Введение к работе
Актуальность темы.Одной из важнейших задач качественной теории
- дифференциальных уравнений является вопрос о расположении траекторий автономной аналитической системы дифференциальных уравнений в окрестности изолированной особой точки.Этот вопрос был поставлен Пуанкаре.Важнейшее место здесь зазшмает проблема различения центра и фокуса.А.Пуанкаре и A.M.Ляпуновым били указаны два метода репання этой проблемы в случае чисто мнимых корней характеристического уравнения линейной части:в полярных координатах и декартовых координатах.Эти методы позволяют установить наличие центра путём проверки бесконечного числа условий,которые в общем случае очень слоены.Поэтому в дальнейшем усилия исследователей были направлены на разработку различных методов решения этой проблемы,позволяющих упростить нахождение необходимых и достаточных условий центра,а также на изучение различных частных случаев таких систем.Значительные результаты в этом направлении получены Г.Дюлаком.М.И.Аль-иухамедовым.И.С.Куклесом, Н.Д.Сахарнпковыи.К.С.Сибирскнм, Л.А.Черкасом, Н.Г.Ллойдои.Г.Колондекои и многими другими математиками. Отметил эффективность использования нормальных форм при решении проблемы центра и фокуса в случае чисто мнимых корней (К.Л.Зигель, А. Д. Вршо, Ю.Н.Бибиков). A.M. Ляпуновым был указан метод решения проблемы центра и фокуса и в случае нулевых корней характеристического уравнения при ненулевой линейной части.Нахсхденио необходимых и достаточных условий центра по этому методу приводит к
очень сложным вычислениям,из которых не- ясна структура условий центра.
Наиболее сложной проблема центра и фокуса является в случае аналитических систем с нулевой линейной частыо.Для аналитических систем со сложными особыми точками возникает проблема различения двух типов особых точек:особых точек первой группа,т.е.особах точек,не являющихся особыми точками типа фокуса или центра и особых точек второй группы (ыонодромных особых точек),т.е.особых точек типа фокуса ила центра.Впервые метод решения этой проблемы был указан И.Бендиксоном.й.Бендиксоном для произвольной аналитической системы был разработан метод расцепления сложной особой точки, позволяющий конечным числом шагов определить топологический тип
расположения траекторий (с точностью до различения центра и фокуса).Результата И.Бендаксона были существенно дополнены и развиты Г.Дюлаком.М.Фроммером был предложен новый эффективный метод расщепления сложной особой точки,который подробно рассматривался в работах И.С.Куклеса А.О.Андреева,Г.Шинтани и др.Наиболее существенные и законченные результаты в этом направлении принадлежат А.Ф.Андрееву.Другие методы расщепления сложной особой точки были предложены А.Д.Бршо, А.П.Воробьёвым,Э.И.Грудо.Метод расцепления особенностей для систем класса С рассматривался Ф.Дюмортье.Любой из методов расщепления особенностей позволяет конечным числом ыа-гов определить является ли особая точка монодромной или нет. Заметим, что для аналитических систем центро-фокус невозможен (Ю.С.Ильяшенко).Проблема центра и фокуса для систем с нулевой линейной частью рассматривалась лишь для некоторых частных слу- чаев.Например,для случаев,когда проблема центра п фокуса разрешается путём перехода к полярным координатам ила к различным их обобщениям (Г.Форстер,Н.В.Медведев, М.Я.Ятаев).Проблема центра и фокуса для различных случаев сложной особой точки рассматривалась в работах Э.И.Грудо,Д.В.Скитовича,С.А.Золотарёва,Н.Б.Медведевой,Ф.С.Березовской и Н.Б.Медведевой.Содержательный результат, основанный на использовании функции Ляпунова.имеется в работе В.В.Анелькина и И.В.Гайшуна.Проблема центра и фокуса приобретает особую актуальность в связи с исследованием предельных циклов в окрестности особой точки,а также с многочисленными прилеганиями аналитических систем с особой точкой типа фокуса или центра.Разработка методов решения этой проблемы.позволяющих эффективным образом использовать современную компьютерную технику,также представляется весьма актуальной. Связь работы с крупными научными темами, диссертационная работа
выполнена на кафедре математического анализа Гродненского госуниверситета в рамках научно-исследовательской темы,которая входит в программу важнейших НИР Академии наук Беларуси "Математические модели". Цель и задачи исследования. Разработка методов решения проблемы
центра и фокуса для произвольных аналитических систем;решение этой проблемы для различных классов дифференциальных систем с полиномиальными правыми частями.
