Полугруппы с особенностями и абстрактные операторы Бесселя в обобщенных пространствах Степанова Писарева Светлана Вячеславовна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Полугруппы с особенностями 15

1.1 Вектор-функции и некоторые их свойства 15

1.2 Оператор-функции и полугруппы 21

1.3 Задача Коши для дифференциальных уравнений первого порядка 32

Глава 2. Обобщенные пространства Степанова и абстрактные операторы Бесселя 38

2.1 Пространства Степанова 38

2.2 Обобщенные пространства Степанова 40

2.3 Эквивалентные нормировки в обобщенных пространствах Степанова 52

2.4 Полунормы Вейля 58

2.5 Пространства S 63

2.6 Об оптимальности пространств Бл в функциональных решетках (структурах) 66

2.7 Абстрактные интегралы дробного порядка Бесселя 68

Глава 3. Приложение к эволюционным уравнениям 75

3.1 Эволюционные уравнения с особенностями на действительной оси 75

3.2 Задача Коши для дифференциального уравнения с особенностью 83

Литература 86

• Задача Коши для дифференциальных уравнений первого порядка
• Эквивалентные нормировки в обобщенных пространствах Степанова
• Об оптимальности пространств Бл в функциональных решетках (структурах)
• Задача Коши для дифференциального уравнения с особенностью

Введение к работе

Пусть F и U - метрические пространства с соответствующими метриками рр и ри- Согласно Адамару [1] задача определения решения и Є U уравнения

Ли = /, (1) где / Є F задано, называется корректно поставленной на пространствах [F, U), если выполняются условия: а) для всякого / F существует и XI - решение уравнения (1); б) решение определяется однозначно; в) задача устойчива на пространствах (F, 7), то есть для любого є > 0 можно указать такое 6 > 0, что из неравенства pf(/u h) < й,следует ри{щ>и₂) < е.

Важно отметить, что устойчивость задачи (1) зависит от выбранных топологий в U и F и, вообще говоря, подходящим выбором топологий можно формально добиться непрерывности оператора Л^-1, существования которого обеспечивают условия а) и б). Так в случае линейного взаимно-однозначного соответствия А и нормированных пространств U и F (см. [21]), устойчивость будет иметь место, если пространство F наделить нормой Wfh = = М\и, и тогда ІІ_Л-і|І _{= гар}Н^ = і. ^{w Wfh}

Однако, обычно топологии навязываются постановкой задачи и не могут выбираться произвольно.

В связи с этим возникает следующая проблема, связанная с выбором топологий в пространствах данных задачи F и решения U:

1. С одной стороны желательно, чтобы эти топологии не зави-сили от оператора А, Например, в случае когда А = А(Х) - оператор, зависящий от некоторого параметра А, важно, чтобы область определения обратного оператора А^-1 (Л) (например, резольвенты Я(А, А) — (А — Л/)^-1) была независящей от Л.

2. С другой стороны, желательно иметь наиболее широкие пространства данных задачи F, при которых решение задачи остается в некотором "достаточно хорошем "пространстве U.

Наиболее часто используемые в прикладных задачах топологии, это топологии нормированных пространств функций f(x),

Ь_р(П) = {/(*) : ||/||_ip = [ / \№Г><Ь]І, р > 1}; C(Q) -пространство непрерывных и ограниченных в Q функций с нормой ||/||_с = sup I/Ml; C^(fi) - пространство непрерывных, вместе со своими прозводньши до порядка I, функций

С«(Я) = {/(*) : f»\x) Є С(П), ІІЛІст, = Ё||/^да|Ы = 1,2,...}; Wp{Q) - пространства С.Л. Соболева

И#П) = {/(*) : /<*>(*) Є _p(fi), Н/Ни, = J2 ll/^Wlk.' = 1. 2. -}

В зависимости от задачи, наряду с этим используются также и весовые пространства L_PtP(Q) = if(x) : p(x)f(x) Є L_P(Q), \\f\[_{Lp = [ f P(x)\f(x)fdx]K P>1] Cp(Q) = {f(x) : p(x)f(x) Є С(П), її/Цс, = sup \p(x)f{x)\.}

Например, рассмотрим задачу Коши для простейшего дифференциального уравнения и(х) = /W, х Є [О, г), f(x) Є С([0, г)) (2) «(0) = 0. (3)

Требуется найти функцию и(х) Є С^([0, г)) - удовлетворяющую (2)-(3). Таким образом, в этом случае F = С([0, г)), U = CW([0,t)). Очевидно, что решение этой задачи единственное и имеет вид «М - / f(s)ds, (4) и если 0 < г < со, то из (2) и (4) следует

Н\и = ||« ||с + ||«||с < (1 + г)||/||с = (1 + r)||/||_F.

