Введение к работе
Актуальность темы. Обыкновенные дифференциальные уравно-ния и системы о сингулярными коэффициентами, внрождаотиеся дифференциальные уравнения являются одним из важных разделов теории дифференциальных уравнений. К рассмотрению таютх уравнений приводят многие задачи из уравнений математической физики, гидродинамики, трехмерные осесимметричесяие задачи т ории упругости.
Фундаментальные результаты по теории линпйных сингуляр
ных дифференциальных уравнений и уравнений, вырождапцихся в
некоторых множествах, получены в работах М.В.Келдаша, А.В.Еи-
цадзе, М.М.Смирнова, И.Л.Кароль, В.Ф.Волкодавова, С.П.Пульки-
на, A.M.Нахушева, А.И.Янушаускаса, Л.Г.Михайлова, А.Л.Джурао-
ва, Н.Раджабова, З.Д.Зсманова, М.М.Мередова, А.В. vteinatein,
К.Р.Gilbert, R.W.Carrol, R.E.Showalter , Т.Д.Джураова,
М.С.Салахитдинова и других авторов.
По теории зырождагаихся уравнений, глперболичеокнх уравнений с сингулярными коэффициентами фундаментальные результаты получены в работах А.В.Бицадзе, М.Ы.Смирнова, я.я.Carrol, H.S.Showalter , А.М.ІІахушева, В.Ф.Волкодавова, Н.А.Вирченко, Н.Раджабова, М.М.Мередова и других авторов.
Что касается теории нелинейных уравнений с сингулярными коэффициентами, то здесь имеется незначительное количество работ.
Цель работы. Получение интегральных представленні многообразий решений через произвольные фуккцли для некоторых классов нелинейных гиперболических уравнений с сингулярными, СЕерхсин-гулярнымк коэффициентами и исследование различных краевых задач.
Методика исследования. Использованы обшив методы теории дифференциальных уравнений, математического анализа, метод интегральных представлений, метод интегральных уравнений.
Научная новизна. Все полученные в диссертации результаты являются новыми. Основные из яих следу щиэ:
- для линейного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка со свеохсхнгулярной точкой получено млогообра-
зие решений, содержащее одну произвольную постоянную; изучено поведение решения в окрестности особой точки;
для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка со сверхсингулярно8 точкой получены многообразия решений через вещественные числа, в зависимости от корней характеристического уравнения; изучено поведение репенкя в окрестности особой точки;
в зависимости от корней характеристических уравнений найдены интегральные представления многообразий решений через произвольные функции для некоторых классов нелинейных гиперболических уравнений второго порядка с двумя граничными сингулярными, сверхсингулярными линиями; изучено поведение решения в окрестности сингулярных линий;
полученные интегральные представления применены для выяснения корректных постановок задач типа Дарбу и ах решения.
Теоретическая и практическая ценность рабо-гн. Исследования, содержащиеся в диссертации, носят теоретический характер. Полученные результаты могут быть предложены дія дальнейшего развития теории нелинейных дифференциальных уравнений с сингуляр--ными, сверхсингулярннми коэффициентами, а также в различных прикладных вопросах.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на Всесоюзных конференциях: "По теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений" (Душанбе, 28-ЗС сентября,1987); "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики - Вторые Бсголюбовские чтения" (Киев, 14-18 сентября, 1992); Республиканской научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Куляб, 3-5 октября, 1991), Республиканской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов (Ленинабад, 12-15 апреля, І99С), на апрельских научно-теоретпеских конференциях профессорско-преподавательского состава ТЛУ, семинаре кафедры математического анализа и теории функций "Комплексный анализ и его приложения" (руководитель - профессор Н.Раджабов).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, состояли из пяти параграфов и списка лите-