Приближенно-автомодельные и асимптотические методы изучения задачи Коши и краевых задач для квазилинейных параболических уравнений Арипов, Мерсаид

Введение к работе

. Актуальность проблемы. Диссертационная работа посвящена исследованию задачи Коии и краевых задач для нелинейных уравнении, возникающих в приложениях. Но лине иные задачи всегда привлекали внимание исследователей. Это объясняется тем, что они более точно описывают реальную картину Физического процесса. С другой стороны, решение нелинейных задач всегда сопровождено со значительными математическими трудностями из-за отсутствия стандартных подходов к их исследованию. Как доказано в работах А.А. Самарского, СП. Курдюмова, А.П. Михайлова, В.А. Галактионоза, Г.И. Баренблатта, АС. Калашникова и многих других ученых, одним из эффективных методов исследования квазилинейных уравнения параболического типа является автомодельный и приближенно автомодельный подход и аппарат сравнения решения. Исследование различных свойств автомодельных уравнения, более простых по сравнению с много-Мерными уравнениями в частных производных, является относительно легкол-задачей и поэтому уравнения такого рода поддаются более детальному анализу. Благодаря теоремам сравнения решения и другим аппаратам, разработанным в последние годы., автомодельные решения из разряда частных превраиаится в разряд решения уравнения с достаточно широким классом данных.

Основу математических моделея, исследовайных в последние годы нелинейных процессов теплопроводности, диффузии. Фильтрации как в однородных, так и в неоднородных средах, составляют квазилинейные вырождающиеся уравнения вида

*» _{г ь} п-1

- = v|p |7Уі^ь

с начальным условием

= v[p |7Уі^ь| <7u^kl + * r(t,K) u^P t>0, xeR" <ї>

^uU=o^{= u}o - * *^{6rN <2>}

и краевые задачи для U>. Здесь v<.)-era. k,n
параметры, характеризующие нелинейность, а PCti х) і о -
неоднородность среды и член « yиг соотвествует

наличию источника поглощения («-!> с мошностью равной rfx> и" Исследованию различных своясть задачи Коши и краевых задач для уравнения <»> посвящено значительное

количество работ. Суиественные результаты по исследованию различный аспектов задачи Коши » <2) и краевых задач в случае p(tix>=i, j-(t,x)=i, n»l или ^=1 были получены в работах А.А. Самарского, СП. Курдюмова, В.А. Галактионова, Л.П. Нихаплова, Г.Г. Еленина, СИ. Посашкова» А.С. Калашникова» Л.К. Иартинсона, М-С. Граника, СИ. Голапдо, .К.Б. Павлова» Пи*. Баренблатта, Ж.Л. Лионса, СИ. Похожаева и др. Задача ІСоши и краевые, задачи для общих квазилинейных вырождающихся уравнения параболического типа в многомерном случае изучались в работах Олепник О.А., Дубинского D.A., Кружкова СН.»_ Вольпэрта А.И., Худяева СИ., Кершнара Р.0.1 Фридмана А/ Ладыженской О.А, Уральцевои Н.Н., Солонникова В.И. и др.

Благодаря работам вышеупомянутых и других авторов путем построения частных.автомодельных решения выявлены необычайно интересные и новые свойства математических моделей, описываемых как частными случаями <1>, так и их обобщениями: конечная скорость распространения возмущения <Д.Б. Зельдович, А.С. Компанеец, ПИ. Баренблатт, 1Ш. Вишик, E.R. Pattlst О.А. Олеяник А.С Калашников, Чжоп-вя-линь, ЛХ Мартинсон"», локализация ограниченных и неограниченных решения, OIK. Мартинсон, К.Б. Павлов, А.А. Самарский, И.М. Соболь, ВА. Галактионов, СП. Курдюмов, А.П. Михаилов, С.К. Антониев) остывание температуры за конечное время, (А.С. Калашников, В.А. Галактионов, .СП. Курдюмов, А.П. Михаилов, А.А. Самар-ския и другие).