Таким образом, задача (2)-(3) корректна по Адамару в пространствах (С, С^), если г < со.

Однако при г = со это не так. Поэтому возникает вопрос о пространствах, в которых задача (2)-(3) корректна. В связи с этим рассматриваются, например, весовые пространства C_P(Q) с весом р{х) - е~^ах, (а > 0).

Для этих пространств имеем \и(х)\< / e^ase~^as\f{s)\ds< sup \e-^asf(s)\ f e^asds = JO s[0,oo) JO _pax _ і „ax _{Me, < —WfWa} a " ~ a " " "

Отсюда получаем оценку

11 < ^ш- ^р а

И, следовательно, для пространств U = {и(х) : и 6 Су,([0, со)), и Є С_р([0,оо))}, F = {f(x) : f(x) Є С_р([0, со))} задача корректна при г = со.

При исследовании корректной разрешимости различных задач для абстрактных иитегро-дифференциальных уравнений приходится изучать возникающие здесь интегральные операторы и вводить соответствующие пространства, в которых эти операторы ограниченно действуют, и являются в некотором смысле "оптимальными "(см. 2.6).

В связи с этим, с целью изучения корректной разрешимости начально-краевых задач для интегрально-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, где ядра соответсвующих интегральных операторов имеют особенность, во второй главе диссертации вводятся и изучаются новые классы пространств векторнозначных функций /(ж) (я; Є R¹) со значениями в банаховом пространстве Е, обобщающие известные S_P}t пространства Степанова [9,22], норма в которых имеет вид s_Ptl = sup t є л¹ "1 ft+l ъ (р> 1,1 >о).

При различных / эти нормы эквивалентны.

Однако желание расширения классов функциональных пространств с нормами, инвариантными относительно сдвига, и рассмотрения в этих пространствах корректной разрешимости соответствующих задач привело к некоторым обобщениям пространств Степанова и их изучению.

Пусть Е- банахово пространство. Через S _1к(Е) (р>1,1 > 0) будем обозначать пространства векторнозначных функций f(x), со значениями в Е при каждом х Є R¹, локально интегрируемых по Бохнеру, и для которых конечны нормы s-t)\\f(sWds о+ — sup

1 ft+l — ^SUP ten¹ I

Ц'еди/(«+*)іі'* jf' k(t -а)||/(*)|РУ. ^M* teR¹ — sup teR¹ I^і JO

Ц*МІІ/(* —W* где k[s) > 0 - некоторая непрерывно дифференцируемая на (0, оо) функция, суммируемая в нуле. Отметим, что случай k(s) ~ 5^а"¹ (О < а. < 1) рассматривался в [16].

В диссертации устанавливаются следующие свойства пространств

Если/: (х) > Она интервале (0,+со),то нормы ||/||^± эквивалентны норме Степанова ||/j|s_Pi,, и, вообще говоря, не эквивалентны ей, если к'(х) < 0.

Если к'(х) < 0 на интервале (0,+оо), то нормы ||/||s± эквивалентны при различных I (поэтому в дальнейшем полагаем / = 1).

3. Если к (х) < 0 на интервале (0,-Ьоо), то нормы Ц/Ц5+ и с- , вообще говоря, не эквивалентны.

4. Если к\(х) и к₂(х) функции, эквивалентные на (0,+оо), тогда нормы Ц/11,5* ^и ||/ 115^і эквивалентны.

Если кі(х),к2(х) суммируемые на (0,1}(1 > 0) функции и для всех х Є (0,1) выполнено неравенство к₂(х) < к_г(х) < 0, тогда справедливо вложение S _к2 С S^_ki.

