Содержание к диссертации
Введение
1 Смешанные задачи с интегральным условием для волнового уравнения 19
1.1 Смешанная задача с интегральным условием на плоскости 21
1.1.1 Постановка задачи 21
1.1.2 Доказательство единственности обобщенного решения 27
1.1.3 Доказательство существования обобщенного решения 30
1.2 Смешанная задача с нелокальным условием для волнового уравнения с пространственными переменными 46
1.2.1 Постановка задачи 46
1.2.2 Доказательство единственности обобщенного решения 47
1.2.3 Доказательство существования обобщенного решения
2 Смешанная задача с нелокальным интегральным условием для уравнения колебаний струны 63
2.1 Постановка задачи , 63
2.2 Задача для уравнения колебаний струны с закрепленным левым концом 65
2.2.1 Доказательство единственности решения 68
2.2.2 Доказательство существования решения 70
2.3 Задача для уравнения колебаний струны с закрепленным правым концом 79
3 Задача для уравнения S 85
3.1 Постановка задачи 85
3.2 Доказательство единственности решения 89
3.3 Доказательство существования решения 90
Литература 102
- Доказательство единственности обобщенного решения
- Доказательство единственности обобщенного решения
- Задача для уравнения колебаний струны с закрепленным левым концом
- Доказательство существования решения
Введение к работе
Современные задачи естествознания приводят к необходимости обобщения классических задач математической физики, а также к постановке качественно новых задач. Как отметил А.А.Самарский в обзорной статье "О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений" [50], одним из таких классов качественно новых задач являются как раз нелокальные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных.
Нелокальными задачами принято называть такие задачи, в которых вместо классических начальных и граничных условий, или вместо некоторых из них, задаются условия, связывающие значения решения (и, возможно, его производных) в точках внутренних и граничных многообразий.
За последние несколько десятилетий в математической литературе появилось значительное количество публикаций, посвященных исследованию нелокальных задач для дифференциальных уравнений. Большую роль в развитии этого направления сыграла статья А.В.Бицадзе и А.А.Самарского [2], в которой были предложены новые постановки задач для эллиптических уравнений.
Исследованию нелокальных задач для дифференциальных уравнений
Введение
в частных производных посвящены работы А.А.Дезина, В.А.Ильина, Е.И.Моисеева, А.К.Гущина, А.М.Нахушева, А.Л.Скубачевского, В.И.Жегалова, А.Н.Зарубина, О.А.Репина, А.А.Килбаса, А.И.Кожанова, Л.С. Пульки ной и других авторов. Среди опубликованных работ по этой тематике отметим следующие: [12, 19, 17, 22, 51, 52, 53, 10, 11, 35, 36, 37, 29, 1, 15, 47, 48, 49, 59, 43, 44, 45, 46, 14, 24, 25, 26].
Одним из классов нелокальных задач являются задачи со смещением, систематическому исследованию которых было положено начало в работах В.И.Жегалова [13] и А.М.Нахушева [34]. Задачи со смещением изучались в работах А.Н.Зарубина [14], О.А.Репина [47], Т.Ш.Кальменова [20] и их учеников. В задачах со смещением, в отличие от классических задач, задается связь между значениями искомого решения или его производной в различных точках границы.
Другой класс нелокальных задач объединяет задачи, содержащие условия, заданные в виде линейной комбинации значений искомой функции и (или) ее производных не только в граничных точках, но и в конечном числе внутренних точек области. Нелокальные задачи для гиперболических и параболических уравнений с такими условиями изучены в работах В.А.Ильина и Е.И.Моисеева [17], Н.И.Ионкина и Е.И.Моисеева [19], Л.Бижевского [56].
Естественным обобщением нелокальных условий, заданных в виде линейной комбинации, являются нелокальные интегральные условия. С другой стороны, нелокальные интегральные условия могут возникать в том случае, когда граница области протекания реального физического процесса недоступна для непосредственных измерений, но при этом воз-
Введение
можно получить дополнительную информацию в виде средних значений искомого решения.
Нелокальные задачи с интегральными условиями ставились и изучались как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для уравнений с частными производными.