До настоящего времени нет законченноя теории математических моделей, описываемых уравнениями виал(^) даже для . случая (»*0| к"!), хотя, в последние годы, в этом направ» лении достигнуты значительные результаты <см. обзор АС. Калашникова УМН, 1987, N 2, кни у ВА. Галактионов, СП. Курдюмов, А.П.' Михайлов, А.А. Самарский Тежимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнения" - М.: Наука. - 1987>.

С другой стороны, выяснилось, что различные автомодельные и приближенные автомодельные решения -частного случая уравнения СО тесно связаны с исследованием решений уравнения вида

у" a g(x> у-ку а О, с=±1 <3>

в разработке асимптотической теории которого значительный вклад внесли Кигурадзе И.Т., Костин А.В., Клоков D.A., Михаилов АП., Адьютов Н.М., Евтухов С.С., Чантурия Т.Д. и другие ученые.

Важной задачей является зыяснение глобальной разрешимости и неразрешимости в целом задачи Коши и краевых задач для квазилинейных уравнений, вопроси регулярности, асимптотики- решения и Фронтов при больших значениях времени. Этим и другим вопросам, касающихся свопств обобщенных решения квазилинейных уравнений, посвяшено большое количество работ (Самарский АА-, Галактионов D.A.,. ІСурдюмов СП; Лионе К.Л.,

. Керпжер Р., Калашников А.С., Нзртинсон Л.К. и др->

С шчислитодьноп точки зронил язляетсл вагиым получить оценку решенич и Фронтов, из зная точного решения исходной задачи.

Диссертационная работа выполнена согласно плана НИР Ташкентского государственного университета "Разработка вычислительных алгоритмов и асимптотических методов решения прикладных задач и их реализация на SBM", государственная регистрация м 01070005124; плана ГКНТ республики Узбекистан, задание . 2.І.І ".Математическое моделирование, алгоритмизация и вычислительный эксперимент". '

Цель работы.!- Обоснование 'вариантов метода эталонных уравнений для установления асимптотики решений обыкновенные дифференциальных уравнений второго . порядка типа Эмдена-Фаулера, тесно связанных с квазилинейными параболическими уравнениями.

2. Выявление новых эффектов, связанных с нелинейным параболическим уравнением, описывавшим процессе в движущихся и неподвижных средах.

1. Установление асимптотики автомодельных решений уравнения вблизи Фронтов.

2. Обоснование алгоритма нелинейного расщепления для квазилинейных уравнения параболического типа, и на его основе доказать глобальную разрешимость и неразрешимость г адачи Коши

3. Выявление критических случаев для различных значений

і :6-параметров, входящих в уравнение <1>.

6. Оценка обобщенных решения задачи Коши сверху и снизу ч получение оценки для Фронтов в зависимости от значений параметров среды и размерности пространства.

7. Распространение метода эталонных уравнения для уравнения в частных производных и получения оценки решения задачи Ко^ти.

8. Выявление границы смачивания фронтов в задаче
влагопереноса.

9. Численная реализация, задачи нелинейной теплопровод- _.
ности с условием излучения. '/-----'—

10. Решение нелинейной системы уравнения, вознйкаюаеп при исследовании нелинейной задачи теплопроводности.

11. Обоснование приближенного автомодельного подхода и на его основе решения краевых задач для квазилинейного уравнения параболического типа.

Общие методы исследования. В работе используются: методы сравнения решении, основанные на автомодельном и приближенно автокоде льном подходах, качествэнноя теории дифференциальных ураьнения; методы эталонных уравнения, основанные на различных преобразованиях, асимптотические методы, раэзитые в работах И.Т. Кигурадзэ, А.В. Костина,"ВЫ. Евтухова и др.

