Решение основных краевых задач для некоторых сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений методом потенциалов Асхатов, Радик Мухаметгалеевич

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Решение основных краевых задач для некоторых сингулярных эллиптических уравнений методом потенциалов 17

1. Фундаментальные решения (п. 1.1-1.2) .18

2. Интегральное представление Т и Т -гармонических функций. Принцип максимального значения для Т и Т гармонических функций (п. 1.3-1.4) 29

3. Краевые задачи и теоремы единственности (п. 1.5-1.6) .36

4. Решение основных краевых задач методом потенциалов (п. 1.7-1.8) 42

5. Краевые задачи для одного вырождающегося эллипти ческого уравнения (п. 1.9-1.12) 62

Глава 2. Решение основных краевых задач для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений методом потенциалов 75

1. Фундаментальные решения (п. 2.1)

2. Интегральное представление Т 2-гармонических функ (2) ций. Принцип максимального значения для Т 2-гармониче ских функций (п. 2.2) 79

3. Краевые задачи и теоремы единственности (п. 2.3) 85

4. Решение основных краевых задач методом потенциалов (п. 2.4) 89

Библиография

• Интегральное представление Т и Т -гармонических функций. Принцип максимального значения для Т и Т гармонических функций (п. 1.3-1.4)
• Решение основных краевых задач методом потенциалов (п. 1.7-1.8)
• Интегральное представление Т 2-гармонических функ (2) ций. Принцип максимального значения для Т 2-гармониче ских функций (п. 2.2)
• Решение основных краевых задач методом потенциалов (п. 2.4)

Введение к работе

Актуальность темы. Краевые задачи для вырождающихся и сингулярных эллиптических уравнений представляют собой один из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. (См. работы А.В.Бицадзе, М.М.Смирнова, И.А.Киприянова и др.).

Известно, что уравнения вида

Ав« = 0, (1)

где Дд = Д_х'+Дг_р, Л/— оператор Лапласа, D_t = ~^"Т + ~д—

сингулярный оператор Бесселя, связаны с вырождающимися эллиптическими уравнениями.

Вырождающиеся эллиптические уравнения встречаются при решении многих важных вопросов прикладного характера (теории малых изгибаний поверхностей вращения, безмомеитной теории оболочек и т.д.). Особо значительную роль играют такие уравнения в газовой динамике.

Связь теории сингулярных эллиптических уравнений с теорией вырождающихся эллиптических уравнений позволила применить к ней методы, разработанные для последних. Работа И.Н.Векуа, где доказана корректность постановки задачи Дирихле для уравнения (1) в полуплоскости ж з > 0 при р = 2 и к < 1, относится к числу первых и была основой для дальнейших исследований М.Н.Олевского, С.П.Пулькина, В.Ф.Волкодавова и др. В работах Ю.П.Кривенкова получены интегральные представления решения уравнения (1) при р = 2 через аналитические функции и применены к обоснованию постановки граничных условий на характеристической части границы области.

Впервые фундаментальные решения уравнения (1) при к = 1 и р = 2 были построены E.Beltrami; А.Вайнштсйном этот результат был распространен на любое значение к > 0, а И.А.Киприяновым и В.И.Кононенко - на общие линейные Л-эллиптические уравнения. В этих работах фундаментальные решения с особенностью в произвольной точке были построены с помощью оператора обобщенного сдвига. Такие фундаментальные решения могут быть применены к исследованию краевых задач с условием типа четности на характеристической части границы.

Число опубликованных работ по вырождающимся эллиптическим уравнениям весьма значительно. В этих исследованиях в основном рассматривались вырождающиеся эллиптические уравнения первого рода. (См., напр., работы А.В.Бицадзе, И.Н.Векуа, Л.С.Па-расюк и т.д.). Что касается вырождающихся эллиптических уравнений второго рода, то к числу первых в этом направлении относится работа М.В.Келдыша (1951 г.), где впервые указаны случаи, когда характеристическая часть границы области может освобождаться от граничных условий и заменяется условием ограниченности решения. Позже А.В.Бицадзе в своей работе указал, что условие ограниченности может быть заменено граничным условием с некоторой весовой функцией.