Одной из первых работ, в которой исследована задача с интегральным нелокальным условием для уравнения в частных производных, является работа Дж.Кэннона «Решение уравнения теплопроводности с заданной энергией» [57]. В этой работе рассмотрена задача нахождения классического решения одномерного уравнения теплопроводности
Щ = ихх, х > 0, t > О,
удовлетворяющего условиям
u(x,Q) = <р(х), х > О,
x(t)
J и{х, t)dx - E(t)t x(t) > 0, t > О, о и показано, что существует единственное классическое решение этой
задачи. Это означает, что по заданной начальной температуре и заданной
полной энергии некоторой части проводника тепла можно однозначно
определить распределение тепла в любой момент времени в любой точке
проводника. В случае конечного проводника нужно знать еще значение
температуры на одном из его концов.
Почти одновременно с этой статьей была опубликована работа
Л.И.Камынина "Об одной краевой задаче теории теплопроводности
Введение
с неклассическим краевым условием" [21 [, в которой доказана разрешимость задачи с интегральным условием для общего уравнения параболического типа.
Исследования параболических задач с интегральными условиями были продолжены в работах Н.И.Ионкина [18], Л.А,Муравья и А.В.Филиновского [32, 33], Н.И.Юрчука и С.М.Алексеевой [1].
Например, в 1977 году Н.И.Ионкин в статье "Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием" [18] рассмотрел задачу с интегральным условием для уравнения теплопроводности:
щ = ихх + F(x, t), 0 < х < 1, 0 < t < Т,
и(х,0) — <р(х), 0 < х < 1,
J u{x,t)dx = ft{t), 0
замкнутой области решения.
Разрешимость нелокальных задач с нелокальными, в том числе интегральными, условиями и качественные свойства решений для эллиптических уравнений рассмотрены в работах А.К.Гущина и В.П.Михайлова [11], А.Л.Скубачевского [51].
Нелокальные задачи с интегральными условиями для гиперболических уравнений активно изучаются с начала 90-х годов. Здесь можно выделить два основных класса задач:
Введение
интегральные аналоги задачи Гурса, в которых нелокальное условие задается в виде интеграла вдоль характеристик,
смешанные задачи с классическими начальными данными и нелокальными условиями вместо стандартных граничных условий.
Задачи, принадлежащие первому классу, изучены в работах З.А. На-хушевой [39], В.А. Водаховой [5], Л.С. Пулькиной [43], Н.Д. Голубе-вой [6], Е.Н. Климовой [23].
Источником задач этого класса (т.е. с интегральными условиями, заданными вдоль характеристик) является, в том числе, результат изучения процесса влагопереноса в капиллярно-пористых средах. Одна из моделей влагопереноса описывается нелинейным уравнением с частными производными третьего порядка. A.M. Нахушев [36] предложил линеаризацию уравнения влагопереноса с помощью нагруженного гиперболического уравнения. Была замечена тесная связь нагруженных
уравнений с интегральными условиями вида
і — / u(x,t)dx = ш(і). о Применительно к модели влагопереноса это условие означает, что в слое
О < х < I задана скорость расхода влаги w{t).
В работе З.А. Нахушевой [39] рассмотрена следующая задача Гурса в
интегральной постановке. В области D — {(ж, у) : 0 < х < а, 0 < у < Ь}
изучается разрешимость уравнения иху = 0с интегральными условиями
а У?
/ u(x, y)dx — ф(у), 0 < у < 6, / и{х, y)dy = ip(x), 0 < х < а,
Введение
где <р(х),ф(у) — заданные непрерывные функции, a, j3 — заданные числа, Q < а <а,0 < ft <Ь, и выполнено условие согласования
0 а
/ ${y)dy = /
Решение поставленной задачи — единственно и записывается в явном
виде;
.(-.)-^-/*.>-*
о В работе Л.С. Пулькиной [43] изучена задача для общего гиперболического уравнения
иху + а(х, у)их + 6(х, у)иу + с(х, у)и — О
с интегральными условиями
a b
/ u(x, y)dy = ф(х), / «(ж, y)dx — ip{x)
о о
в области D ~ {(х, у) : 0<х<а, 0<у<Ь}и доказана однозначная
разрешимость в классе L2(D).
В работах Н.Д. Голубевой [6] и Е.Н. Климовой [23] доказано существование единственного классического решения интегрального аналога задачи Гурса.
