Преобразование Лапласа и дифференциальные подстановки нелинейных гиперболических уравнений Кузнецова, Мария Николаевна

Введение к работе

Актуальность темы. На сегодняшний день является открытым вопрос о полной классификации интегрируемых нелинейных гиперболических уравнений вида

и_ху = f(x,y,u,u_x,u_y). (1)

Этой проблеме посвящено множество работ, в которых понятие интегрируемости рассматривается в различных аспектах.

Самой первой решенной классификационной задачей явилась классификация¹ интегрируемых уравнений Клейна-Гордона v_xy = F(v), обладающих высшими симметриями. Симметрии были эффективно использованы в классификационных задачах, касающихся эволюционных уравнений².

Поскольку симметрийный подход оказался трудоемким для описания всех интегрируемых нелинейных гиперболических уравнений общего вида (1), развитие получили другие альтернативные методы классификации. Здесь нельзя не отметить недавно появившуюся работу А.Г. Мешкова, В.В. Соколова³, в которой проведена классификация уравнений вида (1), обладающих симметриями третьего порядка. Авторы использовали оригинальный подход, принимая в качестве определения уравнений типа синус-Гордона наличие симметрии, являющихся интегрируемыми эволюционными уравнениями третьего порядка, полный список которых известен .

Настоящая диссертация посвящена задачам классификации нелинейных гиперболических уравнений вида (1) в рамках концепции дифференциальных подстановок. В отличии от вышеупомянутых работ, такой подход позволяет не только классифицировать уравнения вида (1), но и обеспечивает список преобразований типа преобразований Миуры и Бэклунда,

^^Жибер А.В., Шабат А.Б. Уравнения Клейна - Гордона с нетривиальной группой / / Доклады АН СССР. - 1979. - Т. 247. - № 5. - С. 1103 - 1107

²Дринфельд В.Г., Свинолупов СИ., Соколов В.В. Классификация эволюционных уравнений пятого порядка, обладающих бесконечной серией законов сохранения // Доклады АН УССР. Сер. А., Физ.-мат. и техн. науки. - 1985. - № 10. - С. 8 - 10.

Михайлов А.В., Шабат А.В., Ямилов Р.И. Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем // УМН - 1987. - Т. 42. - № 4. - С. 3 - 53.

Мукминов Ф.Х., Соколов В.В. Интегрируемые эволюционные уравнения со связями. // Мат. сб. -1987. - Т. 133. - № 3. - С. 392 - 414.

Михайлов А.В., Шабат А.В., Соколов В.В. Симметрийный подход к классификации интегрируемых уравнений II Интегрируемость и кинетические уравнения для солитонов. - Киев: Наукова думка. -1990. - С. 213 - 279.

Соколов В.В., Мешков А.Г. Интегрируемые эволюционные уравнения с постоянной сепарантой // УМЖ. - 2012. - Т. 4 - № 3. - С. 104 - 154.

³Meshkov A.G., Sokolov V.V., Hyperbolic equations with third-order symmetries // Theor. Math. Phys.-V. 166. - 2011. - № 1. - P. 43 - 57.

⁴Свинолупов СИ., Соколов В.В. Об эволюционных уравнениях с нетривиальными законами сохранения I/ Функц. анализ и его прил. - 1982. - Т. 16. - № 4. - С. 86 - 87.

задача описания которых сама по себе является одной из важных в теории интегрируемых нелинейных уравнений и довольно сложной.

Дифференциальные подстановки типа преобразования Миуры являются общеизвестными преимущественно в теории интегрируемых эволюционных уравнений⁵. Преобразование Бэклунда⁶ изначально обозначилось как обобщение построенного в результате геометрических рассуждений преобразования Бианки-Ли . Не углубляясь в геометрическую сторону вопроса отметим, что последнее переводит поверхность постоянной отрицательной кривизны в поверхность той же кривизны. В классических работах⁸ преобразования Бэклунда рассматривались для пары дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка и представлялись в виде системы четырех соотношений, связывающих решения указанных уравнений и содержащих независимые переменные, функции и первые производные от функций. Специальный вид четырех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка обуславливается требованием совместности системы. Преобразования Бэклунда, связывающие решения пары уравнений позволяют получать решение одного из них, если решение другого известно. Преобразование Бэклунда, переводящее решение уравнения в решения того же уравнения (автопреобразование Бэклунда) замечательно тем, что позволяет в ряде случаев строить его решения. Так, например, были найдены решения типа солитонов для уравнения синус-Гордона⁹ и_ху = sin и. В работах СВ. Хабирова¹⁰ преобразования Бэклунда

⁵Miura R. М. Korteveg-de Vries Equation and Generalizations. I. A Remarkable Explicit Nonlinear Transformation // Journal of Mathematical Physics. - 1968. - V. 9. - № 8.