Научная новизна. Доказаны новые теореш о необходимых и достаточных условиях центра в случае чисто мнимых корней характеристического уравнения,указан эффективный метод вычисления фокусных величин для таких систем,приводится явный вид фокусных величин для конкретных классов систем типа систем Льенара.получены необходимые и достаточные условия центра для полиномиальных систем типа Льенара,дано решение проблемы различения центра и фокуса для кубических систем нелинейных колебаний.Указан новый эффективный метод решения проблемы центра и фокуса для аналитических систем с ненулевой линейной частью и нулевыми корнями характеристического уравнения,впервые доказана алгебраическая разрешимость проблемы центра и фокуса в этом случае,решена проблема центра и фокуса для кубических систем нелинейных колебаний в случае нулевых характеристических чисел линейной части,доказаны теореш о необходимых и достаточных условиях голоморфного интеграла.Указана методика нахождения орбитальных нормальных форм для двумерных аналитических систем с нулевой линейной частью;получен явный вид орбитальных нормальных форм систем в окрестности монодрошюа особой точки в случае нулевых линейных,квадратичных и ненулевых кубических частей. Указа)! алгоритм решения проблемы различения центра и фокуса для аналитических систем со сложной монодромной особой точкой.
Практическая значимость. Результаты работы могут быть использованы при качественном исследовании динамических систем с монодрсм-ішми особымз точками,для исследования устойчивости тривиального решения в критических случаях,при исследовании различных математических моделей из физики,химии,биологии,ЭКОЛОГИИ II т.д.
Основные положения,выносимые на защиту.
Новые теоремы о необходимых и достаточных условиях центра в случае чисто мнимых корней характеристического уравненияэффективный метод вычисления фокусных величин для таких систем;способы вычисления фокусных величин для систем типз систем Льенара;явный вид фокусных величин для конкретных классов систем типа Льенара .необходимые и достаточные условия центра для полиномиальных систем типа Льенара.имеющие алгебраический характер;решенпе проблемы'центра и фокуса для кубических систем нелинейных колебаний.
Новый метод решения проблемы центра и фокуса для аналитических систем с ненулевой линейной частью и нулевыми корнями характерне-
4 тического уравнения,с помощью которого впервые доказана алгебраическая разрешимость проблема центра и фокуса для таких систем;ре-шенио проблемы центра и фокуса для кубической системы нелинейных колебаний в случае нулевых характеристических чисел линейной час-ти;теоремы о необходимых и достаточных условиях голоморфного интеграла; теорема о бифуркации периодических решений в случае нулевых корней характеристического уравнения.
Методика нахождения орбитальных нормальных форм для двумерных аналитических систем с нулевой линейной частыо;явный вид орбитальных нормальных форм систем в окрестности цонодромноя особой точки в случае нулевых линейных,квадратичных и ненулевых кубическіїх частей.
Алгоритм решения проблемы различения центра и фокуса для аналитических систем со сложной монодромной особой точкой.
Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на:
Всесоюзных конференциях по качественной теории дифференциальных уравнений (Рязань, 1971,1976; Кишинев, 1979; Иркутск, 1986); конференції стран СНГ по качественной теории дифференциальных уравнений (Самарканд, 1992); Республиканских конференциях математиков Беларуси (Минск,1971,1975;Гродно,19Э2){Республиканской научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Одесса,1987){Республиканских научных чтениях по обыкновенный дифференциальным уравнениям (Минск,1990);Международной научной школе "Функции Ляпунова и их применение" (Иркутск, 1939) {семинаре по качествешюй теории дифференциальных уравнений в МГУ (Москва,1985,1990,1992),руководители -проф.В.А.Кондратьев,проф.В.М.Миллионщиков,проф. II.X.Розов;Ленинградском городском семинаре по дифференциальным уравнениям (Ленинград , 1 980 , 1 987,1989), руководитель-чл. -корр. РАН, проф. В. А. Шшсс; Кишинёвском семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений (Кишинёв,1977,1985),руководитель-академик АН МССР К.С.Сибирский; Кишинёвском семинаре,посвященном памяти К.С.Сибирского (Кишинёв, 1993) {республиканском семинаре по дифференциальным уравнениям (Шнек, 1985,1987) .руководитель-профессор Ю.С.Богданов;семинаре, лаборатории моделирования и анализа систем Института математики АН РБ (Минск, 1993),руководитель-акадеыик АН РБ И.В.Гайшун;сешнаре кафедры функционального анализа БГУ (Минск, 1994),руководители-проф.Я.В.Радыно,проф.П.П.Забреако,проф.А.В.Антоневич;семинаре по дифференциальным уравнениям института математики АН Украины (Киев, 1994),руководитель-академик НАН Украины A.M.Самойленко;семинаре
Белорусского математического общества (Минск,1994),руководитель-академик АН РБ И.В.Гайшун. Опубликованность результатов. Основные результати диссертации
спубликозаш в работах [2-241 и отраясены в монографии 111. Структура и объём работа. Диссертация состоит из введения,общей
характеристика работы,пяти глав,выводов.списка использованных источников. Объем диссертации-224 страницы.Список использованных источников на 11 страницах,содержащих 163 наименования.