Введение к работе
Актуальность темы. Теория одномерных сингулярных операторов, которые возникли в классических работах Д.Гильберта и А.Пуанкаре в начале XX века, к настоящему времени разработана достаточно полно. Однако имеется существенное отличие одномерной теории от многомерной, и это обусловлено рядом причин, главной из которых, на наш взгляд, является наличие в одномерном случае тесной связи между сингулярными интегральными уравнениями и краевой задачей Римана. В многомерном случае эти связи неэффективны, и поэтому многомерная теория имеет существенные отличия и строится на других принципах. Здесь же следует отметить, что теория многомерных сингулярных интегральных операторов (вместе с теорией дифференциальных операторов в частных производных) привела к созданию теории псевдодифференциальных операторов, которая бурно развивается по сегодняшний день.
Многомерные сингулярные интегральные операторы появились в работах Ф.Трикоми и Ж.Жиро в 30-е годы XX столетия в процессе исследования уравнений типа
а(х) u(x) + / К(х, х-у) u(y) dy = v(x), х є D, (1)
где D — область (поверхность) в m-мерном пространстве(R , а интеграл в (1) понимается в смысле главного значения. Систематическое исследование
таких уравнении в случае D -IR было начато С.Г.Михлиным, который ввел понятие символа. В терминах символа было сформулировано условие нёте-ровости уравнения (1), а задача о регуляризации уравнения (1) была сведена к чисто алгебраической.
Результаты С.Г.Михлина были развиты в работах Р.Т.Сили и перенесены на гладкие компактные многообразия без края. Сразу после этого стало ясно, что таким способом можно рассмотреть и более общие классы операторов. Появилась теория псевдодифференциальных операторов на гладких компактных многообразиях без края и теорема Атьи-Зингера об индексе эллиптического псевдодифференциального оператора, вобравшая в себя большое число частных случаев, рассмотренных ранее А.С.Дыниным, М.С.Аграновичем, А.И.Вольпертом, С.Г.Михлиным, Р.Т.Сили, ААДезиным и другими.
В середине 60-х годов И.Б.Симоненко предложил локальный принцип исследования на нётеровость операторов локального типа (ярким представителем которого является оператор, стоящий в левой части уравнения (1)),
в известном смысле аналогичный хорошо знакомому специалистам по дифференциальным уравнениям в частных производных методу замораживания коэффициентов. С помощью локального принципа удалось рассмотреть случай компактных многообразий с гладким краем. Локальный принцип в последней ситуации сводит задачу о нётеровости многомерного сингулярного интегрального оператора к исследованию обратимости двух типов операторов. Первый тип возникающих операторов идентичен операторам, появляющимся в случае компактных многообразий без края, а второй тип операторов представляет собой одномерный сингулярный интегральный оператор с параметром, который обращается с привлечением аппарата классической краевой задачи Римана.
Подобные идеи оказались плодотворными в теории псевдодифференциальных уравнений на компактных многообразиях с гладким краем, которая была разработана в трудах М.И.Вишика и Г.И.Эскина, где было введено понятие факторизации эллиптического символа и в зависимости от индекса факторизации рассматривалась та или иная граничная задача. Разработка теории индекса граничных задач была начата М.Ф.Атьей и Р.Боттом и развита Л.Буте де Монвелем.
Выше были упомянуты две проблемы теории многомерных сингулярных интегральных (псевдодифференциальных) уравнений. Третья проблема возникает в той ситуации, когда граница многообразия кусочно-гладкая, имеющая, например, конические точки и ребра различных размерностей. Краевые задачи для дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений в этом аспекте изучались во многих работах В А.Кондратьева, В.Г.Мазьи и Б А.Пла-меневского, А.И.Комеча, Б.-В.Шульце. В последние годы наметились и другие подходы к изучению этих проблем.
