Содержание к диссертации
Введение
1 Граничные задачи и операторные уравнения 21
1.1 Пространство Н и его представления 21
1.2 Описание спектральных задач 23
1.3 Дифференциальный оператор В и его расширение 26
1.4 Обобщённое решение; общие вопросы исследования спектра 30
2 Спектральные задачи для некоторых линейных систем 38
2.1 Задача Дирихле для КГ систем первого и второго типа . 39
2.1.1 КГ система первого типа 40
2.1.2 КГ система второго типа 45
2.1.3 Сравнительный анализ и примеры 57
2.2 Нелокальная задача для КЭ систем первого и второго типа 59
2.2.1 КЭ системы первого типа 61
2.2.2 КЭ системы второго типа 63
2.2.3 Сравнительный анализ и примеры 72
2.3 Задача Коши для КГ и КЭ систем 74
2.3.1 КГ системы первого и второго типа 74
2.3.2 КЭ системы первого и второго типа 77
2.4 Периодическая задача для системы уравнений смешанного типа 80
Литература
- Описание спектральных задач
- решение; общие вопросы исследования спектра
- КГ система первого типа
- Нелокальная задача для КЭ систем первого и второго типа
Введение к работе
Диссертация посвящена исследованию спектральных характеристик ряда граничных задач для некоторых линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка по выделенной переменной t, рассматриваемых в ограниченной области конечномерного евклидова пространства. Изучаемые системы уравнений удобно записать в виде так называемого операторного или дифференциально-операторного уравнения [И] L(Dt, В)и =' aDtu + ЬВи = /, (1)
Здесь а, Ь-матрицы (2x2); Д-операция дифференцирования по переменной t. Оператор В действует в некотором сепарабелыюм комплексном гильбертовом пространстве Нх и удовлетворяет определённым требованиям, формулируемым в терминах спектральной теории операторов. Присоединив к уравнению, изучаемому на конечном отрезке Vt = [Ті, Тг], —со < Т\ ^0^Г2 < +00, значений переменного t, систему условий
Г*« = 0, (2) описывающую поведение функции и = u(t) в точках Т\,Т% получим граничную задачу, под решением которой мы понимаем сильное решение. Определив (обобщенное) решение граничной задачи (1), (2), получим замкнутый оператор L, действующий в соответствующим образом подобранном функциональном пространстве Н. Под спектральными характеристиками граничной задачи (1), (2) мы понимаем спектральные свойства оператора L : Я -» Н. В дальнейшем, как условия разрешимости, так и свойства решений изучаемой граничной задачи описываются или в терминах свойств резольвенты R\ = (L — А)-1, или в терминах свойств системы собственных вектор-функций замкнутого оператора L, сопоставляемого задаче.
Необходимость исследования линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных возникает при изучении разнообразных физических, химических, биологических, социальных процессов и явлений. Например, системы С. Л. Соболева для случая сжимаемой жидкости-в гидродинамике, системы уравнений смешанного типа возникают в трансзвуковой газодинамике. К исследованию таких систем уравнений приводят также многие актуальные задачи теории малых изгибаний поверхности вращения, безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака, теории изгибов пластинки переменной толщины с острым углом. Важные приложения теории систем уравнений в частных производных и проблемы, связанные с исследованием свойств разрешимости формулируемых краевых задач стимулировали исследование соответствующих спектральных задач. Спектральная теория операторов, порождённых краевыми,задачами как для уравнений, так и для систем уравнений в частных производных, начала развиваться сравнительно недавно в ряде работ российских и зарубежных математиков. Изучались при этом как асимптотическое поведение собственных значений и расположение спектра на комплексной плоскости, так и базисные свойства систем, составленных из собственных элементов. Исследование структуры спектра и возможности разложения решений по системе собственных элементов является в настоящее время одним из основных направлений при изучении вопросов спектральной теории краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных. Несмотря на значительный интерес к указанной проблематике, до сих пор не разработан метод, позволяющий ответить на возникающие вопросы даже для простейших систем уравнений при числе переменных больше двух; общие вопросы спектральной теории граничных задач для линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных также изучены недостаточно полно. В большей степени это относится к системам, не относящихся к классическим типам: эллиптическим, гипер- болическим, параболическим. Учитывая важность свойств граничных задач для неклассических систем линейных уравнений, изучение спектральных характеристик последних весьма актуально.
Теория граничных задач для систем уравнений в частных производных, имея разнообразные применения, базируется на многочисленных методах (асимптотический, вариационный, проекционный, численные методы, методы интегральных уравнений, функциональные и другие) и формах (последовательные приближения, сжимающие отображения, различные формы интегральных преобразований, спектральные и другие) исследования. В связи с этим замечанием отметим, что проводимые нами исследования базируется на методах, которые принято называть функциональными, а свойства разрешимости описываются в терминах спектральной теории линейных операторов. Функциональные методы развивали и широко использовали в своих научных исследованиях К.Фридрихе, Л.Хёрмандер, С.Л.Соболев, А.А.Дезин, В.Н.Масленникова, В. А. Ильин, В. К. Романко, Е. И. Моисеев, А. П. Солдатов, А. С. Ма-кин, Н.Х. Агаханов, их ученики и последователи.
Спектральная теория дифференциальных операторов, порождённых граничными задачами для уравнений и систем уравнений в частных производных начала развиваться сравнительно недавно. В работах Т. Ш. Кальменова [17], Е. И. Моисеева [32], А. А. Дезина [10], [И], В. К. Романко [39] и ряда других авторов исследовались вопросы спектра граничных задач для уравнений смешанного типа. Изучались при этом как структура спектра, так и асимптотическое распределение собственных значений на комплексной плоскости. Свойства систем собственных функций в связи с изучением вопросов спектральной теории дифференциальных операторов в частных производных изучали А. В.Бицадзе [2], А.А.Дезин [И], В.А.Ильин [15], [16], В.П.Михайлов [31], Е.И.Моисеев [33], [34], [35], Н.Ю.Капустин [18], Б.Т.Билалов [1]. Соответствующие исследования нашли своё отражение в предлагаемой работе.