Если р < г и выполняется неравенство _вд ds = М < оо, то верно вложение S^ С Sp_>k и справедливо неравенство s_tip < Mi-i\\f\\s^

7. Если для пространств <Й &₀1 и S* _{fc z} выполнено равенство

1 в 1-0 - = - + ,

Р Ро Pi то верно мультипликативное неравенство

10 imil-0 где Щ = кІ"тГ"(і), а г = ^+^-

8. Множество ограниченных на Я¹ функций не плотно вложено " ^s%-

Отметим одно важное отличие Sp_k(E) пространств от S_P(E) . Оно заключается в том, что если ввести нормы k(s)\\f{n±s)\\*ds nZ Uo то эти нормы не эквивалентны S^_k{E) нормам.

В пространствах Степанова S*_k можно ввести эквивалентные нормировки,которые наряду с интервалом интегрирования (О, I) позволяют рассматривать и полуось (0,+оо).

Обозначим S' _к (Е) пространства функций определяемых нормами с+ = sup = sup ten¹ Uo p{s-t)k{s-t)\\f{sWds p(s)k{s)\\f(t + s)\\4s p,*,p ІІ/ІІ5Г. =SUP tR^l U-oo p(t-s)k(t-s)\\f{sWds — ^SUP p(s)k(s)\\f(t - sWds гдер > 1; к(х) > 0 является непрерывной монотонно-убывающей на (0,+оо) функцией, суммируемой в нуле; р(х) > 0 является непрерывной монотонно-убывающей и сумируемой на [0,+оо) функцией.

Нормы ||/]І5± и Л/Ц,?* эквивалентны.

В частности, если взять в качестве р(х) — е~^шх, к{х) ~ х^а~¹ мы получаем вес Лаггера, если взять р(х) = е~^шх - вес Эрмита.

Рассмотрим обобщенные пространства Степанова с экспоненциальным весом Bp_afiJ(E) , определяемые нормами я± = sup _1. " Л+ОО e-"'tr-¹\\f(t±s)\Y'ds где р < 1,0 < а < 1, tj > 0.

Нормы ||/||д±_Лій/ и нормы j|/||_s± (k(s) = s^a_1) эквивалентны, следовательно, нормы |[/||д±_йи, соответствующие различным ш, эквивалентны, и в дальнейшем будем считать из = 1.

Частным случаем пространств, рассмотренных в [5], являются пространства B_Pj0l функций, заданных на всей оси Я¹ следующей нормой ' r-too / ⁽ .«/-00 -M|_|a-1

11/11. = ^SUP \\f(t-r)\\4r ІЄН¹

Пространства B_p>a совпадают с пересечением пространств В и В+_а, причем норма ||/||в_Рі„ эквивалентна норме il/llb„ = [||/lk„+ll/lkJ-

Верна следующая теорема, обобщающую теорему 5.3.2 [22]. Теорема. Если последовательности чисел {А^} и {а&} таковы,что _{KI ы}

00 00> > '—^ — а < СО, то суммы _{Sn(s) = ^2} ^акЄ

В_2]а - СХОДЯТСЯ.

В связи с желанием обобщения теории почти - периодических функций Вейля на почти - периодические функции, связанные с нормами Sp_k, можно ввести функционалы <&(/) = Hm sup [-1- f k(s)\\f(t ± _а)\\Чі ^Мсо(ел' l_W) Jo где k_Q{l) = J₀ k(s)ds.

При этом, как и для S_pj - норм (см.[22], стр.221), справедливо утверждение, что если функция f(t) Є Sp_Ik, то предел (12) существует.

Отмечая также, что пространство 0(4¹) непрерывных и ограниченных на Я¹ функций неплотно вложено в пространства S^_k (см. лемму 2.2.8), в диссертации вводятся классы S^_k С S^t_k, для которых S _к - нормы обладают свойством непрерывности, то есть для /(і) Є S±_fc иш||/(* + А) + /(*)||^=0.

В диссертации доказывается, что пространства S^_k являются банаховыми и вложение C(R^l) С Sp_k - плотно.

Другим объектом, который вводится и изучается в диссертации, являются абстрактные интегралы дробного порядка Бесселя.