Одним из представителей вырождающихся эллиптических уравнений второго рода является уравнение вида

д²и д²и да

^ + ^+0^ = 0, 2

от.- ау- ду

которое впервые было рассмотрено И.Л.Каролем. Им были построены фундаментальные решения этого уравнения при а < 1. Позже Р.С.Хайруллин в своей работе с помощью этих фундаментальных решений исследовал основные краевые задачи для уравнения (2) при

тех же значениях а.

Среди методов решения краевых задач для сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений серьезного внимания заслуживает метод потенциалов. Метод потенциалов неоднократно применялся разными авторами к решению краевых задач для эллиптических уравнений как второго порядка, так и высших порядков и систем.

Целью настоящей работы является доказательство существования единственного решения основных краевых задач для некоторых сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений.

Методы исследования. В работе развиваются идеи и методы классической теории потенциала, теории функций действительной переменной, специальных функций, дифференциальных и интегральных уравнений.

Научная новизна:

1. Построены фундаментальные решения сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений.

2. Доказаны теоремы о принципе максимума для Т^^р', Tjf^, Tf.".I-гармонических функций и на основе этого принципа доказаны единственность решения задач Дирихле для соответствующих уравнений.

3. Выведены формулы Грина для сингулярных и вырождающихся эллиптических операторов и на их основе доказаны единственность решения задач типа Неймана для сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений.

4. Построены поверхностные потенциалы типа простого и двойного слоев и основные краевые задачи для указанных уравнений редуцированы к эквивалентным интегральным уравнениям Фредгольма

второго рода. Доказана однозначная разрешимость этих интегральных уравнений.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер, заполняя определенный пробел в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Ее результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач для сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений и найти приложение в теории краевых задач для уравнений смешанного типа, применяемых при решении многих важных вопросов прикладного характера.

Апробация работы. Весь материал, по мере его получения, обсуждался на семинаре кафедры математического анализа Казанского государственного педагогического университета (руководитель - профессор Ф.Г.Мухлисов). Были сделаны доклады на Международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики", посвященной 40-летию мехмата КГУ (г.Казань, 1.10-3.10.2000), на Саратовской конференции "Современные проблемы теории функций и их приложения" (г.Саратов, 27.01-02.02.2000), на межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (г.Самара, 29.05-31.05.2000), на четвертом Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000), посвященном памяти М.А.Лаврентьева (Новосибирск, 26.06-1.07.2000) и на научно-практических итоговых конференциях в Казанском государственном педагогическом университете (г.Казань).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-14]. Из них [3], [14] выполнены в соавторстве с, научным руководителем, которому принадлежат здесь постановки задач и общие указания о путях решения.

Структура и объем работы. Диссертация содержит 101 страницу и состоит из введения, двух глав, разбитых на 9 параграфов и 16 пунктов, и списка литературы из 46 наименований.

Интегральное представление Т и Т -гармонических функций. Принцип максимального значения для Т и Т гармонических функций (п. 1.3-1.4)