В диссертации проводится сравнительное изучение спектральных характеристик ряда краевых задач для однотипных линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных, рассматриваемых в ограниченной области конечномерного евклидова пространства. Изучение ведётся с позиций дифференциально-операторных уравнений первого порядка по выделенной переменной. Простейшими примерами классических систем уравнений в частных производных, попадающих в поле наших рассмотрений, могут служить эллиптические системы вида: Dtul - Dxu2 - єи2 = f\ Dtu2 + Dxul + єи1 = /2; (3) -Dtul + Dxu2 + єи2 = f\ Dtu2 + Dxul + єи1 = f2. (4)
Отметим, что система (4) подобна системе (3) в следующем смысле: после умножения первого уравнения системы (4) на —1 и формальной замены -/1 на /1 (в силу произвольности правой части), получаем систему (3). Эти преобразования могут наводить на мысль о совпадении свойств разрешимости краевых задач для данных систем безотносительно к условиям, определяющим краевую задачу. Если это так, то что можно сказать о совпадении спектральных свойств операторов, порождённых произвольной наперёд заданной краевой задачей для систем (3) и (4)? Исследования автора показывают, что спектральные свойства рассматриваемых дифференциальных операторов (порождаемых, например, нелокальной задачей по переменным t,x) принципиально различны. Эти различия проявились как в структуре спектра, так и в свойствах базисности систем собственных вектор-функций. Изучаемые в работе краевые задачи содержат классическую задачу сопряжения для систем уравнений смешанного типа и для систем уравнений классических типов с разрывными коэффициентами.
Сделаем несколько замечаний о структуре и оформлении диссертации. Диссертация состоит из введения, глав и списка литературы, вынесенных в оглавление. В оглавление вынесены также пункты и подпункты.
Формулы и высказывания типа теорем, лемм и так далее нумеруются по главам двумя числами, первое из которых есть номер главы. Число в квадратных скобках означает ссылку на соответствующий источник в списке литературы, помещённый в конце диссертации. Использование знака "открытой двери" означает начало, а "знака Халмоша" -конец доказательства. Отсутствие знака , а вместе с ним и текста между знаками и , означает, что доказательство либо было проведено ранее, либо оно очевидно, либо даётся ссылка на источник, содержащий доказательство приведённой теоремы или леммы. Определения не всегда выделены в специальный абзац. В этом случае определяемое понятие набирается курсивом. Перейдём к краткому изложению содержания диссертации.
Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируется цель и задачи исследования, кратко характеризуются основные работы, относящиеся к теме диссертации и приводится аннотация основных результатов, полученных в ней.
Первая глава "Граничные задачи и операторные уравнения" посвящена общим принципам исследования спектральных характеристик изучаемого класса граничных задач для линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных. Здесь исследуется вопрос о представлениях в виде тензорных произведений [9, стр. 100] гильбертова пространства, в котором изучается граничные задачи. Далее разрабатывается общий подход для исследования структуры спектра и базисных свойств системы собственных вектор-функций граничной задач.
Подобный подход при изучении ряда принципиальных вопросов теории граничных задач для уравнений в частных производных впервые был применён в работах А. А.Дезина [7], [8], а в дальнейшем в работах В. К. Романко [38], А. X. Мамян, Н. X. Агахапова, Л. П. Тепояп и ряда других авторов. Отметим, что рассматриваемый метод является одним из эффективных инструментов исследования свойств граничных задач для неклассических линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных.
В 1.1 вводится пространство Н, в котором ведутся исследования краевых задач, и доказываются новые формы представления этого про странства. Пусть Нх = С2ІУх)і где Vx-замкнутая ограниченная область евклидова пространства Rm; ei,..., ет-канонический ортонормирован- ный базис евклидова пространства Ет вектор-столбцов; [/-унитарное пространство элементов и — ихе\ + ... + итет; ик 6 С, к = 1, ... , т; а Н - гильбертово пространство векторов и = и1е\ + V итет, ик Є т 2
Нх;к = 1,...,т; с нормой ||и||ят = Y1 \\ик # Положим Щ = ^(Ц), Vt = [ГьГ2],-оо < Ті^0^Г2 < +оо,Г2-Гі > 0; Htx = Ht Нх и Н = Щ Н. Далее доказываются равенства H = Q)HX = HXU; H = HtH? = H?Hx = (Htx, k=l k=l на основе которых исследуем структуру спектра и базисные свойства систем собственных вектор-функций изучаемых граничных задач.
В 1.2 приводится описание интересующих нас спектральных задач. В гильбертовом пространстве Я рассмотрим граничную задачу L(Dt, В) = aDtu(t) + bBu{t) = Xu(t) + f{t), (5) /іі«(Гі)+/і2«(Г2)=0. (6) со спектральным параметром Л. Здесь f(t) Є Я; а, Ь, /іі,/і2~заданные матрицы (т х т); Д-операция дифференцирования по пременной t. Дифференциальный оператор В : Нх -> Нх является М-оператором [9, стр.40], то есть для него существует полная система {(fs : s Є 5} собственных функций: Bps = B(s)ips, образующая базис Рисса в Нх. Далее детализируем, что мы понимаем под спектральными характеристиками рассматриваемой граничной задачи. Элемент u(t) Є Я будем называть решением задачи (5), (б), если найдётся последователыюсь таких гладких и удовлетворяющих условиям (6) вектор-функций un(t) Є 23(B), что lim un(t) = u(t), lim L(Dt, B)un(i) = Xu(t) + /(). Определение pe- n-*oo n->oo шения задачи (5), (6) порождает замкнутый неограниченный линейный оператор L. Под спектральными свойствами задачи (5), (6) будем понимать соответствующие свойства оператор L. Говоря о спектре aL оператора L будем придерживаться терминологии, принятой в [3, стр.620], [9, стр.25]. Резольвентное множество, спектр, точечный спектр, непрерывный спектр и остаточный спектр оператора L обозначим соответственно через pL, aL, PaL, CaL и RaL.