Исследование многих задач для дифференциальных уравнений вида ^-Mt) = №, (із) где Л - линейный и, вообще говоря, неограниченный в некотором банаховом пространстве Е оператор, приводит к необходимости введения и исследования абстрактных интегралов дробного порядка Бесселя

1 Г⁰⁰ {G%{A)f)(t) = щ]_о U(s)s^a-¹f(t * s)ds, (14) где U(t) полугруппа линейных и ограниченных в Е операторов.

В диссертации исследуется абстрактный интеграл Бесселя (14) в том случае, когда U(t) сильно непрерывная полугруппа при t > О, удовлетворяющая в нуле оценке ||^)|| 0 и ip(t) - непрерывно дифференцируемая при t > О функция.

Как известно ([27], с.254), в скалярном случае интегралы дробного порядка Бесселя при t Є R^l имеют вид (м е-'(* - sr-'f(s)d_s = - -— / e-*s^a-^lf(t - s)ds, (16) ¹ К^а) Jo

1 /* ^{G-^{m) =} f(a)J_t ^е*~'(* ~ *)^a_1/W

1 f ⁼ Гй/₀ ^⁵^^)^ (¹⁷)

Эти операторы определены па функциях из обобщенных пространств Степанова *_fcJ где k(s) ~ 5^а_1,0 < а < 1, и изучались в этих пространствах.

Так как для операторов G% имеют место формулы дифференцирования вида (/±-^)ⁿG± = G-ⁿ, ReX>n, где I - единичный оператор, то операторы G% реализуют отрицательные дробные степени дифференциальных операторов с ± )--.

Операторы бесселевского дробного интегрирования, в отличие, например, от дробных интегралов Римана-Лиувилля, рассматриваемых на действительной оси или полуоси, обладают многими интересными и важными свойствами при решении ряда вопросов, например, при построении Соболевских классов дифференцируемых функций дробной гладкости.

Так в автоматическом регулировании (см. [13], с.56) оператор Бесселя представляет собой так называемое "инерционное звено", когда в моделируемом процессе скорость "выхода"продукта Ш пропорциональна разности "входа" x(t) и "выхода" y(t). В этом случае у (t) = (Gx)(t).

В демографии известно интегральное уравнение воспроизводства населения (см. [25]) u(t) = u{t — x)v(x)tp(x)dx, Jo где функция u(t) означает плотность рождений во время t, v(x) - функция дожития, равная вероятности дожития до возраста х, <р(х) - функция плодовитости, т.е. плотность повозрастного распределения рождений у женщин.

Основным результатом третьей главы диссертации является приложение результатов, полученных во второй главе, к исследованию корректной разрешимости уравнения ^d^L = Au(t) + {{t), (18) где f(t)- векторнозначная функция со значениями в Е при всех t Є R¹, А- линейный оператор с плотной в банаховом пространстве Е областью определения D(A), являющийся производящим оператором сильно непрерывной при t > 0 полугруппы U(t) класса (1, А)_и, удовлетворяющей условию F(*)llWi. »(*), (19) где со > 0, ip(t) - непрерывная при t > О функция такая, что / e~^wtip{t)dt < со, (20)

Решением уравнения (18) будем называть функцию u(t), удовлетворяющую условиям: u(t) Є D(A) при всех і Є R¹; -^-, Au(t) непрерывны в R¹; u(t) удовлетворяет исходному уравнению; u(t) ограничена на R¹. Верна следующая

Теорема. Пусть А ~ производящий оператор полугруппы U(t) класса (1,А)_и, удовлетворяющей условиям (19)-(20), u(t) решение уравнения (18) и f(t) - непрерывная вектор-функция со значениями в D(A) при t Є І2¹, Af(t) непрерывна и f(t) S~_v, тогда справедливо представление u{t) = f U(t~ s)f(s)ds. (21)

Следующая теорема дает условия существования решения уравнения (18).

Теорема. Если А - производящий оператор полугруппы U(t) класса (1,Л)_Ш выполнены условия предыдущей теоремы и f(t) удовлетворяет условию Гельдера ^su?~ \h - ijf < |*і-*а|<1 с некоторым 5 6 (0,1), таким, что J₀ ср(т)т^{5 l}dr —ї 0 при h —> 0, то функция u(t), представимая (21), является решением уравнения (18).