Рассматриваются следующие краевые задачи. Внутренняя задача Дирихле (Df). Требуется найти функцию и(х), Т -гармоническую в области G+, непрерывную в G+ и удов летворяющую граничным условиям и\г+ — (р(х), х Є Г+, и\Г{о) = О, где (р(х) - непрерывная функция. Внешняя задача Дирихле (D\). Требуется найти функцию и(х), Т -гармоническую в области G+, непрерывную в G+, равную нулю на бесконечности и удовлетворяющую граничным условиям . и\г+ = р(х), х Г+, и\г(о) = О, где (р(х) - непрерывная функция. Внутренняя задача типа Неймана (К{). Требуется найти функцию и(х), Т -гармоническую в области G+, один раз непрерывно дифференцируемую в G+, непрерывную в G+ и удовлетворяющую граничным условиям ди дп f(x), х Є Г+, г+ 1 1/1(0) = О, где f(x) - непрерывная функция. Внешняя задача типа Неймана (Ке). Требуется найти функцию и(х), Т -гармоническую в области Gj , один раз непрерывно диф ференцируемую в G+, непрерывную в G+, равную нулю на бесконечности и удовлетворяющую граничным условиям ди дп = /(ж), х Є Г+, г+ u\„(o) = О, где f(x) - непрерывная функция. Имеют место следующие теоремы единственности. Теорема 1.3. Внутренняя задача Дирихле (D -) не может иметь более одного решения. Доказательство. Пусть щ и 4% - два предполагаемых решения задачи Дирихле. Тогда их разность и = щ — щ Т -гармонична в G+, непрерывна в G+ и удовлетворяет граничным условиям и\г+ = 0, и\р(о) = 0. В силу теоремы Вейерштрасса функция и достигает наибольшего и наименьшего значения в G+. Согласно принципу максимума наибольшее и наименьшее значения не могут достигаться во внутренних точках области G+. Следовательно, и = 0, щ = щ. Теорема 1.4. Внешняя задача Дирихле (D ) не может иметь более одного решения. Доказательство. Пусть и - разность двух предполагаемых решений щ и щ. Тогда она Г -гармонична в G+, непрерывна в Gf и удовлетворяет условиям и\г+ = 0, и г(о) = 0. 1 е Пусть є 0 - произвольное достаточно малое число. Рассмотрим полушар 5д с центром в начале координат и радиусом R такой, что G+ С Q R и \и\ є на полусфере 5д.

Обозначим через б "л = Q# \ G+. Функция и - Т -гармонична в G R, на полусфере SR и є, а на Г+1}Г : и = 0. Отсюда —є гі є или 0 и + є 2є на 5д.

Рассмотрим функцию и = и + є. В области G+д функция о; Т -гармонична и на границе dG R : 0 а; 2є. В силу принципа максимума 0 ш 2е и в области (?+д. Отсюда имеем 0 и + 2є или — є и є =Ф- гі є в G . Так как є -произвольное достаточно малое число, R - произвольное достаточно большое число, то устремляя є к нулю, a R к бесконечности, получаем: и = 0 в G , т.е. г і = г .

Теорема 1.5. Внутренняя задача типа Неймана (КІ) не может иметь более одного решения. Доказательство. Пусть и - разность двух предполагаемых решений щ жщ. Функция и - Т -гармонична в G+, один раз непрерывно дифференцируема в G+ и удовлетворяет граничным условиям задачи (КІ). Согласно первой формуле Грина (1.14) при v = и, получаем /(, = Из (1.29) находим ди ди ди .л _ ОХ\ ОХч охр Согласно граничным условиям задачи имеем С = 0= и = 0. Теорема 1.6. Внешняя задача типа Неймана (Ке) не может иметь более одного решения. Доказательство. Пусть и - разность двух предполагаемых решений щ и щ. Функция и-Т -гармонична в G+ и при R — \х\ — со Возьмем R такое, что G+ С Q#. Обозначим G R = QR \ (?+. Применяя первую формулу Грина (1.14) к функциям и и v = и в области G R , получаем ,dxj J p Применяя теорему о среднем значении интеграла, имеем Щг -і (() = 31) St GtR г 1 Переходя к пределу при R — со, получаем / ди Л 27Г2 , Из (1.31) с учетом последнего замечания, имеем ди __ ди_ __ ди_ _ _ дх\ дх2 дхр "РОССИЙСКАЯ В силу (1.30) при R = \х\ — со, получаем С — 0 =Ф и = 0 в G+ = ui = и2. 1.6. Рассматриваются следующие краевые задачи для двумерного случая. Внутренняя задача Дирихле (Df). Требуется найти функцию и(х,у), Т 2 -гармоническую в области D+, непрерывную B D+ и удовлетворяющую граничным условиям «г+ = у (Р), . РЄГ+, иГ(о) = 0, где (р(Р) - непрерывная функция. Внешняя задача Дирихле (D ). Требуется найти функцию гі(ж, у), Т 2)-гармоническую в области D+, непрерывную в D+, равную нулю на бесконечности и удовлетворяющую граничным условиям иг+=у (Р), РЄГ+, и\г(0) = 0, где р(Р) - непрерывная функция. Внутренняя задача типа Неймана (К{). Требуется найти функцию и(х, у), Т -гармоническую в области D+, один раз непрерывно дифференцируемую в )+, непрерывную в D+ и удовлетворяющую граничным условиям $14 дп и, = /(Р), Р Є Г+, и\Г(о) = О, где f(P) - непрерывная функция.