В 1.3 приведены примеры интересующих нас М-операторов (см. стр. 27) и уточнена терминология относительно названия задач. Далее вводятся дополнительные ограничения на спектр оператора В. Положим B(S) = {B(s) : s Є S}. Будем считать выполненным следующее условие I на структуру спектра М-оператора В.
Условие I. Точечный спектр оператора В : Ех —» Ех представим в виде: PaB = B(S).
Известно, что спектр аВ оператора В : Ех -) Ех состоит из замыкания на комплексной плоскости точечного спектра РаВ оператора В. Множество СаВ = аВ \ РаВ образует непрерывный спектр оператора В. Далее строится расширение оператора В на Н: говорим, что и = ихе\ + ... +итет Є 2)(5)-области определения оператора В : Е -> Е и Ви = (Bul)ei +...+ {Вит)ет, если ик Є Э(Я)-области определения оператора В : Ех -» Ех при к = 1, ... ,т; и доказывается нижеследующая теорема 0.1.
Теорема 0.1. Спектр а В оператора В : Е —> Е совпадает с замыканием РаВ его точечного спектра РаВ. Точечный спектр РаВ оператора В даётся формулой РаВ = В (S). Собственному значению B(s) оператора В соответствуют т собственных векторов
В пункте 1.4 приводится понятие обобщенного решения задачи (5), (6) и разрабатываются общие подходы исследования структуры спектра и свойств системы собственных вектор-функций этой задачи.
Обозначим через 1) (через >t) множество гладких вектор-функций из Я (из Н), удовлетворяющих условиям (б). Для любых u,f Є Я будем говорить, что и Є 2)(L) -области определения оператора L : Я -> Я и Lu = /, если найдётся такая последователыюсь вектор-функций ип Є ), что lira ||wn-w||H = lim \\L(Dt,B)un- f\\H = 0. Оператор п—юо п—їоо L : Я —» Я называют замыканием [12, стр. 25] операции L(Dt, В) = aDt + bB(Dx) на вектор-функциях из ).
Определение 0,1. Элемент и Є ^(L) будем называть обобщённым решением задачи (5), (6), если Lu = Хи + f в Н.
Пусть Ls : Н —> Н-замыкание операции Ls(Dt) = aDt + bB(s) на вектор - функциях из 5)<; будем называть его s- проекцией оператора L. Удобно считать, что и в этом случае В является оператором: Ви = B(s)u, В : Ef -> Я, то есть оператором умножения на константу B(s). Далее доказывается нижеследующая теорема 0.2.
Теорема 0.2. Если для любого s Є S система (последовательность) {vk,s ' к Є Ks} собственных вектор - функций оператора Ls, где Ks -некоторое (упорядоченное) множество значений индекса к, полна (образует базис) в пространстве Н, то система \}psv^s ' к Є Ks; s Є 5} собственных вектор - функций оператора L полна (образует базис) в пространстве Я.
Является ли в гильбертовом пространстве Я система собственных вектор-функций изучаемой граничной задачи минимальной, Я-системой, базисом, бесселевой, гильбертовой, базисом Рисса решается отдельно для каждой задачи.
Ясно, если система {^iS : к Є Ks} , v^s = v\ se\ + ... + vsem, полна в Я, то система \ylks : к Є Ks} полна в Ht для любого I = 1,...,ш. Обратное, вообще говоря, не верно. Более того. Пусть, например, ek(t) = (e\(t)e\ + е|(<)е2)/\/2, где система синусов {e\(t)} и система косинусов {efc(01 образуют ортонормированные базисы в Щ. Тогда система {е&() : А; = 0,1,2,...} не является полной в Н%; однако (удвоенная) система {ek(t) : к — 0, ±1, ±2,...} образует ортонормированный базис в Н?.
Если система собственных вектор-функций оператора L образует базис Рисса в Я, то структура спектра оператора L : Я —> Я вполне подаётся описанию. В противном случае нужны дополнительные исследования. Эти исследования базируются на доказанной в работе нижеследующей теореме 0.3. Положим Wt = Vt х Vt-
Теорема 0.3. Пусть Л . PaL. Тогда
1. X Є qL, если существуют такие а) число С > 0 и б) скалярные функции gs — gs(t, г, X), что для всех s Є S и всех (і, т) Є Wt матрица Грина Gs(t,r,\) оператора Ls — ХЕ удовлетворяет неравенству Gs(t,T,X)u(r) < gs(t,T,X)u(r) и нормы \\gs\\c (W) равномерно по s ограничены, то есть для любого s Є S имеет место неравенство \Д^11&||,с2йул ^ ^'
2. X Є CaL, если существуют такие вектор - функции fs Є Я, s Є S' С S, что fs ф 0 и \\Rx,sfs\\Hp SUP "ІЇТй = +0- seS1 \\js\\Hp
Следует отметить, что данная теорема удобна, например, для исследования дифференциальных свойств решений изучаемых граничных задач. Вторая глава "Спектральные задачи для некоторых линейных систем" посвящена сравнительному изучению спектральных свойств задачи Дирихле, нелокальной задачи и задачи Коши для однотипных линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных, а также здесь изучаются спектр и свойства системы собственных элементов периодической задачи для одной системы уравнений смешанного типа.
