Введение к работе
Актуальность темы. В теории сингулярных дифференциальных операторов центральное место занимают вопросы, связанные с изучением спектральных свойств оператора в зависимости от поведения коэффициентов соответствующего дифференциального выражения. Под спектральными свойствами понимают качественный характер спектра, индексы дефекта и спектральные асимптотики оператора.
Первые результаты, связанные с качественным исследованием спектра оператора Штурма-Лиувилля в зависимости от поведения потенциальной функции, были получены еще в начале XX века Г.Вейлем. Дальнейшие исследования в этом направлении были стимулированы развитием квантовой механики. Различные результаты как для оператора Штурма-Л иувилля, так и для обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка и операторов в частных производных были получены в работах [1-17,20-22,24-26].
Известно (см. [11]),что самосопряженное дифференциальное выражение с вещественными коэффициентами четного порядка имеет следующий вид
где р, (*) tj = 0,л вещественные функции.
Квазипроизводные функции у, соответствующие выражению ty определяются формулами
у -рл*)— >у шрлх)-т--г\у )
ах ах ах
здесь А = 1,и.
Из определения квазипроизводных непосредственно следует, что
Мы будем считать, что выражение 1у имеет смысл для данной функции у, если все квазипроизводные у до (2/J-1) -го порядка включительно существуют и абсолютно непрерывны в каждом конечном по-
PQG НАЦИОНАЛЬНАЯ 1 tttSJIKOTEU
дынтервале [Of,/?] интервала (й,і)
Рассмотрим линейное дифференциальное выражение
М-О^ЕНЧ^*)/0)".***<». <2)
к.О
где рк\х) к = 1,п - дважды непрерывно-дифференцируемые вещественные функции, (х0 > 0) . Введем в рассмотрение пространство
Z.2[*<,,<»), (лс0 > О) . Дифференциальное выражение ly , рассматриваемое на всех допустимых функциях у, определяет в этом пространстве оператор. Рассмотрим сужение этого оператора на множество всех финитных достаточно гладких функций, обращающихся в нуль при х> R , /? > О (выбор R, вообще говоря, различен для различных у).
Обозначим замыкание сужения указанного оператора через L0.
Оператор L0 называется минимальным оператором, порожденным дифференциальным выражением /у В LJx0,o),[х0 >0).
Сопоставим уравнению
h = Xy (3)
следующий многочлен ПО fl
Уравнение
будем нашими, характеристическим уравнением, соответствующим дифференциальному выражению \у.
Известно, ([11], стр. ^02-203), что индексы дефекта оператора La, порожденного самосопряженным дифференциальным выражением с вещественно-значимыми коэффициентами, одинаковы \т,т) и
удовлетворяют оценке
п й т < 2и. Levinson [8], МА. Наймарк [ 11], И.М. Рапопорт [12] и М.В. Фе-дорюк [20] внесли большой вклад в развитие аналитических методов исследования индексов дефекта обыкновенных дифференциальных операторов. Основу этих методов составляет нахождение асимптотических формул при л->+оо для фундаментальной системы решений
уравнения ly = Ay.
Заметим, что случай суммируемых коэффициентов хорошо изучен, и основную трудность представляет случай растущих коэффициентов дифференциального выражения \у.
Изучению асимптотического поведения решений уравнений (3) при X -> оо в случае одинакового роста корней характеристического уравнения (4) посвящен целый ряд работ [10,11,16,20,21].
Случай, когда корни уравнения (4) ведут себя при х — со по-разному: часть растет, часть убывает - называется вырожденным и является наиболее сложным.
В работе [1] рассматривалось дифференциальное выражение
четвертого порядка в вырожденном случае
!,у = уы -а(хУ) + hx"ly,xe[xt,«>),x
В статье [б] получены асимптотические формулы при X—> со для
решений уравнения 1^у = Ау, где Ігу = уІА) - а \ху ) + Ъх*у, при а>%,0<2а,/}*а-2,а* О,Ь*0-константы.
Более трудной является задача нахождения асимптотик решений уравнения 1у = Ху при Л -> со по некоторым кривым в комплексной плоскости, равномерных по х.
Наличие этих асимптотических формул позволяет решить задачу получения спектральных асимптотик дискретного спектра самосопряженных расширений минимального оператора 0 .
Изучению асимптотического поведения решений (3) при больших значениях параметра в случае одинакового роста корней характеристического уравнения (4) посвящены работы [3,4,16,26].
Исследование вырожденного случая было проведено в статье
[24] при условии, что коэффициент при неизвестной функции у в
уравнении (3) равен нулю.
Цель работы. В настоящей работе исследуются спектральные
свойства минимального дифференциального оператора L0, порожденного в пространстве [1,оо) дифференциальным выражением четвертого порядка следующего вида
fy = / -2{р(х)у)+я(х)у,\<х<ю. (5)
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми.
1.Получены асимптотические формулы при х -> оо для решений уравнения
}у = Лу, х є [!,*), (6)
где р(х), q(x) - вещественные функции, Я -комплексный параметр.
Приведены соответствующие примеры функций р (х), q(x). 2.Доказана теорема об индексах дефекта дифференциального оператора L0, порожденного в пространстве г[1,о) дифференциальным выражением (5).
3. Построены асимптотические формулы для уравнения (6) при
Л-*-*», ЛєГ,
Г = {а = а + іт,т = t
равномерные по X, X Є [1,о).
4. Получены асимптотические формулы для функции NyX) - плотно
сти собственных значений расширения Lt оператора L0.
Методика исследования. В работе применяются методы спектральной теории сингулярных дифференциальных операторов, асимптотической теории дифференциальных уравнений.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы в асимптотической теории дифференциальных уравнений, спектральной теории дифференциальных операторов.
Апробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались автором на семинаре по дифференциальным уравнениям в Башкирском государственном университете, на международной конференции «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы», Уфа, 2000 г., на региональной школе-конференции для студентов-аспирантов по математике и физике, Уфа, 2001 г., на семинаре « Дифференциальные уравнения» Института математики УНЦ РАН. Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах автора
[1Н5].
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех
глав, разбитых наЮ пунктов и списка литературы, содержащего 40
наименовании.
Общий объем диссертации -102 страницы.