Пусть А - линейный замкнутый оператор с плотной в Е областью определения D(A), имееющий резольвенту, определенную в полуплоскости ReX > —и, где ш > 0, причем справедливо неравенство ||Я(А,Л)||<М(1 + |/тА|)^ при некотором /9 (0,1). В соответствии с [19], при этом условии оператор А является производящим оператором бесконечно диффе- ренцируемой при t > 0 полугруппы U(t), для которой справедлива оценка < Cke-^t¹'^¹. (22) ¹¹ dt^k

В этих условиях, если для уравнения (18) существует ослабленное решение, удовлетворяющее начальному условию u(0) = 0, (23) то оно представимо в виде u(t) = f U{t- s)f{s)ds. Jo

Таким образом, из оценки (22) следует неравенство

Кои < ^/V<*<'-')(* -_e)W||/(_s)||d_S, используя которое, доказываются следующие теоремы.

Теорема. Если /3 > \ и функция k(t) такая, что e~^wf №-!) h^lt) Є іі[о, оо), и / Є Spk(p > 1)) ^т0 решение задачи (18), (23) ограничено при t > 0 и справедлива оценка ||«WIUW)Ap)||/||^.

Теорема. Если -Ф- < ~ и / принадлежит пространству Степанова S_p, то решение задачи (18), (23) принадлежит пространству S*_h и справедливо неравенство \\u\\_s+kSp.

Задача Коши для дифференциальных уравнений первого порядка

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид где /() - заданная функция со значениями в банаховом пространстве Е, х = x(t) искомая функция со значениями в Е, A(t) (при каждом фиксированом t) линейный оператор, действующий в пространстве Е. Определение 1.3.1. Задачей Коши для уравнения (1.3.1) называется задача о нахождении решения уравнения при 0 t со, удовлетворяющую заданному начальному условию Линейное уравнение (1.3.1) называется однородным, если f(t) = 0. Для однородного уравнения с постоянным ограниченным оператором А решение задачи Коши существует, единственно и может быть записано в виде Если вещественные части всех точек спектра оператора А меньше числа т, то (см. [19], стр. 268.) В случае неограниченного оператора А рассматриваются уравнения с оператором имеющим плотную в Е область определения D(A). В этом случае дадим следущие определения: Определение 1.3.2. Решением уравнения (1.3.3) на отрезке [0,Х] называется функция x(t), удовлетворяющая условиям: 1) значения функции x(t) принадлежат области определения D(A) оператора А при всех t Є [0, Г]; 2) в каждой точке t отрезка [0, Т] существует сильная производная x (t) функции x(t); 3) уравнение (1.3.3) удовлетворяется при всех t Є [0,Т].

Под задачей Коши на отрезке [0, Т] понимают задачу о нахождении решения уравнения (1.3.3) удовлетворяющую условию (1.3.2) при XQ Є D(A). Если для линейного уравнения с ограниченным оператором вопросы существования и единственности решения задачи Коши, непрерывной зависимости его от начальных данных всегда решаются положительно и поэтому основное внимание уделяется поведению решений при t Н- оо, то для уравнений с неограниченным оператором перечисленные вопросы становятся центральными. Определение 1.3.3. (см. [19], стр. 274) Говорят, что задача Ко-ши поставлена корректно на отрезке [О,Г], если: 1) при любом #о Є D{A) существует ее единственное решение; 2) это решение непрерывно зависит от начальных данных в том смысле, что из для соответствующих решений xn(t) следует xn(t) —э 0 при каждом [0,Т]. В силу постоянства оператора А из корректности задачи Коши на каком-либо отрезке [0, Т] следует се корректность на всей полуоси [0,оо). Решение корректно поставленной задачи Коши можно записать в виде где U(t)- сильно непрерывная полугруппа ограниченных операторов. Оператор А может быть расширен до производящего оператора U (0) полугруппы U(i). Определение 1.3.4. Корректно поставленная задача Коши называется равномерно корректной, если для ее решений из хп(0) — 0 следует, что xn(t) — 0 равномерно по і на каждом промежутке [О, Г]. Справедлива следующая теорема (см. [19], стр. 278). Теорема 1.3.1. Для того чтобы задача Коши (1.3.3), (1.3.2) была равномерно корректна необходимо и достаточно, чтобы оператор А был производящим оператором CQ- полугруппы.