В 2.1 проводится сравнительное изучение спектральных характеристик операторов, порождённых в Н задачей Дирихле для систем уравнений в частных производных aDtu + ЬВи = /, при а = ( 1 , Ъ = I ) ; (7) aDtu + ЬВи = /, при а = [ , Ь = [ , (8) где В является М-оператором в Нх; t Е Vt = [Т,0], то есть Т\ = Т < 0,Тг = 0. Системы (7) и (8) будем называть квазигиперболическими системами первого и второго типов соответственно (кратко: КГ системами первого и второго типов). К системам уравнений (7), (8) присоединены граничные условия Дирихле по t вида: ul(T) = и\0) = 0. (9)
Пусть А(К) = {А(к) : к Є Z}, А(к) = -гЩ. Обозначим через А(К) пополнение множества А(К) символом А(оо) = lim A(k) = г-оо; а через (B(S))'-предельные точки множества B(S). Пусть АВ = А(К) П B(S), АВ' = A(K)n(B(S))'. Будем считать, что А(к) Є (B(S))' и, в частности, Л(оо) Є (B(S))\ если найдутся такие последовательности {kj}=l, kj Є %;{B(sj)}?=1,Sj Є 5; что lim |А(Ь) - B(Sj)\ = 0 и lim А(Ь) = А(к). Далеее доказывается нижеследующая теорема 0.4.
Теорема 0.4. Зависимость структуры спектра aL оператора L от параметров задачи (7), (9) следующая:
Если 0 Є Ро-В, mo PaL = С.
Если миооісество АВ не пусто, то PaL = С.
Если АВ = 0, а миооісество АВ' пе пусто, то CaL = С.
4- Если АВ = АВ' = 0, то aL = 0 и, следовательно, qL = С.
Далее исследуется задача Дирихле для КГ системы второго типа и доказывается нижеследующая теорема 0.5.
Теорема 0.5. Зависимость структуры спектра aL оператора L от параметров задачи (8), (9) следующая:
Если 0 Є РаВ, то PaL = С.
Если 0 Є СаВ, то uh = PaL U CaL = С.
Если 0 а В, то aL = PaL U Cab. Причём Cab = PaL \ PaL.
Если 0 . РаВ, то собственные значения \k,s оператора L даются формулой \k,s=Sign{kWAi(k)-B*(s), A(k) = -ik?=, keZ\{0}, seS.
Собственному значению Afc)S оператора L соответствует собственная вектор - функция (psUk,s{t),
4(0 = sJAj;*4A{k)t}, e\(t) = ^Lch{A(k)t}. m
Далее последовательно в гильбертовых пространствах Ht, Hf, Щх изучаются базисные свойства систем, составленных соответственно из компонент u3ks(t),Ukfs{t),u3ks(t)(ps]j = 1,2; собственных вектор-функций (psUk,s(t) оператора L. На основе проведённых исследований доказывается нижеследующая теорема 0.6, в которой М. = {гЩ : к Є Z}.
Теорема 0.6. Зависимость свойств системы собственных вектор-функций оператора L : Я —» Н от параметров задачи (2.4), (2.5) следующая:
Система собственных вектор - функций оператора L минимальна в гильбертовом пространстве Я.
Система собственных вектор - функций оператора L полна в гильбертовом пространстве Я тогда и только тогда, когда множество М П РаВ пусто, то есть 0 . PaL.
Если множество М П РаВ пусто, то существует последовательность из полной системы собственных вектор - функций оператора L, не являющаяся базисом в гильбертовом пространстве Я.
Далее проводится сравнительный анализ спектральных характеристик операторов, порождённых задачей Дирихле для квазигиперболических систем уравнений в частных производных первого (7) и второго (8) типов соответственно: в виде таблицы выписаны основные различия в структуре спектра и свойств разрешимости соответствующих операторов. Приводятся примеры.
Свойства задачи Дирихле для КГ систем.
2. Имеется единственная /і = 0 особая точка: если а В Э 0, то gL — 0. В противном случае gL ф С; gL ф 0, если спектр aL = PaL ф С.
3. Либо PaL = 0, либо FaL = С.
4. Ортогональное дополнение к замыканию линейной оболочки, натянутой на собственные вектор-функции, бесконечномерно.
4. Имеется счётное множество А(К) особых точек: если а В П А(К) ф 0, то множество собственных вектор-функций не полно в Я; если аВ П А(К) = 0, то-полно в Я.
Как это следует из таблицы, спектральные свойства задачи Дирихле для КГ систем зависят, в частности, от распределения спектра оператора В. Приведём примеры.
Пример 0.1. Рассмотрим задачу Дирихле для КГ системы первого типа. Полооїсив B(DX) = Dx + e,m = fii = l (см. (1.3)), получим для гиперболической системы первого типа пустой спектр при є ф 0 и пустое резольвентное мнооюество при є = 0.
Пример 0.2. Задача Дирихле для квазигиперболической системы второго типа (2.4) регулярна, если, например, оператор В является М -эллиптическим дифференциальным оператором (см. стр. 28); в этом случае спектр располагается на мнимой оси. Система собственных вектор-функций, будучи полной системой в Н, безусловного базиса в гильбертовом пространстве Н не образует.