Уравнения типа свертки с суммируемым ядром в конусе рассматривались И.Б.Симоненко, а более общие свертки были изучены БА.Пламеневским и М.Э.Юдовиным. Алгебры операторов, содержащих сингулярные свертки в конусе, рассматривались НЛ.Василевским и Р.В Дудучавой. Стоит отметить, что операторы свертки в конусе, в частности, в квадранте на плоскости, возникают довольно часто в теории вероятностей, теории дифракции, теории упругости.
Основная идея настоящей диссертации заключается в следующем. При "локализации" в точке гладкости границы следует обращать одномерное сингулярное интегральное уравнение с параметром, и это осуществляется при помощи классической задачи Римана. Если же точка границы имеет тип "ко-
нус" или "ребро", то "локализованное" уравнение в такой точке предлагается исследовать с помощью многомерной задачи Римана и связанной с ней так называемой волновой факторизацией эллиптического символа. Цель работы.
-
Исследование на нётеровость уравнений типа (1) и получение теоремы об индексе.
-
Исследование разрешимости псевдодифференциальных уравнений в коїгусах.
-
Постановка краевых задач для псевдодифференциальных уравнений в конусах на плоскости и получение теорем существования и единственности решения.
-
Изучение разрешимости некоторых задач теории дифракции и теории упругости разработанными методами.
Общая методика исследования. Работа основана на методах многомерного комплексного анализа, теории обобщенных функций, теории линейных уравнений в банаховых пространствах и разработанного автором аппарата многомерной задачи Римана.
Научная новизна. Все основные результаты дисертации являются новыми:
-
Разработана теория многомерной задачи Римана, решенной с помощью волновой факторизации.
-
Описаны условия нётеровости в пространстве 1^ (D) многомерного сингулярного интегрального уравнения (1) в случае негладкой области D и доказана теорема об обнулении индекса.
-
Получена полная картина разрешимости некоторых классов псевдодифференциальных уравнений в бесконечном угле на плоскости в пространствах Н в зависимости от индекса волновой факторизации.
-
Рассмотрены корректные постановки краевых задач для псевдодифференциальных уравнений в бесконечном угле на плоскости и даны эффективные критерии однозначной разрешимости задач Дирихле и Неймана в случае, когда индекс волновой факторизации равен 1.
-
Выписаны в явном виде с помошью волновой факторизации решения некоторых псевдодифференциальных уравнений теории дифракции и теории упругости.
Теоретическая и практическая ценность. Работа, в основном, носит теоретический характер, и се результаты могут найти применение в разработке общей теории граничных задач для псевдодифференциальных уравнений в негладких областях. Кроме того, проведенное исследование уравнения (1) может быть полезным при исследовании прикладных задач, в частности, тео-
рий упругости. Что касается практической ценности работы, то в диссертации приведено решение разработанным автором методом двух важных задач теории дифракции и теории упругости.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах член-корр. РАН, проф. АВ.Бицадзе и проф. ААДезина в Математическом институте им. В А.Стеклова РАН, проф. В А.Кондратьева и проф. Е.М Ландиса в МГУ им. М.В Ломоносова, проф. И.КЛифанова и проф. Е.В.Захарова в МГУ, проф. В.П.Михайлова и проф. А.К.Гущина в МИАН, акад. В.С.Владимирова в МИАН, акад. В А.Ильина и проф. Е.И.Моисеева в МГУ, проф. БА.Пламенев-ского в С.-Петербурге, проф. АА.Бабаева в Бакинском университете, а также на V, VI симпозиумах "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики" в Одессе (1991 г.) и Харькове (1993 г.), на XVI Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (Нижний Новгород, 1991 г.), Воронежской зимней математической школе (1995 г.), Воронежской весенней математической школе (1995 г.), конференции "Современные методы нелинейного анализа" (Воронеж, 1995 г.) и систематически обсуждались на семинарах кафедры математического анализа Новгородского государственного университета (рук. проф. А.П.Солдатов).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1-17].
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа изложена на 252 страницах машинописного текста, состоит из введения и четырех глав, разбитых на 18 параграфов. Список литературы содержит 285 наименований.