Для многих приложений приходится расширить понятие решения задачи Коши. Определение 1.3.5. Ослабленным решением уравнения (1.3.3) на отрезке [0,Т] называется функция x(t), непрерывная на [0,Т], сильно непрерывно дифференцируемая и удовлетворяющая уравнению на (0,Т]. Как видно из определения, здесь отказываются от того, чтобы уравнение удовлетворялось при t 0. Определение 1.3.6. Под ослабленной задачей Коти на [0, Г] понимают задачу о нахождении ослабленного решения уравнения (1.3.3), удовлетворяющего начальному условию х(0) = XQ, где элемент XQ может не принадлежать области определения оператора Л. Заметим, что между обычным и ослабленным решениями уравнения (1.3.3) имеется простая связь. Так в случае, когда А замкнут и Ао его регулярная точка, и если x(t) ослабленное решение, то будет обычным решением, имеющим непрерывную первую производную на [0, Т] и непрерывную вторую производную при і 0. Справедливо и обратное утверждение: всякое решение x\(t), непрерывно дифференцируемое на [0, Т] и дважды непрерывно дифференцируемое на (0,Т], по формуле порождает ослабленное решение на [0-,Т]. Пусть М- линейное множество из Е. Определение 1.3.7. Ослабленная задача Коши корректна для множества М на [0, X], если она однозначно па [0, Т] разрешима для XQ Є М и решение непрерывно зависит от начальных данных при каждом t Є [0,Т]. Определение 1.3.8. Ослабленная задача Коши равномерно корректна для множества М на [0, Т], если решение непрерывно зависит от начальных данных равномерно по t Є [0, Т]. Следует отметить, что здесь существенным является указание отрезка [0,Т], на котором ослабленная задача Коши корректна или равномерно корректна, так как она может иметь решения, которые иепродолжимы за этот отрезок.

Эквивалентные нормировки в обобщенных пространствах Степанова

В этом параграфе мы продолжим изучать пространства Степанова Spk с точки зрения их различных эквивалентных нормировок. Оказывается, что с этой целью наряду с интервалом интегрирования (0,1) можно рассматривать и полуось (0,+оо). Обозначим SpkJE) пространства функций, определяемых нормами Пусть С Д1) - пространство равномерно непрерывных и ограниченных на R1 функций f(x). Как известно, это пространство является банаховым с нормой /с(ді) — suPxe/i1 1/( )1- Очевидно, что C(Rl) С Spk(R}). Однако это вложение не плотное (см. лемму 2.2.8). Кроме того, для Spk - норм справедлива следующая Лемма 2.5.1. Если функция k(t) неограничена и суммируема, то норма пространства 5 г к не является непрерывной при действии оператора сдвига /() — f(t + К). Доказательство.

Проведем доказательство для пространства Spik- Тогда рассмотренные в лемме 2.2,1 множества еп представляют собой интервалы {0,tn). Так как tn I 0, то легко видеть, что при п m и tn tm множества dn — { + n, t Є en} и dn + tm = {t + n + tmi t Є en} не пересекаются. Следовательно, так как носитель функции / из доказательства леммы 2.2.8 состоит из объединения множеств dn, п 1,2,..., то легко видеть, что при достаточно большом m и, соответственно, малом tmi (/() — f(t + tm))xdn{t) = /WxdnW =" h/rnXdn- Отсюда следует, что То есть требуемое утверждение нами полностью доказано. В связи с этим введем класс S k(R}) как множество функций / Є Spk(R}), обладающих свойством непрерывности Hm \\f(x + h) - f{x)\\sUm - 0. (2.5.1) Как будет показано ниже, пространства Щ {В}) являются замыканием пространств C(R}) по норме Sp R1). Лемма 2.5.2. Пространства S k(Rl) - полны, то есть являются банаховыми с нормой (2.5.1). Доказательство: Пусть fn(x) Є S R1) фундаментальная последовательность. Тогда, в силу полноты пространства S k (Я1) она сходится по норме этого пространства к некоторой функции f{x) Є S±k(Rl). Покажем, что f{x) Є S R1). То есть для любого є 0, найдется 6 0 такое, что выполняется неравенство как только \h\ 5. Действительно, путь 0 произвольное, тогда существует номер щ такой, что для п щ имеет место неравенство Кроме того, так как fn(x) Є Spk(Rl), то для найдется S 0, что для всех h : \h\ S выполняется неравенство Лемма доказана. Таким образом, S k(R) есть банахово пространство, в котором обобщенная норма Степанова Spk(R}) является непрерывной, то есть /(х + ft) - /Mils (№) - 0