В 2.2 проводится сравнительное изучение спектральных характеристик операторов, порождённых в Н нелокальной задачей для линейных систем уравнений в частных производных вида: aDtu + bBu = f, при а = [ 1 ] , Ь = [ " ^ ] ; (10) aDtu + bBu = /, при а=\ )» &=| " „ I» (^) в которых В является М-оператором в Нх\ t Є Vt = [0,Т], то есть Т\ = 0,Г2 = Т > 0. Системы (10) и (И) будем называть квазиэллиптическими системами первого и второго типов соответственно (кратко: КЭ системы первого и второго типов). К системам уравнений (10), (11) присоединим нелокальные условия по t вида: Ytu = /ш(0) - и(Т) = О, fie С, /х^О. (12)
Сформулируем основные свойства нелокальной задачи для КЭ системы первого типа. Доказана нижеследующая теорема 0.7.
Теорема 0.7. Спектр aL оператора L : Н -» Н состоит из замыкания па комплексной плоскости точечного спектра PaL оператора L. Множество CaL = aL\ PaL образует непрерывный спектр оператора L. Точечный спектр оператора L даётся формулой: Xm,k,s = Vk + i(-l)mB(s); m = l,2; к Є Z; s Є S;
1п|/і| + і arg /і + І2кжvk = у
Собственному значению \mtk,s соответствует собственная вектор -функция оператора L:
Система {^psum^{t) ' т = 1,2; к Є Ъ\ s Є 5} собственных вектор-фг)нкций оператора L образуют базис Рисса в пространстве Н. ш
Спектральные характеристики задачи (11), (12) хуже. Например, для т = 1 или т = 2 система {u2mks(t)
Сформулируем основной результат о базисных свойствах системы собственных вектор-функций нелокальной задачи для квазиэллиптической системы второго типа. Доказана нижеследующая теорема 0.8, где
Теорема 0.8. Зависимость свойств системы собственных вектор-функций оператора L : Я —> Я от параметров задачи (11), (12) следующая:
Система собственных вектор - функций оператора L минимальна в гильбертовом пространстве Я.
Система собственных вектор - функций оператора L полна в гильбертовом пространстве Я тогда и только тогда, когда множество Я П РаВ пусто, то есть 0 . Po~L.
Если множество N Г) РаВ пусто, то система собственных вектор - функций оператора L образует базис в Н; этот базис не является базисом Рисса в гильбертовом пространстве Я. ш
Далее проводится сравнительный анализ спектральных характеристик операторов, порождённых нелокальной задачей для квазиэллиптических систем уравнений в частных производных первого (10) и второго (11) типов соответственно: в виде таблицы выписаны основные различия в структуре, расположении спектра и свойств разрешимости соответствующих операторов. Приводятся примеры.
Свойства нелокальной задачи для КЭ систем.
В 2.3 изучается задача Коши. Следуя [9, стр. 127], будем говорить, что М-оператор В обладает сильным В-свойством, если В Є В+ПВ-, В+ = J:infRe(s) >-ooi, В- = < В : supRe(s) < +оо і .
Вначале в H=Ht
Обозначим через L : Н —) Н дифференциальный оператор, сопоставляемый изучаемой задаче (7), (13) (либо задаче (8), (13)) в силу определения 0.1. Доказана нижеследующая теорема 0.9.
Теорема 0.9. Зависимость структуры спектра оператора L : Н -» Н от параметров задачи (7), (13) (либо от параметров задачи (8), (13)) следующая
Если оператор В обладает сильным В-свойством, то резольвентное множество оператора L заполняет комплексную плоскость.
Если оператор В не обладает сильным В-свойством, то непрерывный спектр CaL оператора L заполняет всю комплексную плоскость, ш
Пример 0.3. Для систем (7) и (8), в которых оператор В, порождённый операцией B(DX) = J2 X) bQD%, ba Є R, является Jfe=l |q|=2*-1
П - оператором (см. стр. 27), задача Коши корректна, точнее-gL = С. С другой стороны, для М -эллиптического дифференциального оператора В (см. стр. 28) задача Коши для систем (7) и (8) не корректна: CcrL = С; в этом случае корректна задача Дирихле.
Далее в H=Ht <8> H%,t Є Vt = [0,7і], изучается задача Коши для систем (10) и (11). Начальные условия имеют вид: и\ =и2\ = 0. (14)
Обозначим через L : Я -> Н дифференциальный оператор, сопоставляемый изучаемой задаче в силу определения 1.1. Доказана нижеследующая теорема 0.10.
Т е о р е м а 0.10. Зависимость структуры спектра оператора L : Н - Н от параметров задачи (10), (Ц) (либо от параметров задачи (11), (Ц)) следующая
Если оператор гВ обладает сильным В - свойством, то резольвентное множество оператора L заполняет комплексную плоскость.
Если оператор гВ не обладает сильным В - свойством, то непрерывный спектр СаЬ оператора L заполняет всю комплексную плоскость.
Пример 0.4. Для систем (10) и (И), в которых оператор В, порождённый операцией B(DX) = 3 X) baD%, ba Є R, являет- k=l\a\=2k-l ся П - оператором (см. стр. 27), задача Коши не корректна, точнее -CaL = С. С другой стороны, для М -эллиптического дифференциального оператора В (см. стр. 28) задача Коши для систем (10) и (11) корректна и более того: qL = С.
В 2.4 изучаются спектральные характеристики дифференциального оператора L, порождённого в Н периодической задачей для линейной системы дифференциальных уравнений в частных производных смешан- ного типа. Эта система имеет следующий вид: aDtu + bBu = Xu + f, «=(; Y b=h-^y (15) где В является М-оператором в Нх\ t Є Vt = [Ti,T2], -co < Ті < 0 < Т2 < +со. К системе уравнений (15), являющейся КЭ (КГ) системой первого типа при t > 0 (t < 0), присоединены граничные условия вида «(її) = и(Т2). (16)
Для оператора L, порождённого задачей (15), (16), выписаны точечный спектр и аналитическое представление его собственных вектор-функций: (fsuk:mtS(t), UKnM = e4tfU^+AAt)e^
Далее последовательно в гильбертовых пространствах Ht, #t2, Щх изучаются базисные свойства систем, составленных соответственно из компонент u{!mtS{t),uk,mtS(t),u{ms(t)cps;j = 1,2; собственных вектор - функций
На основе проведённых исследований доказана теорема 0.11, где
6 = [s : ahsb2,s - a2,sbi,s = 0; s Є s}, Г^ = C7^s П дВ3, числа amtS, Ьщз входят в определение функций plm s(t) (см. стр. 83), а оператор Bs переводит ортонормированный базис {e^J в систему {щ,тп,з}'- BSekm = Uk,m,s (CM. СТр. 87).
