Введение к работе
Актуальность темы. Открытие метода обратно!! задачи рассеяния оказало чрезвычайно плодотворное влияние на развитие теории нелинейных уравнений математической физики. Оно стимулировало приток свежих идей, в смежные области математики, такие как теория функций, спектральная теория, групповой анализ дифференциальных уравнений и др Приложения метода и в собственно математической физике охватывают весьма широкий спектр проблем, включающий отыскание явных частных решений нелинейных моделей и анализ их "общего" решения . По степени эффективности при исследовании задачи Копій МОЗР в известном смысле сравним с методом Фурье в линейных задачах.
Иначе обстоит дело с начально-краевыми задачами. Граничные условия для интегрируемых уравнений не могут быть произвольными, если стремиться сохранить свойство полной интегрируемости полученной краевой задачи. Попытки исследования классов подходящих граничных условий предпринимались достаточно давно, однако лишь в последнее время появился реальный прогресс в описании таких условий в конечном зиле пли терминах данных рассеяния. Важный результат для задачи па отрезке был получен в работе Е.К.Скляиина, сформулировавшего концепцию "интегрируемого граничного условия" и нашедшего первые нетривиальные примеры "интегрируемых" задач на отрезке. Здесь интегрируемость означает наличие бесконечного числа коммутирующих интегралов движения. Смешанная задача на полуоси для нелинейного уравнения Шрединге-ра с линейным однородным граничным условием в случае произвольных начальных условий (включая солитонный сектор) была явно проинтегрирована при помощи метода обратной задачи рассеяния В.О.Тарасовым и А.С.Фокасом. Конечнозонные решения задачи на отрезке и полуоси с ин-
тегрируемыми граничными условиями для НУШ и sine-Gordon уравнения впервые предъявлены А.Р.Итсом и Р.Ф.Бикбаевым.
В серии работ А.Б.Борисова, В.В.Киселева и Г.Г.Талуца и Д.Каупа исследована математическая модель вихря в двумерном магнетике представляющая собой эллиптическую краевую задачу с краевым условием совместимым с МОЗР.
В связи с этими примерами возникла потребность аксиоматического определения интегрируемого граничного условия, разработка эффективного формального критерия интегрируемости и полного описания классов таких граничных условий.
Целью данной работы является изучение связи между симметри-ями и граничными условиями; классификация интегрируемых граничных условий; развитие аналитического механизма интегрирования начально-краевой задачи для интегрируемых уравнений.
Методика исследования. Задачи, рассмотренные в диссертации решаются на основе использования результатов солитонной теории и теории групп преобразований Ли-Беклунда. Основными понятиями являются высшие симметрии, дифференциальные связи, преобразование Беклунда.
Автором диссертации получены следующие результаты, которые выносятся на защиту:
-
На основе симметрийного подхода разработан эффективный способ проверки совместимости граничного условия с интегрируемостью. В качестве приложений симметрийного теста перечислены интегрируемые граничные условия для уравнений Бюргерса, Кортевега-де Фриза, Гарри Дима, sine-Gordon, Жибера-Шабата-Михайлова, мпогополевых интегрируемых аналогов уравнений Бюргерса и Шредингера.
-
Для нелинейных цепочек Вольтерра и Тоды получено описание широкого класса конечномерных редукций, сохраняющих интегрируемость.
Исследована связь конечномерных редукций этих цепочек с трансценден-тами Пенлеве.
-
Найдена связь между граничными условиями, совместимыми со свойством полной интегрируемости уравнения, его точечными симметриями и преобразованием Беклунда. Показано, что решение соответствующей начально-краевой задачи является "неподвижной точкой" композиции преобразования Беклунда и симметрии типа отражения. На основе этого наблюдения проанализировано взаимодействие солитонов уравнения Иши-мори с интегрируемым граничным условием.
-
Построен устойчивый рекуррентный алгоритм решения задачи Ри-мана о факторизации матричных функций, основанный на итерациях преобразования Беклунда.
Основные результаты диссертации являются новыми.
Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены на семинарах: отделов дифференциальных уравнений и математической физики Института математики Уфимского научного центра РАН, кафедры дифференциальных уравнений Башкирского университета, Уральского филиала Международного института нелинейных исследований.
Отдельные результаты работы были доложены на конференциях и семинарах:
-IV Международная конференция "Нелинейные и турбулентные процессы в физике" (Киев, 1989);
-VI Международная конференция "Нелинейные уравнения и динамические системы" (Дубна, 1990);
-VIII Международная конференция "Нелинейные уравнения и динамические системы" (Дубна, 1992);
-Международная конференция "Нелинейное уравнение Шредингера: достижения, проблемы, перспективы" (Москва, 1994);
-Международная конференция "Симметриии в нелинейной математической физике" (Киев. 1995);
а также на семинарах теоретического отдела Института ядерной физики Сибирского отделения РАН (Новосибирск), отдела функционального анализа Института математики АН "Украины (Киев), отдела квантовой теории поля Института математики им. В.А.Стеклова РАН.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-17].
Структура диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Текст разбит на 19 параграфов, а крупные парагра^ фы разделены на пункты. Общий объем работы составляет 239 страниц, библиография содержит 129 наименований.