Внешняя задача типа Неймана (Ке). Требуется найти функцию и(х,у), Т(2)-гармоническую в области D+, один раз непрерыв но дифференцируемую в D+, непрерывную в +, равную нулю на бесконечности и удовлетворяющую граничным условиям Іі\г(о) = О, где f(P) - непрерывная функция. Также имеют место следующие теоремы единственности. Теорема 1.7. Внутренняя задача Дирихле (Df) и внешняя задача Дирихле (Dg) не могут иметь более одного решения. Теорема 1.8. Внутренняя задача типа Неймана (КІ) И внешняя задача типа Неймана (Ке) не могут иметь более одного решения. Доказательство этих теорем проводится по схеме, предложенной при доказательстве соответствующих теорем в случае р 2.

Решение основных краевых задач методом потенциалов (п. 1.7-1.8)

Аналогично доказательству, приведенному в [40], доказывается, что в задачах ( J), (D), (К{) и (Ке) граничные условия на части Г границы можно сделать однородными. Поэтому впредь мы их будем считать однородными.

Решение задачи (D?) ищем в виде потенциала двойного слоя Функция и, определяемая формулой (1.49), Т(р)-гармонична в G+, непрерывна в G+ и на части р() удовлетворяет условию и\Г(0) = 0. Неизвестную плотность т найдем из требования, чтобы эта функция удовлетворяла граничному условию и\г+ = р(х). С этой целью подставим ее в это граничное условие. В результате с учетом формулы (1.40), получаем:

Отсюда, заменив обозначение XQ на ж, получим эквивалентное интегральное уравнение Фредгольма второго рода для неизвестной функции а(х) ф) - 2 J tr(0/-(?i - №&Г = -2ф), х Є Г+. (1.51) д_ г+ дщ Используя формулы (1.40) и (1.47) для предельных значений, а также граничные условия задач (Df) — (Ke), получим интегральные уравнения для трех остальных задач. Для удобства выпишем все четыре интегральные уравнения вместе: (Д) (х)-2 1 ()щ(Я1-1,)&Г = -2ф), (1.52) (De) а(х) + 2[а(0 (ді-ф)ЄАГ = М (1.53) (К{) ф) + 2J ф) (Чі- ф)ЄАГ = 2/(а), (1-54) г+ дпа (Ке) ф)-2{ф)--(ді-ф)ЄАГ = -2ф). (1.55) В уравнениях (1.52) — (1.55) х Є Г+. 1. Уравнения (1.52) — (1.55) - интегральные уравнения со слабой особенностью. 2. Уравнения (1.52) и (1.55), а также уравнения (1.53) и (1.54) -попарно сопряженные.

3. Для интегральных уравнений (1.52) — (1.55) справедливы теоремы Фредгольма.

Докажем, что интегральные уравнения (1.52) и (1.55), соответствующие внутренней задаче Дирихле (Df) и внешней задаче (Ке) разрешимы, и притом единственным образом, при любых непрерывных функциях р(х) и /(ж).

С этой целью рассмотрим однородное интегральное уравнение внешней задачи типа Неймана (Ке) М(х) - 2 / (Ooe - Ф)кАг = - (L56) Пусть //о _ какое-нибудь решение этого уравнения и эта функция непрерывна на Г+. Тогда потенциал простого слоя Щх) = / Й (0(?1 - 1 )& кГ г+ имеет нормальную производную извне Г+, а равенство (1.56) означает, что эта нормальная производная равна нулю dv0te(x) дп 53 = 0. (1.57) По теореме единственности для внешней задачи типа Неймана Ц{х) = 0, хе G+. (1.58) Так как потенциал простого слоя является непрерывной функцией во всем пространстве , то на Г+ V0(x) ЕЕ 0. (1.59) Рассмотрим потенциал VQ(X) В области G+. В этой области функция VQ(X) Т -гармонична, и согласно соотношению (1.59), обращается в нуль на границе области.