Задачи, отнесенные ко второму классу, рассмотрены в работах Д.Г. Гордезиани и Г.А. Авалишвили [7], А. Бузиани [55], Л.С. Пулькиной [45, 46]. В этих работах изучаются смешанные задачи для гиперболических уравнений на плоскости с классическими начальными
Введение
условиями и интегральным условием вместо одного или двух граничных условий.
В работе Д.Г. Гордезиани и Г.А. Авалишвили [7\ изучается нелокальная задача для уравнения колебаний струны
Щг = ихх
с классическими начальными условиями
и интегральными нелокальными условиями:
и{0, t) = p(t) I и{х, t)dx + f{t)t
»»(0 u(l}t) = q(t) f u(x,t)dx + g(t).
»h(0 Показано, что в прямоугольнике D = {(х, t) : 0 < х < /, 0 < t < Т]
существует единственное классическое решение поставленной задачи.
Наличие в нелокальных условиях значения искомого решения на границе области позволило авторам свести задачу к операторному уравнению второго рода с компактным оператором.
В статье Л.С. Пулькиной [45] изучается смешанная задача для гиперболического уравнения
Си = ии — (а(х, t)ux)x + с(х, t)u = f(x, t)
в прямоугольнике {(ж, і) : 0 < х < /, 0 < < Т}, с классическими начальными данными Коши, граничным условием Неймана г%(0, t) = 0 и
Введение
нелокальным интегральным условием
Показано, что существует единственное обобщенное решение поставленной задачи во введенном функциональном пространстве. Получена априорная оценка, на которую опирается доказательство единственности решения, а существование доказано методом Галерки на.
В работе [46] Л.С. Пулькиной исследована задача с двумя интегральными условиями для гиперболического уравнения:
utt ~ ихх + с(х, t)u = f(x, і),
и(х, 0) = ip(x), ut{x, 0) = ф(х)у і
I Ki{x)u{x^t)dx ~ 0, і = 1,2.
Для поставленной задачи показана однозначная разрешимость в классе W^D), найдены требования на функции К{{х), при выполнении которых имеет место однозначная разрешимость.
Исследования нелокальных задач с интегральными условиями показали, что многие классические методы их изучения неприменимы без соответствующей модификации, поэтому вопрос разработки методов исследования таких задач остается актуальным. Кроме того, разрешимость задач с интегральными условиями, не содержащими значение искомой функции в точках границы, в большинстве работ доказана лишь в специальных функциональных пространствах, причем для каждой задачи приходится вводить свое пространство, и часто невозможно
Введение
гарантировать существование обобщенных производных даже первого порядка. Заметим также, что нелокальные задачи с интегральными условиями для гиперболических уравнений рассматривались лишь в случае одной пространственной переменной.
Актуальность исследования нелокальных задач с интегральными условиями можно обосновать как потребностями теоретического обобщения классических задач для уравнений математической физики, так и прикладным значением, так как многие задачи, возникающие при исследовании физических процессов различной природы, нередко приводят к нелокальным задачам. Кроме того, была замечена тесная связь подобных нелокальных задач с обратными задачами [58, 41, 24].
Результаты настоящей работы являются продолжением исследований смешанных задач с нелокальными интегральными условиями для гиперболических уравнений.
В предлагаемой работе поставлены и исследованы нелокальные задачи с интегральным условием для волнового уравнения как на плоскости, так и для случая п пространственных переменных.
В работе используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, методы теории интегральных уравнений, аппарат функциональных пространств С.Л.Соболева, аппарат специальных функций.
В диссертации получены следующие новые результаты:
І. Доказана однозначная разрешимость смешанной задачи с условием
Введение
Неймана и нелокальным интегральным условием для уравнения
UU ~~ Uxx + С(Х, t)u — /(ж, t)
в пространстве Соболева W^.
2. Доказана однозначная разрешимость смешанной задачи с нелокаль
ным интегральным условием для уравнения с п пространственными
переменными
ии — Д« + с(ж, t)u = f(x> t)
в пространстве Соболева W^2.
Разработаны методы построения классического решения смешанной задачи с условием Дирихле и нелокальным интегральным условием для уравнения колебаний струны. Этими методами доказана однозначная разрешимость поставленной задачи.