Об оптимальности пространств Бл в функциональных решетках (структурах)

Пусть О - некоторое множество с заданной мерой /л. Обозначим через X векторное пространство, состоящее из всех измеримых по мере {л функций x(t) (t Q). Определение 2.6.1. Банахово пространство F, вложенное в топологическое пространство X, называется функциональным банаховым пространством. В пространстве X естественным образом вводится понятие полуупорядоченности: х у, когда x(t) y(t) почти при всех t Є О. 66 Определение 2.6.2. Банахово пространство F С X, содержащее вместе с каждой функцией x(t) функцию \x(t)\ и для которого из неравенства \х\ \у\ вытекает неравенство \\х\\р \\V\\FI называется функциональной банаховой решеткой (структурой). Легко видеть, что в случае Е = R1 пространства SPfk являются функциональными банаховыми решетками на R1, где X - пространства измеримых в смысле Лебега функций. Пусть К(х) 0 ядро оператора свертки (tf±/)( )= / K{x)f{t±x)dx. (2.6.1) Jo Вопрос заключается в том, чтобы среди функциональных банаховых решеток F на R1 указать максимально широкую, из которой оператор К± действовал бы в пространство ограниченных па R1 функций и выполнялась оценка РіЛІоо = sup \(K±f)(t)\ m\\f\\Ft (2.6.2) (ЄЯ1 где константа тот/ не зависит. Рассмотрим функциональное пространство F%, определенное нормой где f(t) - локально интегрируемая функция со значениями в R1. Очевидно неравенство Теорема 2.6.1.

Пусть F - функциональная банахова решетка функций f(t) на R1 с нормой \\р. Для того, чтобы выполнялось неравенство где т от / не зависит, необходимо и достаточно, чтобы F было вложено в и Доказательство: Достаточность следует из (2.6.4) и (2.6.6). Необходимость. Пусть выполнено (2.6.5), тогда из того, что / Є F, имеем / Є F и, следовательно, \\K±\f\\\o \\f\\F, что совпадает с (2.6.6). Теорема доказана для К+. Аналогично теорема доказывается и для К-. Таким образом пространства Fg являются максимально широкими пространствами, при которых выполняется (2.6.4). Следствие 2,6.1. Если ядро оператора К(х) представимо в виде К(х) = р(х)к(х), где р(х) Є і(0,+со), к (х) 0, то в этом случае, в силу теоремы 2.2.1, пространства F% совпадают с классическими пространствами Степанова S\. Если же к {х) 0, то F являются пространствами Sfk. 2.7 Абстрактные интегралы дробного порядка Бесселя Пусть Е - банахово пространство с нормой \\Е. А - линейный, вообще говоря, неограниченный в Е оператор, являющийся производящим оператором сильно непрерывной при t 0 полугруппы /"(), удовлетворяющей оценке 89 где и 0 и ip(t) - непрерывная при t 0 функция такая, что В работе [33] Э.Хилле и Р.Филлипса такие полугруппы относятся к классу (1, 4). Они рассматривались также в [10], [30]. Многочисленные примеры таких полугрупп рассматриваются в [34, 35], где соответствующие производящие операторы задаются дифференциальными выражениями с нелокальными условиями. К таким полугруппам приводят многие задачи для абстрактных дифференциальных уравнений вида При этом соответствующие решения выражаются через интеграл В скалярном случае, когда U(t) = e_f, эти интегралы носят название дробных интегралов Бесселя и они детально изучались в пространствах І ДД1) в [27, стр.253], а также в пространствах Степанова в [17]. Мы будем изучать операторы (2.7.3) с полугруппами (2.7.1) в обобщенных пространствах Spk векторнозначных функций f(t) со значениями в Е и определяемых нормами (2.2,1) и (2.2.2). Лемма 2.7.1. Операторы G±{A) определены на пространствах Доказательство: Пользуясь оценкой (2.7.1), оценим определены и на пространствах Пользуясь полугрупповым свойством семейства операторов U(t), по аналогии со скалярным случаем легко устанавливаются равенства для степеней операторов 0±(А) С другой стороны, на интервале [о,1]

