиуллин; семинаре кафедры теоретической и прикладной механики Санкт-Петербургского государственного университета (Санкт-Петербург, 1993) - рук. проф. П.Е. Товстик; семинаре Белорусского математического общества (Минск, 1995) -^рук. академик Ш Б проф. И.В. Гайшун.
Опубликованность результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в журнальных статьях /1 - 5, 7 - 14/ и книге /6/, а также в тезисах докладов указанных выше конференций.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, трех глав, разбитых на 14 разделов, выводов, списка использованных источников, содержащего 134 наименования, двух приложений.
Объем диссертации 202 стр. Семь иллюстраций занимают 4 стр., список использованных источников занимает 12 стр., приложения -23 стр.