Введение к работе
Актуальность темы. Начиная с основополагающих работ Л.Н.Тихонова, сингулярно возмущенные задачи (СВЗ) привлекают внимание многих математиков, что объясняется их большой прикладной значимостью. Они выступают в качестве математических моделей при исследовании разнообразных процессов в физике, химии, биологии, технике (в теории ускорителей, теории автоматического регулирования, теории нелинейных колебаний, теории гироскопов, а также в квантовой хромодинамике, релятивистской квантовой механике, газодинамике и т.д.). Другими словами, сингулярные задачи возникают там, где имеются неравномерные переходы. Именно поэтому численно-апалитические методы решения сингулярно возмущенных задач имеют большое значение как для развития фундаментальных исследований, так и для решения конкретных практических задач.
Первые попытки численного решения таких задач встретили серьезные трудности, тале как в пограничном слое (зоне, где решение исходной возмущенной системы значительно отличается при сколь угодно малых є от решения вырожденной системы) многие стандартные численные методы не работают. В связи с этим возникает необходимость разработки специальных методов исследования таких задач.
Асимптотическим методам изучения СВЗ посвящены работы А.Н.Тихонова, М.И.Вишика, Л.А.Люстерншса, А.Б.Васильевой, В.Ф.Вутузова, М.Г.Дмитриева, Л.В.Калачева, С.А.Ломова, В.Г.Сушко, Р.З. Казминского н Г. Яна, В. Барсилона, А.Н. Чепурко и др.
На основе информации о качественных особенностях решения, которые дают асимптотические методы, разрабатываются специальные численные методы. Этой тематике посвящены работы Н.С. Бахвалова, A.M. Ильина, Г.И. Шишкина, Дж. Миллера, Э.Дулана, У. Шилдерса,
П.В. Хемкера, П. А. Фаррелла, М. Стайнса, Е.О'Риордапа, И.П. Бог-лаева, А.М.Дегтярева, М.Стояповича, Д..Адама, А.Фелгенхауэра, X.-Г. Руса, Г. Сапа, Р.Сшосо, С.Адьерида, М.Эйфа, Дж. Флаэрти, В.В.Стрыгина, В.В.Дроздова, Т.С.Ивановой, К.В.Емельянова, Р. Ву-ляновнча, И.А.Блатова и др.
Наиболее активно разрабатываются разностпые методы и проекци-онно-сеточные методы галеркинского типа, имеющие в основном сходимость 1-го и 2-го порядка. При этом оценки точности в большинстве работ получены в сеточных нормах.
В последние годы появилась серия работ В.В. Андреева, Н.В. Колте-вой, И.А. Савина, Г. Сана, М. Стайнса, В.Л. Макарова, В.В. Гумппского, посвященных повышению порядка уже известных схем (этот подход будет использован п 3-ей главе диссертации) и построению схем более высокого порядка.
К разностным схемам на неравномерных сетках можно отнести и цикл работ У. Ашера, Р. Вейса, Дж. Кристлансена, Р. Рассела, К. Рннг-хофера, которые посвящены методу коллокацпи и формально относятся к проекционно-сеточным методам. Однако авторы этих работ рассматривают метод коллокацпи лишь как средство получения разностных схем. При этом используются сплайны высоких дефектов; число узлов сетки, хотя и медленно, но растет при є —+ 0, что существенно повышает размерность уравнений, получающихся при дискретизации задачи. Оценки точности получаются в сеточных нормах.
Важное место среди проекционпо-сеточных методов, удобных для приближенного решения краевых задач, занимает метод сплайн-колло-кации. Достоинством этого метода является его относительная простота в численной реализации, для которой нужно знать только нижнюю оценку спектра на концах отрезка.
Как показано в работах И.А.Блатова, В.В. Стрыгина, Е.Н.Бобоно-
вой, Е.В. Кузнецовой, И.Ю. Покорной, метод коллокации позволяет построить равномерные приближения высокого порядіса точности.
Заметим, что большинство работ посвящено исследованию линейных и квазилинейных СВЗ 2-го порядка и СВЗ для уравнений в частных производных.
Лилейные сингулярно возмущенные краевые задачи (СВКЗ) для обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядіса рассматривались У. Ашером, Р. Вейсом, И.П. Боглаевым, В.В. Стрыгиным, И.А.Блатовым, Е.Н.Бобоновой, Е.В.Кузнецовой, И.Ю.Покорной.
Линейные СВКЗ 2-го порядка с коэффициентами, содержащими пограничные слои, рассматривались в работе И.А.Блатова.
Нелинейным СВКЗ условно устойчивого типа посвящены работы И.П.Боглаева, К.Рппгхофера, В.В.Стрыгпна, И.А.Блатова, В.В.Бла-товой, Ю.В.Рожека.
И.П. Боглаевым построены разностные схемы для численного интегрирования нелинейных сингулярно возмущенных начальной задачи первого порядка и краевых задач первого и второго порядков, обладающие равномерной по малому параметру оценкой погрешности первого порядка в сеточной норме. И.А. Блатовым был предложен метод Галеркипа-Петрова па адаптивных сетках и получен 2-ой порядок точности в Loo-норме.
Цель работы. Построение и обоснование метода коллокации второго порядка точности для линейных векторных СВКЗ с коэффициентами, содержащими особеппости типа пограничного слоя, на базе параболических сплайпов дефекта 1. Исследование нелинейной векторной СВКЗ методами линеаризации и сплайн-коллокации с использованием известной разностной схемы И.П. Боглаева и получение 2-го порядка точности равномерно по малому параметру г.
Методшса исследовании. В работе используются теория проекционных методов, асимптотические методы, методы сплайн-функций, обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального анализа.
Научная новизна. Доказаны существование и единственность решения линейных сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений условно устойчивого типа с коэффициентами, содерзкащими особенности типа погранслоя. Построен метод сплайн-коллокации второго порядка точности для линейных сингулярно возмущенных краевых задач с коэффициентами, содержащими особенности типа погранслоя. Для численного решения нелинейной сингулярно возмущенной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнелий первого порядка построен численно-аналитический метод, обладающий равномерной но малому параметру оценкой погрешности порядка 0(1/т2) (где (4т +1) - число узлов сетки) в С-норме. Он основан на линеаризации нелинейной задачи на начальном приближении, которое строится с использованием значений сеточной функции, найденной по методике И.П.Боглаева, и решении полученной линейной задачи методом сплайн-коллокации на базе параболических сплайнов дефекта 1.
Практическая и теоретическая значимость. Разработанные методы могут быть использованы при написании программ для решения СВКЗ с высокой степенью точности. Дано обоснование схем второго порядка точности.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах профессоров Г.А.Куриной и В.Г.Задорожнего, на ежегодных научных конференциях профессорско-преподавательского состава Воронежского госуниверситета, па Воронежских зимних математиче-
ских шісолах (1993, 1997 гг.), на весенней Воронежской математической школе "Понтрягинсісие чтения-VIII" (1997 г.), на конференции "Математическое моделирование систем. Методы, приложения н средства" (Воронеж, 1998 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [1]-[5].
Объем и структура работы. Диссертация содержит 154 страницы текста и состоит из введения и трех глав, разбитых на 17 параграфов. Библиографический список литературы содержит 111 наименований. Нумерация параграфов сквозная.
Используемая низке нумерация формул автономна от диссертации.