Для функций F() и G() найдутся такие положительные числа 5i, $2, Gi, 02, что выполняются неравенства 5\ F() 62, &i G() 02- Откуда следует, что для Є [oJ] имеет место оценка jjfK) F(0 G(f). (2.7.14) Но тогда из (2.7.13) и (2.7.14) получаем, что для Є [0,/] имеет место (2.7.12) для Ы = max(e, ф-). Для операторов G%{A) справедлива также следующая Теорема 2,7.3. Если оператор А является производящим оператором полугруппы U(t), удовлетворяющей условию (2.7.1), и функция (p(t) удовлетворяет условию теоремы 2,7.2, то операторы G±(A) образуют сильно непрерывную полугруппу по параметру а 0 в пространствах 5 ,.

Задача Коши для дифференциального уравнения с особенностью

В этом параграфе рассмотрим в банаховом пространстве Е дифференциальное уравнение где А - линейный замкнутый оператор с плотной в Е областью определения D(A), a f(t) - заданная непрерывная функция со значениями в Е. Будем предполагать, что оператор А имеет резольвенту, определенную в полуплоскости ЯеЛ — ш, где ш О, причем справедливо неравенство при некотором /З Є (0,1). В соответствии с [19], при этом условии оператор А является производящим оператором бесконечно дифференцируемой при і 0 полугруппы U(t)} для которой справедлива оценка В этих условиях, если для уравнения (3.2.1) существует ослабленное решение, удовлетворяющее начальному условию то оно представимо в виде Таким образом, из оценки (3.2.2) следует неравенство используя которое, доказываются следующие теоремы. Теорема 3.2.1. Если (3 и функция k(t) такая, что (0-I)P і e-ut . $to=ty . fci-p(i) е Li[o, со), и / Є - 1), то ослабленное решение задачи (3.2.1), (3.2.3) ограничено при t 0 и справедлива оценка Доказательство:

Применяя неравенство Гельдера в (3.2.4), получаем В силу условий теоремы интеграл в правой части последнего неравенства ограничен некоторой константой М(ы, /3, р). Отсюда следует (3.2.5). Теорема 3.2.2. Если - и / принадлежит пространству Степанова 5Р, то решение задачи (3.2.1), (3.2.3) принадлежит пространству Spk и справедливо неравенство Учитывая, что функция &i() = /0 k(r)dr такая, что & i() О, по теореме 2.2.1 заключаем, что /[s+ эквивалентна норме \\f\\s И, следовательно, переходя в последнем неравенстве к супремуму по t Є [0, со), получаем оценку (3.2.0).

Похожие диссертации на Полугруппы с особенностями и абстрактные операторы Бесселя в обобщенных пространствах Степанова

Некоторые классы двумерных интегральных операторов с несколькими фиксированными особенностями и их приложения к эллиптическим системам дифференциальных уравненийОдинабеков Джасур Музофирович

Некоторые классы двумерных интегральных операторов с подвижными и неподвижными особенностями и их приложения к краевым задачам для эллиптических систем с сингулярными коэффициентами Зарифбеков Мародбек Ширинбекович

Полное преобразование Фурье-Бесселя и сингулярные дифференциальные уравнения с DB-оператором БесселяРайхельгауз, Леонид Борисович

Сингулярные краевые задачи для уравнений математической физики с операторами БесселяХе, Кан Чер

Корректность краевых задач для псевдодифференциальных уравнений, порожденных сингулярным оператором БесселяНазарова, Махмуда Хуспуддиновна

Решение задачи Коши и некоторых краевых задач для параболического уравнения с оператором БесселяГарипов Ильнур Бурханович

Решение задачи Коши и некоторых краевых задач для гиперболического уравнения с оператором БесселяГафурова Сириня Мубарякшиновна

Топологические инварианты краевых и обобщенных особенностей нелинейных операторов и их приложенияКунаковская, Ольга Вениаминовна

Обращение интегральных операторов с особенностями или вырождением их ядер или символов на различных множествах в RЧеголин, Андрей Петрович

Формулы регуляризованных слодов некоторого класса дифференциальных операторов с особенностьюРасторгуев, Владимир Анатольевич