Введение к работе
Актуальность темы
В настоящее время имеется много нелинейных задач, возникших из астрономии, механики, физики и других естественных наук, которые приводят к необходимости изучения вопросов ветвления решений различных классов уравнений; Для каждого класса таких задач предлагались.своя методы их решения. Н.Н.Моисеев 1 пишет: "Около трехсот лет назад Ньютон разработал метод, получивший впоследствии название "диаграммы Ньютона", который позволяет найти все малые решения f(x,y) = 0 с /(0,0) = 0. Метод диаграммы Ньютона и в настоящее время является единственным способом, позволяющим построить эффективные численные методы определения всех решений этой задачи. Случай, когда размерность велика (п > 3), приводит к огромным вычислительным трудностям, и способы численной реализации идей Ньютона не известны.... Таким образом, разработка численных методов постбнфуркационво-го анализа - это сейчас одна из важнейших задач вычислительной математики, от решения которой будет зависеть судьба многочисленных прикладных исследований." Поэтому разработка единого метода локального анализа ветвления, эффективного с практической точки зрения, и являющегося непосредственным обобщением "Диаграммы Ньютона" на многомерный случай, представляется актуальной задачей.
Таким обобщением служит метод геометрии показателей степеней, включая многогранник Ньютона и нормальную форму. Многогранник Ньютона был впервые предложен Брюно (1962) для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и интенсивно использовался в работах Арнольда, Бернштейна, Брюно, Варчевко, Волевича, Гиндикнна, Кушнеренко, Хованского, автора и др. В недавних работах Брюно, Солеев [23,29] и Брюно он был распространен на широкие классы нелинейных уравнений (алгебраических, обыкновенных дифферевцналных и в частных производных). Однако все эти работы носила преимущественно теоретический характер. Огсуствовали способы вычисления многогранников Ньютона, что сдерживало применение этого метода в конкретных задачах. Нормальная форма системы ОДУ была~Ъпервые предложена Пуанкаре (1879) для весьма частного случая. Если система ОДУ имеет
'Иосс Ж., Джозеф Д. Эммектшрчы писрчя устойчивости я бифшрта**. М.: Мир. 1983. Послесловие. С. 291 - 296.
ненулевую линейную часть, то ее можно преобразовать к нормальной форме, которая сводится к системе меньшего порядка с нулевой линейной частью и зачастую сразу интегрируется. Для различных случаев нормализующее преобразование исследовались Пуанкаре, Динаром, Горном, Дюляком, Бнркгофом, Черри, Зигелем, Мозе-ром, Стернбергом и другими. Окончательный вид, способ понижения порядка и общие свойства получены в работах Брюно (1964) и Белипдого (1975).
Цель работы
Разработка нового метода (в том числе его вычислительных аспектов) для локального исследования особенностей системы алгебраических уравнений и системы ОДУ в многомерном случае с широким использованием многогранников Ньютона. Применение этого метода в конкретных задачах механики.
Научная новизна
Основные результаты диссертации состоят в следующем:
1. Развита геометрия показателей степеней и на ее основе разра
ботан алгоритм вычисления многогранников Ньютона и сопутсвую-
щих объектов.
-
На основе этого подхода предложен алгоритм для различения и параметризации всех ветвей алгебраических кривых вблизи особенности. Алгоритм применен в задачах робототехники.
-
Для системы Гамильтона предложен алгоритм нахождения всех таких асимптотических первых приближений системы, которые сами являются системами Гамильтона. Этот алгоритм применен к задачам, связанным с небесной механикой.
-
Развита теория нормальных форм ОДУ, предназначенная для исследования сложных особенностей.
-
Вблизи вырожденной неподвижной точки для обратимой системы ОДУ четвертого порядка, возникшей из гидродинамики, найдены бифуркации периодических, квазипериодических и гомокли-нических решений.
Практическая ценность Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть применены во всех задачах локального анализа. Предложен единый новый метод исследования особенностей систем алгебраических и дифференциальных уравнений, который основан нг многогранниках Ньютона и применим в различных прикладных за
дачах.
Апробация работы
Материалы диссертации докладывались на Международном Конгрессе математиков (Цюрих, ДІвецария, 1994), на Международных конференциях по алгебре (Новосибирск, 1989; Барнаул, 1991), по теории особенностей (Лилль, Франция, 1991), но дифференциальным уравнениям (Брно, Чехословакия, 1988; Мешхед, Иран, 1991; Токио, Япония, 1994), по комбинаторике (Киль, Англия, 1993), на Всесоюзных конференциях по качественной теории дифференциальных уравнений (Рига, 1989; Самарканд, 1992), по некорректным задачам (Самарканд, 1989), на Всероссийской конференции по численным методам (Красновидово, 1994), наЧебышевских чтениях (МГУ, 1994), па ряде семинаров в университетах Ташкента, Самарканда, Москвы, Торонто, Монреаля и Института прикладной математики РАН.
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в работах, перечисленных в конце автореферата.
Структура диссертации
Диссертация изложена на 255 страницах, напечатана на BTjjjJC состоит из введения и 4 глав с рисунками н таблицами. Библиография содержит 165 наименований.