Однородное интегральное уравнение (1.56) имеет только тривиальное решение. В силу альтернативы Фредгольма интегральное уравнение внешней задачи типа Неймана (1.55) разрешимо, и притом единственным образом, для любой непрерывной функции f(x).

Таким образом, значение параметра А = 2 - правильное для ядра Y-(qi — tp) ив силу третьей теоремы Фредгольма для сопряженного ядра. Отсюда следует, что интегральное уравнение внутренней = 0 є G+. (1.61) задачи Дирихле разрешимо, и притом единственным образом, для любой непрерывной функции р(х).

Докажем, что интегральное уравнение (1.54), соответствующее внутренней задаче типа Неймана (КІ) разрешимо, и притом единственным образом, при любой непрерывной функции /(ее).

Пусть /L o _ некоторое решение однородного уравнения, соответствующего интегральному уравнению (1.54). Составим потенциал простого СЛОЯ С ПЛОТНОСТЬЮ jLto() Отсюда имеем = 0. (1.63) дп Так как VQ(X) Т -гармоническая функция в области G+, лежащей внутри Г+, то по теореме единственности внутренней задачи типа Неймана [КІ) Vb(a;)=0, xeG+. (1.64) В силу непрерывности потенциала простого слоя VQ{X) = 0, хе Г+. (1.65) По теореме единственности внешней задачи Дирихле Vb(aj) = 0, xeGt. (1.66) Но тогда %М ЕЕ 0. (1.67) дп Вычитая равенства (1.47), получим формулу, связывающую плотность потенциала типа простого слоя с предельными значениями его нормальной производной Из соотношений (1.63) и (1.67) с учетом формулы (1.68), нетрудно получить, что Мо(я) = 0.

Однородное интегральное уравнение внутренней задачи типа Неймана (КІ) имеет только тривиальное решение. В силу альтернативы Фредгольма интегральное уравнение (1.54) разрешимо, и притом единственным образом, для любой непрерывной функции /(ж).

Таким образом, значение параметра Л = — 2 - правильное для ядра -(#і — Ф) и в силу третьей теоремы Фредгольма для сопряженного ядра. Это означает, что интегральное уравнение внешней задачи Дирихле разрешимо, и притом единственным образом, для любой непрерывной функции (р(х).

Интегральное представление Т 2-гармонических функ (2) ций. Принцип максимального значения для Т 2-гармониче ских функций (п. 2.2)

На основе фундаментального решения уравнения (2.0), выраженного через функцию Макдональда, строятся потенциалы типа простого и двойного слоев. С помощью этих потенциалов основные краевые задачи сводятся к эквивалентным интегральным уравнениям Фредгольма второго рода и доказывается их разрешимость. 1. Фундаментальные решения

Пусть Е$ - полуплоскость у 0 евклидовой плоскости Еч точек (ж, у). Пусть D - конечная область, симметричная относительно оси Ох в плоскости Еч и ограниченная кривой Г. Обозначим через D+ часть области D в Е$, ограниченную отрезком Г = [а, Ь] оси

Ох и кривой Г+, D+ = D+[jr+,D+ = D+UГ ), D+ = Е% \ D+. (0) Обозначим через Г$ - отрезок прямой у = 8, заключенный внутри области D+, а через Ду"-область, ограниченную кривой Г+ и отрезком JJ ; Г/" - часть кривой Г+, расположенная выше прямой у = 6. Ясно, что при 8 — О D/ стремится к D+, а Г$ стремится к Г+.

Рассмотрим вырождающееся эллиптическое уравнение С помощью замены независимых переменных по формулам г} = \пу уравнение (2.1) сводится к уравнению вида w+w+{k-%=0- (2 2) Ищем решение уравнения (2.2) в виде и = e iv-vo) v (2.3) где v - новая неизвестная функция. Подставляя (2.3) в уравнение (2.2), получаем #„ + Л _ (1- = а

Для функции /о ( $j 1 ПРИ больших значениях аргумента р имеет место асимптотическая формула Функция Макдональда определяется с помощью функции Ханкеля чисто мнимого аргумента

Пользуясь асимптотическим выражением для Щ , находим Формулы (2.6) и (2.7) показывают, что кЛ - р\ экспоненциально убывает, а функция IQ ( у-40) экспоненциально возрастает при р - со. Отсюда следует линейная независимость этих функций.