Доказано существование единственного классического решения нелокальной задачи с интегральным условием для уравнения с сингулярным коэффициентом. Выявлены условия на входящий в уравнение параметр, при выполнении которых часть границы свободна от задания условий на искомое решение.
Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего развития теории нелокальных задач, для применения в исследованих обратных задач для гиперболических уравнений, а также для применения в исследованих прикладных задач, математическими моделями которых являются задачи с нелокальными интегральными условиями.
Введение
Основные результаты были доложены на:
научном семинаре кафедры уравнений математической физики механико-математического факультета Самарского государственного университета в 2001, 2003, 2004 и 2005гг. (руководитель — д.ф-м.н., профессор О.П.Филатов);
всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» в Самарском государственном техническом университете, Самара, 2001;
втором всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике, Самара, 2001;
международной конференции «Математическое моделирование, статистика и информатика», Самара, 2001;
XXIV конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ, Москва, 2002;
Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чте-ния», Воронеж, 2004;
Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций несмежные проблемы», Воронеж, 2005;
научном семинаре Владимирского государственного педагогического университета в 2005г. (руководитель — д.ф-м.н., профессор В.В.Жиков);
Введение
всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения СамДифф-2005», Самара, 2005.
По теме диссертации опубликовано 11 работ [60, 61, 64, 63, 62, 65, 67, 66, 69, 68, 70], которые отражают ее основные результаты.
Диссертационная работа изложена на 11 і страницах и состоит из введения, трех глав и библиографического списка использованных источников, включающего 70 наименований.
Первая глава посвящена исследованию нелокальной задачи с интегральным условием для волнового уравнения.
В первом параграфе этой главы в прямоугольнике
D = {(x,t) : 0 < х < I, 0 < t < Г}, Т < г,
рассмотрено уравнение
«« - ихх + с(х, t)u = f(x, t) (1)
с даными Коши
и(х, 0) = (p(x)t щ(х, 0) = ф(х), (2)
граничным условием
«х(0,*) = 0, (3)
и нелокальным интегральным условием
K{x)u(x,t)dx = Q. (4)
о Изучается вопрос о существовании обобщенного решения из класса
W^D). Получен следующий результат. Пусть c(x,t) є С (В), f(x,t) є
Введение
L2{D), <р{х) Є W2l((U)f ф{х) Є L2(0,0, и K{x) Є C[0,l]f)Cl{QJ), К (І) ф 0. Тогда существует единственное обобщенное решение задачи (1)-(2)-(3)-(4).
Доказательство существования обобщенного решения опирается на метод Галеркина для вспомогательной задачи. Доказательство единственности обобщенного решения базируется на полученной априорной оценке.
Во втором параграфе в цилиндре Q — Г2 х (0, Т), где Q Rn — ограниченная область с гладкой границей, рассмотрено волновое уравнение
ии - Аи + с(х, t)u = /(ж, t) (5)
с начальными условиями
и(х,0) ~(р(х), щ{х,0) ~ф{х), (6)
и нелокальным интегральным условием
ди дп
+ f f К{х,,т>(,T)ddr = 0, хе дії, (7)
5 о п
S = dQx (0, Г).
Получен следующий результат. Если f(x,t) є L2(Q), ф{х) є W%{1), ф(х) Є Ь2(^), К(х,,, т) Є C(Q х S), и выполнены неравенства
0 < со < c(x,t) < си \ct(x,t)\
max|K"j < Kq, max
Q Q
< K\, і = 1,.. .n,
dxi то существует единственное обобщенное решение задачи (5)-(6)-(7).
Введение
Во второй главе рассмотрена задача с условием Дирихле и интегральным нелокальным условием для уравнения колебаний струны.
В прямоугольнике D = {(x,t) : 0 < ж < 1, 0 < t < Т} рассматривается уравнение
uu-uxx = f(x,t) (8)
и ставится задача отыскания функции u(x,t) Є C2(D), которая удовлетворяет уравнению (8) и следующим' условиям:
и(х, 0) = ^(а:), щ(х, 0) = ф{х), и(0, t) = 0, (9)
f u(x,t)dx = Q. (10)
Попытка применить к поставленной задаче метод разделения переменных приводит к задаче Штурма-Лиувилля с интегральным условием. Как известно [53], область определения этого оператора не плотна в 1*2> что делает невозможным построение сопряженного оператора, а следовательно, и пополнение системы собственных функций присоединенными.