Свинолупов СИ. Эволюционные уравнения второго порядка, обладающие симметриями // УМН. -1985. - Т. 40. - № 5. - С. 263 - 264.

Свинолупов СИ., Соколов В.В., Ямилов Р.И. О преобразованиях Бэклунда для интегрируемых эволюционных уравнений I/ Докл. АН СССР. - 1983. - Т. 271. -№ 4. - С. 802 - 805.

Старцев СЯ. О дифференциальных подстановках типа преобразования Миуры // ТМФ. - 1998. -Т. 116 - є 3 - С. 336 - 348.

^eBacklund A.V. От ytor med konstant negativ krokning. - Lunds Universitets Ars-skrift. - 1883. - Bd. 19. ⁷Bianchi L. Ricerche sulle superficie a curvatura costante e sulle elicoidi // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa.

- 1879. - V. 2. - P. 285.

Lie S. Zur Theorie der Flachen konstanter Kriimnung, III, IV. // Arch. Math, og Naturvidenskab. - 1880.

- Bd. 5. - Heft 3. - S. 282 - 306, 328 - 358.

⁸Clairin J.Sur les transformations de Backlund // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 3^є Serie. Supplement 19.

- 1902. P. 1 - 63.

Goursat E. Le problem de Backlund. - Paris: Gauthier-Villars. - 1925.

Forsyth A.R. Theory of differential equations, Vol. VI, Chap. 21 - New York: Dover. - 1959. ⁹Лэм Дж. Л. Введение в теорию солитонов. - М.: Мир. - 1983. Капцов О-В Методы интегрирования уравнений с частными производными. - М.: ФИЗМАТЛИТ.

- 2009.

¹⁰Хабиров СВ. Решения эволюционных уравнений второго порядка, полученные с помощью дифференциальных подстановок // Матем. проблемы гидродинамики. - 1988 - № 85. - С 146 - 161.

Хабиров СВ. Бесконечно параметрические семейства решений нелинейных дифференциальных уравнений /' J Математический сборник. - 1992. - Т. 183. - № 11. - С 45 - 54.

использовались для решения краевых задач и построения точных решений эволюционных уравнений.

Частным случаем преобразования Бэклунда для линейных уравнений является преобразование Лапласа¹¹. G. Darboux¹² применял каскадный метод интегрирования Лапласа для исследования интегрируемости заданного уравнения. В последнее время этой задачей занимались I.M. Anderson, N. Kamran¹³ и А.В. Жибер, В.В. Соколов , С.Я. Старцев ¹⁴. В работах С.Я. Старцева¹⁵ исследованы свойства инвариантов Лапласа нелинейных гиперболических уравнений, допускающих дифференциальные подстановки.

Целью работы является полная классификация нелинейных гиперболических уравнений, связанных дифференциальными подстановками специального вида с уравнением Клейна-Гордона. Описание нелинейных гиперболических уравнений и систем, линеаризации которых связаны преобразованиями Лапласа. Построение преобразований Бэклунда, связывающих решения полученных нелинейных уравнений и систем.

Методы исследования. В диссертации применяются классические методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, теории интегрируемых нелинейных дифференциальных уравнений гиперболического типа. Для построения преобразований Бэклунда нелинейных гиперболических уравнений используются преобразования Лапласа линеаризованных уравнений. Описание алгебры Ли-Бэклунда высших симметрии модифицированного уравнения синус-Гордона проводится при помощи дифференциальной подстановки, связывающей последнее с уравнением синус-Гордона.

Научная новизна. Представленные в диссертации результаты являются новыми и состоят в следующем:

1. Проведена полная классификация нелинейных гиперболических урав-

ⁿGoursat E.Lepon sur I'integration des equations aux derivees partielles du second ordre a deux variables independantes. Paris: Hermann - (1896, 1898). - Vols. I. II.

¹²Darboux G.Sur les equations aux derivees partielles du second ordre // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. -1870. - V. 7. - P. 163 - 173.

¹³Anderson I.M., Kamran N. The variational bicomplex for second order scalar partial differential equations in the plane I/ Preprint. Montreal: Centre de Recherches Mathematiques, Universite de Montreal. - 1994.

Anderson I.M., Kamran N. 7%e variational bicomplex for hiperbolic second-order scalar partial differential equations in the plane // Duke Math. J. 1997. - V. 87. - № 2. - P. 265 - 319.

¹⁴Жибер А.В., Соколов В.В., Старцев С.Я. О нелинейных гиперболических уравнениях, интегрируемых по Дарбу If Докл. РАН. - 1995. - Т. 343. - № 6. - С. 746 - 748.

