Введение к работе
;
v.: —4 „ -у
Актуальность темы. Рассмотрим выпуклый компакт _А. в
банаховом пространстве и непрерывное отображение V = X-*X.
Векторное поле Л/ЗС — X в X. называется полем смещений.
Траектории этого поля являются естественным континуальным ана-
логбм итерационных последовательностей
Хк+1 = V^k (k=0, 1.2,../).
Действительно, соотношение
*k+«-xK = Vxk- xk
можно рассматривать, как разностную схему для дифференциального уравнения
i = Vx- х (+^о) (0
(шаг по времени равен единице") .
Нелинейная динамическая система вида (1") возникает в ряде задач математической биологии. Например, динамика естественного отбора в аутосомном полиаллельном локусе V при непрерывном времени описывается системой дифференциальных уравнений в симплексе
і) По поводу используемых ниже терминов математической генетики см. Любич Ю.И. Математические структуры в популяционной генетике.- Киев: Наук, думка, 1983.- 206 с.
следующего вида
P=Fcp^-p, 00
где - оператор Фишера
.№"Pt^-«.-;»)/
Vv; (Р ) = / ік гк - средняя приспособленность L -ого гена
к=1
Ikplpk - средняя приспособленность популяции, V-^ik,). (5 = < ~ заданная матрица, ^Км~ Лік ^> 0 ,
Вместе с тем, модель отбора с дискретным временем имеет вид
Л + ^^М Ск=-0,1.2,...). (3)
Другим примером может служить гиперцикл - динамическая система, введенная М.ййгеном в качестве математической модели добио-логической эволюции. Эта система имеет вид
где I (оператор роста') - отображение координатного конуса 1гч,'+ . в себя, полиномиальное, положительно-однородное
степени р С р ^ Л ) :
Система С4) рассматривается в стандартном симплексе
Качественному исследованию систем типа (2) , (4) посвящена обширная литература, однако достаточно полные результаты стали появляться лишь в последние годы. Что касается общего уравнения (О , то насколько нам известно, оно ранее не изучалось.
В диссертации исследуется система С) в общем виде, ее конкретизации (2^) , ("4") и некоторые другие.
Цель работы. Целью исследования, проводимого в диссертации является:
-
Описание асимптотического поведения траекторий динамических систем, порожденных нерастягивающими отображениями выпуклого компакта в банаховом пространстве в себя.
-
Оценка скорости сходимости траекторий некоторых циклически симметричных гиперциклов.
-
Описание асимптотического поведения траекторий систем ди;1г1еренциальных уравнений математической генетики, моделирующих отбор в аутосомном полиаллельном локусе, рекОмбинационный процесс и аддитивный отбор в системе аутосомннх полиаллельных локусов.
Научная новизна и значение результатов диссертации. Все основные результаты диссертации являются новыми.
В главе 1 доказана сходимость траекторий некоторых классов динамических систем, порожденных нерастягивагащими отображениями.
Глава 2 посвящена исследованию динамики гиперциклов. Полу-
ченныа в ней результаты существенно дополняют, в некоторых случаях , информацию об устойчивости равновесных состояний и асимптотическом поведении траекторий, имеющуюся в работах М.Эйгена, П.Шустера и ю.и.Любича.
В главе 3 проведено исследование асимптотического поведения траекторий систем дифференциальных уравнений, описывающих динамику отбора в аутосомном полиаллельном локусе, рекомбинаци-онный процесс и аддитивный отбор в системе аутосомных полиал-лельных локусов. Ранее эти процессы изучались на дискретных ыоделях.
Результаты диссертации могут применяться при изучении не-растягивающих отображений в банаховых пространствах, устойчивости и асимптотического поведения решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, в химической кинетике, в математической генетике. Они могут быть использованы в следующих учреждениях: ФТИНТ АН УССР (Харьков), ОИХФ АН СССР (Черноголовка), в Воронежском и Московском госуниверситетах, ВЦ СО АН СССР (Красноярск).
Методика исследования. В работе используются методы теории динамических систем, качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В главе 2 для исследования уравнений гиперцикла применяются методы теории нормальных Форм.-В главе 3 для исследования динамики отбора на континуальных моделях используются, путем надлежащей адаптации, методы, разработанные ранее для систем с дискретным временем.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Воронежских зимних математических школах в 1984 г. и в 1987 г., на конференции молодых исследователей М'ИІТ АН УССР (Харьков) в 1985 г., на конференциях "Комплексный анализ и
дифференциальные уравнения" (Черноголовка") в 1985 и 1987 годах.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы, которые отражают ее основное содержание.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав. Содержание изложено на 100 страницах. Библиография содержит 41 наименование.
Основные положения, вынесенные на защиту (нумерация теорем в автореферате та же, что и в диссертации).
-
Теоремы об асимптотическом поведении траекторий динамических систем, порожденных нерастягивающими отображениями выпуклого компакта в банаховом пространстве в себя ("теоремы 1.1.1 И 1.2.l) .
-
Оценка скорости сходимости траекторий некоторых циклически симметричных гиперциклов (теоремы 2.2.1 и 2.3.1) .
-
Теоремы об асимптотическом поведении траекторий систем дифференциальных уравнений матемагической генетики, моделирующих отбор в аутосомном полиаллельном локусе, рекомбинационный процесс и аддитивный отбор в системе аутосомных полиаллельных локусов (теоремы 3.1.1, 3.1.2, 3.1.5, 3.1.6, 3.2.1, 3.3.1,
з.з.г) .