Теорем а 0.11. Зависимость свойств системы собственных вектор - функций оператора L : Н —> Н от параметров задачи (2.59), (2.60) следующая:
Система собственных вектор - функций оператора L минимальна в гильбертовом пространстве Н.
Система собственных вектор - функций оператора L полна в гильбертовом пространстве Н тогда и только тогда, когда мнооїсе-ство 6 пусто.
Система собственных вектор - функций оператора L образует базис в гильбертовом пространстве Н, если О Є f] f] Tlms. ш
Пример 0.5. Полоэюив в (15) В = Dlnpu условиях периодичности по х, получим оператор L : Н —» Н, порооїсдепньїй системой уравнений смешанного типа в замкнутой области V = Vt X Vx, Vt = [—7Г, 7г], Vx = [0,27г], при условиях периодичности по t и по х, система собственных вектор - функций которого полна в Н = Ьг(У).
Считаю приятным долгом выразить искреннюю благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору В.К.Романко за постановку задачи, внимание к работе, всестороннюю поддержку и помощь.
Описание спектральных задач
Дифференциальный оператор В действует в Нх и удовлетворяет определённым требованиям (см. замечание 1.1 на стр. 28), формулируемым в терминах спектральной теории операторов. Примеры интересующих нас дифференциальных операторов В и, следовательно, линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных (см. замечание 1.1 на стр. 28) приведены на странице 27. Операция ДА, В) = aDt + bB в этом случае определена, естественно, на достаточно гладких вектор -функциях и : Е - Я, и = u{t), u{t) = {u\t),..., um(t))T Є Я, v?(t) Є Hx,j = 1,...,m, принадлежащих для каждого t Є Ц, области определения ) (В) оператора В. Элемент u(t) Є Я будем называть решением задачи (1.1),(1.2), если найдётся последовательнось таких гладких и удовлетворяющих условиям (1.2) вектор-функций un(t) Є 5) (В), что lim un(t) = u(t), lim L{Dt,B)un{t) = Xu(t) + f(t). Другими сло п-кэо n-»oo вами, мы имеем дело с задачей (1.1),(1.2), понятие решения которой, как легко заметить, использует стандартную процедуру замыкания (расширения) операции L(Dt,B) = aDt + ЪВ при условиях (1.2). Оператор L : Я — Я, определяемый как замыкание в Я операции L(Dt,B), первоначально заданной на гладких вектор-функциях, удовлетворяющих условиям (1.2), называют сильным расширением операции L(Dt, В) при условиях (1.2). В этом случае решение и = u(t) называют сильным решением задачи (1.1), (1.2). Уравнение (1.1) зачастую называют операторным или дифференциально - операторным уравнением 1ш порядка по t. Уравнение (1.1) находит широкое применение при исследовании в цилиндре граничных задач для линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных. Принципиальная схема перехода от граничной задачи для линейных систем дифференциальных уравнения в частных производных к соответствующему дифференциально-операторному уравнению в гильбертовом пространстве Я будет описана ниже. Здесь же отметим следующее. Интересующие нас вопросы спектральной теории граничных задач для линейной системы диф ференциальных уравнений в частных производных будут изучены на основе свойств сопоставляемого задаче дифференциального оператора L : Н — Н. Свойства оператора L описываются в терминах спектральной теории линейных операторов.
С формальной точки зрения основным объектом спектральной теории линейных операторов является операторная функция А(Х) : 03 — 03 комплексного переменного Л Є С в банаховом пространстве 03. Эта функция имеет вид А — ХЕ, где Е : 03 - 03 является тождественным оператором. Оператор Е обычно явно не указывают и пишут А(А) = А — X. Мы также не будем его указывать. Приведём основную термилогию и основные факты, связанные с функцией А\ = А(Х). Пусть А : 03 — 03-замкнутый, вообще говоря, неограниченный оператор с плотной в 03 областью определения 1)(А). Множество дА С С называется резольвентным множеством оператора А, если для любого X Є дА оператор Ад1 существует, ограничен и определён на всём пространстве 03. Операторная функция R\ = R\(A) = Ад1 переменного Л называется резольвентой оператора А. Множество дА является открытым подмножеством множества комплексных чисел С. Замкнутое множество а А = С \ дА называется спектром оператора А. Точка Л Є о А принадлежит точечному спектру Ра А оператора А, если оператор (А — А)-1 не существует. В этом случае Л зачастую называют собственным значением оператора А. Точка Л Є о-А принадлежит непрерывному спектру СаА оператора А, если оператор (А — Л)-1 существует, множество 2) ((А — Л)-1) плотно в 03, но оператор (А — Л)-1 неограничен. Точка Л Є crA принадлежит остаточному спектру RaA оператора А, если оператор (А — Л)-1 существует, но множество 5) ((А — Л)-1) не плотно в 03. Из определения следует a A = Pa A U Си U RaA, причём множества правой части этого равенства не имеют общих точек. Если Л Є Ра А, то уравнение Ах = Хх имеет ненулевое решение. Это решение называют собственным элементом (функцией, вектором) оператора А, принадлежащим собственному значению Л. Множество собственных векторов оператора А, принадлежащих собственному значению Л, может быть как конечномерно, так и бесконечномерно.