Таким образом, функция (2.10) является фундаментальным решением уравнения (2.1) с логарифмической особенностью в точке Мо(гсо,2/о)- Обозначим ее через q(r) = q2{r).

Нетрудно доказать, что фундаментальное решение q(r) при у — 0 убывает экспоненциально. Ясно, что если фундаментальное решение уравнения (2.1) ограничено, то оно при у — 0 убывает экспоненциально. Аналогичное требование можем накладывать и на регулярное решение уравнения (2.1).

Определение 2.1. Регулярное решение и уравнения (2.1) в области D4", обращающееся в нуль при у — 0, назовем TJ: 2-гармонической функцией в этой области. Множество всех Т 2-гармонических в D+ и непрерывных в D+ функций обозначим через T 2(-D+).

Интегральное представление Т 2-гармонических функций. Принцип максимального значения для 1 2 гармонических функций.

Интегрируя обе части последнего тождества по области Df, предварительно умножив на весовую функцию ук 2, получим

Применяя к последнему равенству формулу Остроградского, по-лучаем (2.16) Формулы (2.15) и (2.16) представляют собой соответственно первую и вторую формулы Грина для оператора Т 2 в области D+. Пусть MQ Є D+. Рассмотрим контур См0є {(х- у)\(х хо)2 + + ln2jL = є2} такой, что См0е С D+. Обозначим через D часть области D+, заключенную между контуром См0є и границей dD+.

Решение основных краевых задач методом потенциалов (п. 2.4)

Внешняя задача (Ке). Найти функцию и(х,у), один раз непрерывно дифференцируемую в D+, равную нулю на бесконечности, Т 2-гармоническую в Z)+ и удовлетворяющую граничному условию А[и]\г+ = Ф{Р), РЄГ+, где ф(Р) - непрерывная функция. Верны следующие теоремы единственности. Теорема 2.2. Внутренняя задача (Д) не может иметь более одного решения. Доказательство следует из принципа максимального значения. Теорема 2.3. Внешняя задача (Ее) не может иметь более одного решения. Доказательство. Пусть іі-разность двух предполагаемых ре-шений i i и щ. Тогда она 7J 2;-гармонична в D+, непрерывна в D+ и удовлетворяет условию и\г+ = 0.

Пусть є 0 - произвольное достаточно малое число. Рассмотрим контур CMOR : {(ж,у)(ж - ж0)2 + In2 = R2} такой, что \и\ є на CM0R- Обозначим через D R - область, ограниченную частями кривых Г+ и CM0R- Функция и - Т 2-гармонична в D+R, на части контура \и\ є, а на Г+ и = 0. Отсюда — є и є или 0 и + є 2є на границе dD R.

Рассмотрим функцию ш = и + є. В области D R функция и fc 2-гармонична и на границе dD R: 0 ш 2є. В силу принципа максимума 0 ш 2е и в области д. Отсюда имеем 0 и + є 2є или — є и є = - w є в D R. Так как є - произвольное достаточно малое число и R - произвольное достаточно большое число, то устремляя є к нулю, a R к бесконечности, получаем: и = 0 В D+, Т.Є. U\ = Щ.

Теорема 2.4. Внутренняя задача (КІ) не может иметь более одного решения. Доказательство. Пусть it-разность 2-х предполагаемых решений ui и іі2- Функция и удовлетворяет условию А[ІІ]Г+ = 0. Согласно первой формуле Грина при v = и, ТЦ{и) = 0, имеем

Доказательство. Пусть и - разность 2-х предполагаемых решений щ и«2, ограниченных в бесконечной области D+. Пусть R - произвольное достаточно большое число. Обозначим через D" -область, заключенную между Г+ и.См0д : {{хіУ)\(х — жо)2 + 1п2 - = = R2}. Применяя первую формулу Грина к функциям v = и и и в области D", получаем

Так как и — 0 на бесконечности, то С = 0. Отсюда следует, что щ = и2. Координаты переменной точки на кривой Г+ будем обозначать через Р = Р(,г}). Далее, будем считать, что Г является кривой Ляпунова. С помощью фундаментального решения строим потенциалы типа двойного и простого слоев. Они имеют соответственно вид