Б первом параграфе этой главы рассмотрен метод, базирующийся на эквивалентности поставленной задачи другой нелокальной задаче (с дискретными нелокальными условиями типа Бицадзе-Самарского), для которой возможно пополнение системы собственных функций.
Во втором параграфе использован другой подход к исследованию нелокальной задачи. Он опирается на решение вспомогательной (классической) задачи и разрешимость полученного операторного уравнения.
Введение
В третьей главе изучена нелокальная задача с интегральным условием
для уравнения S
utt~uxx + -ux (11)
в области D = {(ж, і) : 0 < г < /, Q < < Т} с начальными данными
и(х,0) = (p{x)t щ{х,0) = ф(х), (12)
и нелокальным интегральным условием
f K{x)u(x,t)dx = E(t), (13)
где функции ip(x)tij>(x),E(t) — заданы, и выполняются условия согласования:
і і
f K{x)
о о
Изучаются вопросы о существовании ограниченного в D решения.
Показано, что существует единственное решение, которое может быть
получено методом Фурье.
Доказательство единственности обобщенного решения
Наличие в нелокальных условиях значения искомого решения на границе области позволило авторам свести задачу к операторному уравнению второго рода с компактным оператором.
В статье Л.С. Пулькиной [45] изучается смешанная задача для гиперболического уравнения в прямоугольнике {(ж, і) : 0 х /, 0 Т}, с классическими начальными данными Коши, граничным условием Неймана г%(0, t) = 0 и Показано, что существует единственное обобщенное решение поставленной задачи во введенном функциональном пространстве. Получена априорная оценка, на которую опирается доказательство единственности решения, а существование доказано методом Галерки на. В работе [46] Л.С. Пулькиной исследована задача с двумя интегральными условиями для гиперболического уравнения: Для поставленной задачи показана однозначная разрешимость в классе W D), найдены требования на функции К{{х), при выполнении которых имеет место однозначная разрешимость.
Исследования нелокальных задач с интегральными условиями показали, что многие классические методы их изучения неприменимы без соответствующей модификации, поэтому вопрос разработки методов исследования таких задач остается актуальным. Кроме того, разрешимость задач с интегральными условиями, не содержащими значение искомой функции в точках границы, в большинстве работ доказана лишь в специальных функциональных пространствах, причем для каждой задачи приходится вводить свое пространство, и часто невозможно гарантировать существование обобщенных производных даже первого порядка. Заметим также, что нелокальные задачи с интегральными условиями для гиперболических уравнений рассматривались лишь в случае одной пространственной переменной.
Актуальность исследования нелокальных задач с интегральными условиями можно обосновать как потребностями теоретического обобщения классических задач для уравнений математической физики, так и прикладным значением, так как многие задачи, возникающие при исследовании физических процессов различной природы, нередко приводят к нелокальным задачам. Кроме того, была замечена тесная связь подобных нелокальных задач с обратными задачами [58, 41, 24].
Результаты настоящей работы являются продолжением исследований смешанных задач с нелокальными интегральными условиями для гиперболических уравнений. В предлагаемой работе поставлены и исследованы нелокальные задачи с интегральным условием для волнового уравнения как на плоскости, так и для случая п пространственных переменных. В работе используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, методы теории интегральных уравнений, аппарат функциональных пространств С.Л.Соболева, аппарат специальных функций. В диссертации получены следующие новые результаты: І. Доказана однозначная разрешимость смешанной задачи с условием Неймана и нелокальным интегральным условием для уравнения в пространстве Соболева W . 2. Доказана однозначная разрешимость смешанной задачи с нелокаль ным интегральным условием для уравнения с п пространственными переменными в пространстве Соболева W 2. 3. Разработаны методы построения классического решения смешанной задачи с условием Дирихле и нелокальным интегральным условием для уравнения колебаний струны. Этими методами доказана однозначная разрешимость поставленной задачи. 4. Доказано существование единственного классического решения нелокальной задачи с интегральным условием для уравнения с сингулярным коэффициентом. Выявлены условия на входящий в уравнение параметр, при выполнении которых часть границы свободна от задания условий на искомое решение. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего развития теории нелокальных задач, для применения в исследованих обратных задач для гиперболических уравнений, а также для применения в исследованих прикладных задач, математическими моделями которых являются задачи с нелокальными интегральными условиями.