Таким образом, настоящая работа посвящена исследованию спектра и базисных свойств системы собственных вектор-функций дифференциального оператора L : Н - Н, порождённого некоторым классом граничных задач для линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных. Говоря о спектре aL оператора L будем придерживаться терминологии, принятой в [3, стр.620], [9, стр.25] и кратко изложенной выше.
решение; общие вопросы исследования спектра
Нас интересует сравнительное изучение спектральных свойств краевых задач (2.3), (2.5) и (2.4), (2.5) (см. определение 1.1 в пп. 1.4). В дальнейшем для удобства изложения системы (2.3) и (2.4) будем называть квазигиперболическими системами первого и второго типа соответственно (коротко: КГ системами системами первого и второго типа), а краевую задачу-задачей Дирихле. Спектральные свойства краевых задач (2.3), (2.5) и (2.4), (2.5) изучены в п. 2.1.1 и п. 2.1.2 соответственно. Сравнительный анализ спектральных свойств приведён в п. 2.1.3.
Здесь описываются спектральные свойства задачи Дирихле для КГ системы первого типа. Более того, здесь исследуется функциональная зависимость спектральных характеристик задачи Дирихле для КГ системы первого типа от параметров задачи. Под спектральными свойствами рассматриваемой краевой задачи мы, как и прежде, понимаем спектральные свойства дифференциального оператора L : Н — Н, сопоставляемого этой задаче в силу определения 1.1
Таким образом, нам необходимо доказать четыре утверждения, входящих в состав теоремы. Отметим, что первое утверждение является частным случаем второго в силу включения 0 Е А(К). Пусть Л Е С, то есть Л-произвольное комплексное число. Если существует такое s Е S, что B(s) = A(k) при некотором k Е Z, то Л Е PaL; собственная вектор-функция u\(t) оператора L, соответствующая этому собственному значению, имеет вид:
Здесь описываются спектральные свойства задачи Дирихле для квазигиперболической системы второго типа. Более того, здесь исследуется функциональная зависимость спектральных характеристик задачи Дирихле для КГ системы второго типа от параметров задачи. Под спектральными свойствами рассматриваемой краевой задачи мы, как и прежде, понимаем спектральные свойства дифференциального оператора L : Н -ї Н, сопоставляемого этой задаче в силу определения 1.1. Как и ранее обозначим 5-проекцию (см. стр. 37) оператора L через Ls. Положим
Регулярность задачи Дирихле для системы (2.4) определяет следующая теорема 2.2. Сравнивая результаты теоремы 2.1 и теоремы 2.2, отметим различия в структуре спектра дифференциальных операторов, порождённых квазигиперболическими системами первого и второго типа соответственно. Более подробно о сравнении на стр.57.
Изучим теперь свойства систем собственных вектор-функций оператора L : Н Я. Начнём со свойств упорядоченных и неупорядоченных подмножеств, составленных из их координат.
Лемма 2.2. Последовательность функций {el(t)}k=l, является ортонормированным базисом гильбертова пространства Щ; последовательность {ef ()}._ 1 будучи минимальной, заведомо не является полной в пространстве Щ.
Ортонормировашюсть в Ht элементов из упорядоченных множеств {e-l{t)}k=v {el{t)}k=0 проверяется непосредственно. Полнота этих множеств в Ht вытекает, например, из [19, стрбО]. Осталось заметить что 1_1_е в Ht для k = 1,2,3 Свойства, установленные в лемме 2.2, составляют основу следующего результата. Лемма 2.3. Система {u\(i) ps: к N, s Є 5} является базисом Рисса в гильбертовом пространстве Htx = Ht Нх.
П Пусть {вк : к Є N} и {es : s Є 5}-ортонормированные базисы пространств Ht и Нх оответствепно и A : Ht - Ht, В : Нх - Нх-ли-нейные ограниченные обратимые операторы, для которых О Є QA П QB\ Аек = и\, к Є N; Bes = ips, s Є S. Тогда {ek g es : к Є N, s Є S} -ортонормированный базис в Htx, оператор A В : # - Яіх, является линейным ограниченным оператором, (A S B)(ek S es) = и\ips = u{(ps, причём О Є д(Л 8 В). Тем самым требуемое доказано. Исследуем теперь свойства последовательностей, составленных из вторых координат собственных вектор-функций оператора L.
КГ система первого типа
Как это следует из таблицы, спектральные свойства рассматриваемых задач зависят, в частности, от распределения спектра оператора В. Приведём примеры.
Пример 2.1. Рассмотрим задачу Дирихле для КГ системы первого типа. Полооїсив B(DX) = Dx + є, т = fi\ = 1 (см. (1.3)), получим для гиперболической системы первого типа пустой спектр при є ф О и пустое резольвентное множество при є = 0.
Пример 2.2. Задача Дирихле для квазигиперболической системы второго типа (2.4) регулярна, если, например, оператор В является М - эллиптическим дифференциальным оператором (см. стр. 28); в этом случае спектр располагается па мнимой оси. Система собственных вектор - функций, будучи полной системой в Н, безусловного ба зиса в гильбертовом пространстве Н не образует.
Нелокальная задача для КЭ систем первого и второго типа
Здесь изучается граничная задача для линейной системы дифференциальных уравнений, записанная в виде дифференциально-операторного уравнения aDtu(t) + bBu(t) = f(t) с нелокальными граничными условиями по t. Такую краевую задачу для линейной системы дифференциальных уравнений (в том числе и в частных производных) мы условились называть нелокальной (см. замечание 1.1 на стр. 28).