Научная новизна работы. Для нелинейного обыкновенного уравнения типа Змдона-Фаулера второго и третьего порядка разработана асикптсическая теория, основані.дя. на методе эталонных уравнения, ранее известная. лишь для линейных уравнений. Получены необходимые и достаточные условия, существования ВКБ-репения. Предложен алгоритм нелинейного расцепления, с помощь» которого установлена автомоде льность для вырождакщегося. квазилинейного уравнения параболического, гиперболического типов, а также для полулинейного уравнения эллиптического типа <. ы < u^ft ). На .основе этого алгоритма предложен способ построения верхних и нижних решения, фронтов для квазилинейных уравнения параболического типа, описивашия процессы нелинейной теплопроводности, диффузии, фильтрации при наличии источника или стока. Этот же алгоритм применен для построения верхних и нижних решения задачи Коши в самом сложном-критическом случае. На его основе

установлена асимптотика автомодельных решения вблизи Фронта. Предложен приближенно автомодельнип подход, на осново которого получена опенка решения и Фронтов, установлена глобальная разрешимость задачи Коии, из котороп, в частности, вытекают известные результаты других г_:;торов.

Найдены новые тбчнио решения уравнения О).

Предложен способ "полулииеаризации" и на его основе построены верхние и нижние решения задачи Коти-

Разработан и обоснован иетод эталонных уравнения для вырождающегося квазилинейного уравнения параболического типа, в том числе для уравнения с младшими нелинейными членами. Найдено преобразование пространственноп переменной, которое дает возможность исследовать, свойства автомодельных радиалыга-симметричных решений. Предложено сведение радиально-симметричных урапнэнип к плоскому случаю, что позволяет зна-ительно расаирить круг решаемых краевых задач и перенести многие известные результаты на решения более сложных уравнения. Установлено возникновение фронта смачивания в нелинейных задачах влагопераноса. Определены размеры области смачивания и получена асимптотика автомодельных решения уравнения влагопереноса. Численно решена и установлено существование . фронтов для одной нелинейной задачи теплопроводности с излучением, возникшей в приложениях, в котором теплоемкость и коэффициент теплопроводности определяются из решения некоторой нелинейной системы уравнения специального вида. Предложен способ обращения матрицы Якоби для этоя нелинейной системы, связанной с решением указанной задачи, теплопроводности, описываемой квазилинейным уравнением параболического типа.

Методом интегральных соотношений определены поведение ' Фронта, условия локализации решений и выход на стационарное решение.

I. Рассмотренные и исследованные в работе нелинейные

дифференциальные уравнения лежат в основе математических

моделей нелинейных процессов теплопроводности, фильтрации

газа и жидкостей, диффузии, биофизики, экологии и многих

других областей знания.

2. Выявленные в работе новые эффекты остывания температуры за конечное время, существование заднего Фронта, локализация решений и др. дают возможность проследить за эволюцией процессов, распространения тепла, фильтрации, диффузии, влажности и др. в различных нелинейных средах.

3. Часть результатов исследовании, приведенных в диссертации, использована в течении ряда лет при чтении спецкурсов, выполнении курсовых и дипломных работ в Таикентскйи государственном университете, . легли в гснову_ эаиииенных кандидатских диссертация, руководимых-диссертантом, оформлену в виде отчетов по НИР и переданы для внедрения..

4. Практическая ценность работы состоит также в развитии
теоретических основ математического моделирования нелинейных
процессов, описываемых квазилинейными уравнениями
параболического и эллиптического- типов и обыкновенными

, нелинейными дифференциальными уравнениями. Найденные в работе точные, приближенные, верхние и нижние parзния могут бить, использованы как тестовые при численном моделировании сложных нелинейный процессов влагопереноса. Теплопроводности, диффузии, теории адиабатического сверхсжатия газа и др.

5. Разработан комплекс программ для решения прикладных
задач.