Доказательство единственности обобщенного решения
Однако, H HiatQ) Q#o, a \\um - u\\L Q) -» 0 в силу теоремы Реллиха, следовательно, возможен предельный переход в (1.97). Таким образом, предельная функция и удовлетворяет тождеству (1.72) для любой функции T]m(x,t) — YMLIWI(X) I{ ) Обозначим Mm — множество всех функций вида rfn{x,t) = EiWf(s)M ). ht(t) е Wi{0,T),ht(T) = 0. Поскольку \J=lNm плотно в W iQ), то тождество (1.72) выполняется для любой функции из W fjQ). Итак, мы доказали, что предельная функция и(х, t) является обобщенным решением задачи (1.57)-(1.58)-(1.59).
В этой главе рассмотрена смешанная задача с нелокальным интегральным условием и условием Дирихле на части границы для уравнения колебаний струны.
Показано, что даже в случае простейшего уравнения наличие нелокального интегрального условия не позволяет применять стандартные методы исследования смешанных задач для гиперболических уравнений. Предложено два способа решения поставленной задачи, доказаны теоремы существования и единственности решений, а также получено представление решения.
Рассмотрим в области D — {(х, t) : 0 t Т, 0 х 1} уравнение utt-uxx = f{x,t) (2.1) и поставим для него следующую задачу: найти функцию и(х, t), удовлетворяющую в области D уравнению (2.1), начальным условиям и(х, 0) = /?(ж), щ(х,0) = ф(х), (2.2) нелокальному условию о и краевому условию: Здесь функции р(х), ф(х) — заданы и удовлетворяют условиям согласования: Попытка применить к поставленной задаче метод разделения переменных приводит к задаче Штурма-Лиувилля: о Решая эту задачу, получим следующую систему собственных функций: Эта система функций, как нетрудно видеть, не является полной и не образует базис в L2(0,/), поэтому явное применение метода разделения переменных невозможно. Существующие схемы пополнения систем собственных функций опираются на сопряженные задачи. Однако, наличие интегрального условия не позволяет построить сопряженный оператор, поэтому приходится применять другие методы исследования такого рода задач. В первом параграфе этой главы рассмотрен метод, базирующийся на эквивалентности поставленной задачи другой нелокальной задаче (с 2.2 Задача для уравнения колебаний струны с закрепленным левым концом 65 дискретными нелокальными условиями типа Бицадзе-Самарского), для которой возможно пополнение системы собственных функций. Во втором параграфе использован другой подход к исследованию нелокальной задачи. Он опирается на решение вспомогательной (классической) задачи и разрешимость полученного операторного уравнения. 2.2 Задача для уравнения колебаний струны с закрепленным левым концом Рассмотрим в прямоугольнике D = {(х, t) : 0 х 1, 0 t Т} уравнение utt-uxx- f{x,t) (2.5) и поставим для него задачу; найти функцию и Є C2{D), которая удовлетворяет уравнению (2.5) в D и следующим условиям: и{х,0) = р{х), щ(х,0) = ф(х), u{0,t) 0, (2.6) о Лемма 2.1. Пусть /(ж, t) є C(D), а функции (р(х),ф(х) удовлетворяют условию согласования: Тогда задача (2.5)-(2.6)-(2.7) эквивалентна задаче для уравнения (2.5) с условиями (2.6) и условием типа Бицадзе-Самарского: Задача для уравнения колебаний струны с закрепленным левым концом 66 Доказательство. Пусть u(x,t) — решение задачи (2.5)-(2.6)-(2.7). Покажем, что тогда выполняется условие (2.8). Для этого проинтегрируем уравнение (2.5):
Задача для уравнения колебаний струны с закрепленным левым концом
Таким образом, v(x,t), определяемая рядом (2.26), является решением задачи (2.17)-(2.18)-(2.19).