Жибер А.В., Соколов В.В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа II УМН. - 2001. - Т. 56. - № 1. - С. 63 - 106.

¹⁵Старцев С.Я. Об инвариантах Лапласа гиперболических уравнений, линеаризуемых дифференциальной подстановкой // ТМФ. - 1999. - Т. 120. - № 2. - С. 237 - 247.

Старцев С.Я. О гиперболических уравнениях, допускающих дифференциальные подстановки // ТМФ. - 2001. - Т. 127. - № 1. - С. 63 - 74.

нений, линеаризации которых связаны преобразованиями Лапласа. Построены преобразования Бэклунда, связывающие решения полученных нелинейных уравнений.

1. Доказан критерий периодичности цепочки преобразований Лапласа линейного уравнения. Приведены частные случаи полученного условия в виде систем нелинейных уравнений. Показано, что редукции частных случаев полученных систем приводят к известным уравнениям, интегрируемым методом обратной задачи рассеяния.

2. Описаны двухкомпонентные гиперболические системы нелинейных уравнений с нулевыми главными инвариантами Лапласа. Доказано, что полученные системы обладают полным набором х и у-интегралов.

3. Найден полный список n-компонентных гиперболических систем нелинейных уравнений специального вида, линеаризации которых связаны преобразованиями Лапласа первого порядка. Для указанных систем построены преобразования Бэклунда.

4. Проведена полная классификация нелинейных гиперболических уравнений, связанных дифференциальными подстановками с уравнением Клейна-Гордона. Описана алгебра Ли-Бэклунда высших симметрии модифицированного уравнения синус-Гордон а.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Методы и результаты работы могут иметь применения в исследовании нелинейных уравнений и систем гиперболического типа.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах:

1. Всероссийская школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании" (Уфа, 2007 г.);

2. VIII Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии (Уфа, 2008 г.);

3. Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании" (Уфа, 2009, 2010, 2011, 2012 гг.);

3. Международная конференция MOGRAN-13 "Симметрии и точные решения дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений" (Уфа, 2009 г.);

4. Всероссийская научная конференция с международным участием "Дифференциальные уравнения и и их приложения" (Стерлитамак, 2011

г.);

5. Уфимская международная конференция "Комплексный анализ и
дифференциальные уравнения", посвященная 70-летию чл.-корр. РАН В.В.
Напалкова (Уфа, 2011 г.);

6. VI Международная конференция "Солитоны, коллапсы и турбулентность": достижения, тенденции и перспективы - SCT-2012 (Новосибирск, 2012 г.);

7. VI Всероссийская конференция "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященная памяти академика А.Ф. Сидорова (Абрау-Дюрсо, 2012 г.);

8. научный семинар кафедры дифференциальных уравнений Башкирского государственного университета под руководством профессоров А.В. Жибера и И.Т. Хабибуллина (Уфа, 2011, 2012 гг.);

9. научный семинар по дифференциальным уравнениям математической физики Института математики с ВЦ УНЦ РАН под руководством профессоров Л.А. Калякина и В.Ю. Новокшенова (Уфа, 2012 г.).

Публикации. По теме диссертации имеется 18 публикаций, из них статьи [1], [2], [3] в журналах из списка ВАК.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 62 наименования. Объем диссертации составляет 170 страниц.

Похожие диссертации на Преобразование Лапласа и дифференциальные подстановки нелинейных гиперболических уравнений

Методы преобразований уравнений типа Гаусса и Штурма-ЛиувилляКормилицына, Татьяна Владимировна

Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений : Методы и приложенияБеркович Лев Мейлихович

О свойствах операторов преобразования для многомерного уравнения ШредингераКалитов, Марлен Калибаевич

Исследование стойкости решений систем линейных дифференциальных и разных уравнения со случайными коэффициентами и случайными преобразованиямиСафуан, Зезун Мустафа

Группы преобразования Ляпунова и устойчивость решений нелинейных дифференциальных уравненийЯкупов, Зуфар Ясавеевич

Полное преобразование Фурье-Бесселя и сингулярные дифференциальные уравнения с DB-оператором БесселяРайхельгауз, Леонид Борисович

Многомерные интегральные преобразования в теориях алгебраических уравнений и аналитического продолженияАнтипова Ирина Августовна

Преобразование Дарбу функции Грина уравнения Дирака и одномерные точно решаемые релятивистские моделиПоздеева Екатерина Олеговна

О рациональности z-преобразования решений многомерных разностных уравнений и их асимптотикеЛяпин Александр Петрович

Преобразование Дарбу одномерного стационарного уравнения Дирака Печерицын Алексей Анатольевич