Аппробацйя работ». Отдельные результаты дпкладывались на Всесоюзном семинаре по комплексам . программ математической физики (Новосибирск, І9Є4 г.), международных конференциях по дифференциальным уравнениям и ил приложениям (Русе, Болгария, . 19в4 г., 1»63 г.> , <Вратислаэа, Словакия, 19Э4 г.>; на вколе -семинаре ..'» софіаіистичзскиж стрем "Вычисли——тельная ги>ротдромвхакйка*<ЕсС!гза-'^,&ааркаїш. *«S3 г.>; на Всесоюзной

. съезде поі творвтмчэсхоя и прикладной ивканике (Ташкент, 199& г.) і , рес:;убяик»ншзя конференции' ;: Методологические и Прикладные -.ас^ктд автойд^тшірдванного проектирования"

, (Ташкент» 1вв?« г.); на сеиикарэ профессора Свешникова AJV (Москва, iw^t )» ёкадзкика РАН ИЛ Бакшлова (Москва, 1*в4 г.>; на международной конференции "Актуальные проблемы фундаментальных, наук" (Москва, 1591 г.); на* всесоюзной

фундаментальних наук" (Москва, J99I г.); на всосоюэноп конференции "Актуальные вопроси комплексного анализа" (Ташкент, 1989 г.); республиканской конференции по современным проблемам алгоритмизации (Ташкент, Г99І г.); на семинаре по налинепним задачам Уханског~ университета (КНР, 1990 г.); в университете г. Нилуоки, ктата Висконсин (США.

1992 г.); на научных семинарах университетов Дрездена.
Берлина. Лейпцига (1976 г.); на семинаре академиков АН РУз
Салахитдииова И.С., Джураева ТД., (Ташкент, 1935 г.); на
ежегодных конференциях профессорско-преподавательских
составов ТавГУ

Диссертационная работа целиком обсуадена на кафедре "ЗБМ и программирования" (1993 г.); на наочних семинарах _ член-корреспондента АН РУз Алимова Q.A. (ТапГУ, 1993>, академиков АН РУз Салаштдиисва М.С., Джураева T.ft -(ИМ . АН РУз,

1993 г.), академика АН РУз (Сабулева O.K. (НПО "Кибернетика",
1993 г.); на совместном расширенном засодаши кафедр "Вычис
лительная математика", "Математическое моделирование",
"Теория управления" СІ994 г.>.'

Публикации Основные результаты' диссертации опубликована в монографии CU и в работая С2-24].

Структура и обазм работы .Диссертационная работа состоит' из введения и четырех глав, списка использованной литературы. Объем работы поставляет 249 страниц мааинописного текста. Список литератур» рключает 160 наименовании.

Похожие диссертации на Приближенно-автомодельные и асимптотические методы изучения задачи Коши и краевых задач для квазилинейных параболических уравнений

Асимптотическое поведение решения задачи Коши для уравнения теплопроводности в пространствах постоянной отрицательной кривизны Погорелов Юрий Владимирович

Осилляционные интегралы и их приложения к решению задачи Коши для уравнений типа ШредингераКуркиев, Ахмет Бесланович

Задача Коши для уравнений соболевского типа на римановых многообразияхШафранов Дмитрий Евгеньевич

Об оценках решений задачи Коши для уравнений типа Шредингера в пространствах Lp и BpqШлекис, Пятрас Пятрович

Задача Коши для вырождающегося уравнения гиперболического типа в гильбертовом пространстве Семенов Сергей Митрофанович

Задача Коши для параболических уравнений с некоторыми вырождениями в пространствах обобщенных функцийЖитарюк, Иван Васильевич

Задача Коши для системы уравнений, описывающих движение суспензии в жидкостиАнощенко, Ольга Алексеевна

Задача Коши для эллиптических уравнений, порождаемых оператором Лапласа в комплексном пространствеШалагинов Сергей Дмитриевич

Теоремы единственности решения задачи Коши для эволюционных уравнений и систем с растущими коэффициентамиТуртин, Дмитрий Витальевич

Задача Коши для параболических псевдодифференциальных уравнений с начальными условиями в пространствах обощенных функций типа распределенийЛитовченко, Владислав Антонович