Функцию w(x,t) будем искать в следующем виде: где Vi(t) — подлежащие определению коэффициенты, удовлетворяющие условию Vi(0) = О, V/(0) = 0. Подставив (2.33) в уравнение (2.20), получим: — коэффициенты разложения f(x,t) в биортогональный ряд по системе функций {Х((х)}. Таким образом, для определения коэффициентов Vi(t) нам нужно решить следующую задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений: 4 (t) = /oW. ЩО) = VS(0) = 0; Задача для уравнения колебаний струны с закрепленным левым концом 78 которая имеет единственное решение, представимое в следующем виде: Подставив найденные функции Vjt(t) в (2.33), получим решение задачи (2.20)-(2.21)-(2.22). Сходимость ряда (2.33) и возможность его почленного дифференцирования доказывается так же, как и выше. Тогда функция и(ж,t) = v(xtt) + w(x,t) — YSo f{x t)dx есть искомое решение задачи (2.5)-(2.6)-(2.8). 2.3 Задача для уравнения колебаний струны с закрепленным правым концом 79 2.3 Задача для уравнения колебаний струны с закрепленным правым концом Рассмотрим в области D = {(re, t) : 0 х I, 0 і Т} уравнение «и - ихх = f(x, t) (2.35) и поставим для него задачу: найти функцию и Є C2(D)f)C{D), являющуюся решением уравнения и удовлетворяющую следующим условиям: Метод, примененный для исследования нелокальной задачи в предыдущем параграфе, основан на лемме, позволяющей свести задачу с интегральным условием к нелокальной задаче с условием типа Бицадзе-Самарского. Однако, к. эквивалентной задаче с дискретными нелокальными условиями не удается перейти, если уравнение содержит младшие члены либо в качестве нелокального условия рассматривать интегральное условие с весом, отличным от тождественной единицы: J 0 К(х)и(х, t)dx = s(t). В этом параграфе на примере модельной задачи рассмотрен другой метод исследования, который применим и в более общем случае. Для доказательства разрешимости поставленной задачи рассмотрим как вспомогательную классическую смешанную задачу для уравнения (2.35) с условиями (2.36) и 2.3 Задача для уравнения колебаний струны с закрепленным правым концом 80 где fi{t) будем считать временно известной. Нетрудно свести условие (2.38) к однородному, положив w(x, t) = fi(t) — f//(i) и вводя новую неизвестную функцию v — и — w. Тогда, используя тот факт, что в силу (2.36) /л(0) = //(0) — 0, получаем следующую задачу:
Доказательство существования решения
Воспользуемся свойством корней функции Бесселя. Из теорем типа Шафхейтлина [3] известно, что если, например, 0 р 2, то все положительные корни уравнения Л-i (х) = 0 лежат в интервале (А;7г -f-f + Pf) 71- + Т + р), а при 2 р 5 — в интервале (for, for - f + р )\
Обозначим у = р 6jt = sin/ад, ( = . Тогда 3.3 Доказательство существования решения Таким образом, по признаку Дирихле ряд — sm —L оо сходится равномерно при t т 0. Однако, уравнение (3.21) является уравнением первого рода, так как /5 = 0. Покажем это. Используя рассуждения, проведенные выше, нетрудно показать, что решение задачи Р Щг — ихх + -их, и(х, 0) = щ = const, щ{х, 0) = 0, u(l, t) — 0, ограниченное при х = 0, имеет вид Проинтегрировав последнее равенство по а; от 0 до 1, а затем положив t = 0, получим Jb=l & Таким образом, задача сведена к интегральному уравнению Вольтерра 1-го рода о Заметим, что необходимое условие разрешимости F(0) = 0 выполняется в силу условия согласования. Применив к обеим частям (3.22) преобра _ 00 зование Лапласа, получим й(р) — (р)/(Х) ЛІ) 3.3 Доказательство существования решения то применив обратное преобразование Лапласа, найдем = hjwftdv (3 24) L где прямая L расположена правее особых точек подынтегральной функции. Таким образом, имеет место следующая Теорема 3.2. Если р(х) е С[0,1] П С2{0,1), ф(х) Є C[Q,l] П С1(0,1), E(t) Є С[0,Т]ПС2(0,Т), р(1) = ф(1) = 0 и выполнены условия согласования (3.4), а также выполнено условие (3.23) то решение задачи (3.1)-(3.2)-(3.3) существует. Замечание. Случай 0 р 1 рассматривается аналогично, если потребовать дополнительно выполнение условия и(0, t) = 0. Тогда в (3.13) следует положить С\ = 0.