Теорема 2.6. Если Г-кривая Ляпунова, то значения интеграла типа Гаусса (2.28) для фундаментального решения q уравнения (2.1) определяются формулой

Пусть Р-кривая Ляпунова и сг(Р) - непрерывная функция на Г+. Тогда потенциал двойного слоя (2.26) в любой фиксированной точке PQ кривой Р+, является разрывной функцией, для которой справедливы следующие предельные соотношения ВД) = -- + № w We(Po) = -Y± + W(P0), (2.30) где Wi(Po) и We(Po) - означают соответствующие предельные значения потенциалов двойного слоя при стремлении точки М к точке Ро изнутри и извне Р+, a W(Po) - прямое значение потенциала двойного слоя.

Теорема 2.8. Если Р-кривая Ляпунова, а плотность fi непрерывна на Р+, то на кривой Г+ потенциал простого слоя (2.27) имеет конормальную производную A[V] в точках границы Р+. Предельные значения конормальнои производной потенциала простого слоя выражаются формулами А[У(ЩІ = + WW) A[V(P )]e = - + АрГ(Ъ)], (2.31) где А[У(Ро)]і и [ (Л))]е -. означают соответствующие значения конормальной производной потенциала простого слоя при стремле нии точки М к точке PQ изнутри и извне Г+, a A[V(Po)] прямое значение конормальной производной потенциала простого слоя.

Доказательство этих теорем проводится аналогично доказательству соответствующих теорем в пункте 1.7 первой главы. Решение задачи (Ei) ищем в виде потенциала двойного слоя и(М) = J а(Р) Ap[q(r)}rjk-2dsP. (2.32) г+

Неизвестную плотность а найдем из требования, чтобы эта функция удовлетворяла граничному условию и\р+ = р(Р)- С этой целью подставим ее в это граничное условие. В результате имеем lim и(М) = - + / т{Р) Arlqir dsp = р(Р0). (2.33) Отсюда находим интегральное уравнение Фредгольма второго рода относительно плотности а т(Р0)-2 j а{Р)АР[Ч(т)]г]к-Ч8Р -2 {Рй). (2.34)

Используя формулы (2.30) и (2.31) для предельных значений, а также граничные условия (ЕІ) — (Ке), получим интегральные уравнения для трех остальных задач. Для удобства выпишем все четы ре интегральные уравнения вместе: (ЕІ) т(Р0) - 2 / а(Р) AP[q(r))rjk-2dsp = -2у (Р0), (2.35) г+ (Ее) а{Р0) + 2 / т(Р) AP[q(r)]nk dsР = 2р(Р0), (2.36) г+ (К{) іл(Р0) + 2 / ц(Р) APo[q(r)]vk-2dsp = 2 / (Р0), (2.37) г+ (iQ ц(Р0) - 2 / М(Р) APo[q(r)}vk-2dsp = -2ф(Р0). (2.38) В уравнениях (2.35) - (2.38) Р0 Є Г+. 1. Уравнения (2.35) - (2.38) - интегральные уравнения со слабой особенностью. 2. Уравнения (2.35) и (2.38), а также уравнения (2.36) и (2.37) -попарно сопряженные. 3. Для интегральных уравнений (2.35) — (2.38) справедливы теоремы Фредгольма. Можно доказать, что неоднородное уравнение (2.38) разрешимо, и притом единственным образом, при любой непрерывной функции ф(Ро). Интегральное уравнение (2.35), которое является сопряженным к уравнению (2.38), также разрешимо единственным образом при любом непрерывном свободном члене р(Ро). Значение параметра Л = 2 - правильное для ядра Др[д(г)] и в силу третьей теоремы Фредгольма для сопряженного ядра.

Также нетрудно показать, что однородное интегральное уравнение, соответствующее внутренней задаче (if;), имеет только три виальное решение. В силу альтернативы Фредгольма интегральное уравнение (2.37) разрешимо, и притом единственным образом, для любой непрерывной функции ip(Po). Подробное исследование первой и второй пары сопряженных уравнений проводится по схеме, предложенной в пункте 1.7 первой главы.