Цель иследования - сравнительное изучение спектральных характеристик дифференциальных операторов, порождённых нелокальной задачей для двух линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных, рассматриваемых в ограниченной области конечномерного евклидова пространства. Примерами классических систем уравнений в частных производных, попадающих в поле наших рассмотрений, могут служить эллиптические системы вида: Dtul - Dxu2 - єи2 = f\ Dtu2 + Dxul + єи1 = /2; (2.30) - Dtul + Dxu2 + єи2 = f\ Dtu2 + Dxul + єи1 = f. (2.31)
Отметим, что система (2.31) подобна системе (2.30) в следующем смысле: после умножения первого уравнения системы (2.31) на —1 и формальной замены -/1 на /1 (в силу произвольности правой части), получаем систему (2.30). Эти преобразования могут наводить на мысль о совпадении свойств разрешимости краевых задач для данных систем безотносительно к условиям, определяющим краевую задачу. Однако исследования автора показывают, что спектральные свойства рассматриваемых дифференциальных операторов принципиально различны. Эти различия проявились как в структуре спектра, так и в свойствах базисное систем собственных вектор-функций. Системы (2.30) и (2.31) будем в дальнейшем называть эллиптическими системами первого и второго типа соответственно.
Пусть t Є Vt = [0,Т], то есть Тх = 0,Т2 = Т 0; Щ=С2(Ц); Hx= 2(Vx); Н=ЩН%. В гильбертовом пространстве вектор-функций Н = L.2(V) рассмотрим системы уравнений, записанных в форме дифференциально-операторных уравнений (см. пп. 1.2) со спектральным параметром Л aDtu + bBu = \u + f, при a = ( ),&=[" ] ; (2.32) aDtu + bBu = \u + f, при а=( ],&=(" ); (2.33) в которых В является М-оператором в Нх (см. п. 1.3). К операторным уравнениям (2.32), (2.33) присоедим нелокальные краевые условия по t вида: Г и = [ш{0) - и(Т) = 0, ЄС, /І 0. (2.34)
Нас интересуют сравнительное изучение спектральных свойств краевых задач (2.32), (2.34) и (2.33), (2.34) (см. определение 1.1 в пп. 1.4). В дальнейшем для удобства изложения системы (2.32) и (2.33) будем называть квазиэллиптическими системами первого и второго типа соответственно (коротко: КЭ системами первого и второго типа), а краевую задачу-нелокальной. Исследованию свойств задачи Дирихле для (2 х 2) эллиптических систем посвящены работы А. В. Бицадзе; сильно и усиленно эллиптические системы изучали М. И. Вишик, А. П. Солдатов (см. [47] и приведённую там библиографию). 2.2.1 КЭ системы первого типа
Здесь описываются спектральные свойства нелокальной задачи для квазиэллиптической системы первого типа. Под спектральными свойствами рассматриваемой краевой задачи мы понимаем спектральные свойства дифференциального оператора L : Н - Н, сопоставляемого этой задаче в силу определения 1.1. Обозначим s-проекцию (см.стр.37) оператора L через Ls. Исследуем свойства операторов Ls,s Є S. Далее пользуемся обозначениями из п. 1.4. Имеет место
Нелокальная задача для КЭ систем первого и второго типа
Здесь изучаются спектральные характеристики дифференциального оператора, порождённого граничной задачей для линейной системы дифференциальных уравнений в частных производных смешанного типа. Простейшим примером классической системы уравнений в частных производных, попадающих в поле наших рассмотрений, может служить система уравнений смешанного типа: Dtul - sign {t)Dxu2 - ей2 = f\ Dtu2 + Dxul + ей1 = /2, (2.58) эллиптическая при t 0 и гиперболическая при t 0. Вопросы спектральной теории граничных задач для уравнений смешанного типа изучались в [32], [17], [39]; в меньшей степени изучены соответствующие вопросы для систем уравнений смешанного типа. Отметим работу [46], в которой изучалась задача Римана-Гильберта для однородной системы уравнений Лаврентьева-Бицадзе в смешанной области с характеристическим участком границы.
Пусть t eVt = [ThT2], -со Гі 0 Т2 +оо; Ht=C2{Vt)-Нх=С 2{Ух) , H=Ht (g Е2. Для /(і) Е Н рассмотрим уравнение L(Dt, В)и = aDtu{t) + bBu{t) = Xu(t) + f(t), (2.59) (под уравнением мы понимаем систему) и граничные условия вида
Нас интересуют спектральные характеристики задачи (2.59), (2.60). Приведём вначале некоторые общие подходы изучения граничной задачи (2.59), (2.60). Обозначим через 2)-линейное многообразие, состоящее из гладких вектор-функций u(t) Є C(Vt,Ex) П C V , Нх), удовлетворяющих условиям (2.60) и принадлежащих для любого t Є V области определения (Я) оператора В. Здесь C(Vt, Нх) = C(Vt) Нх, c(vt) = c(vt) и- с1( , нх) = сг{у?) ях с1 ) = c\v?) [/; = vt- и v;+, vp = (ти о), v;+ = (о, т2).
Определение 2.1. Пусть f(t) Є Я. Элемент u(t) Є Я называем обобщённым решением граничной задачи (2.59)-(2.60), если найдётся последовательность таких гладких вектор - функций un(t) Є 3), wio lim «n(t) - u(t)\\H = lim L(A,5)u„( ) - \u(t) - f(t)\\H = 0.
Под спектральными свойствами граничной задачи мы понимаем спектральные свойства оператора L : Я — Я, сопоставляемого этой задаче в силу определения 2.1.
Обозначим символом ) -линейное многообразие гладких вектор -функций u(i) из класса С1 ) ПС(1 ), удовлетворяющих условиям периодичности (2.60). Пусть также Ls : Я2 -» Я2-замыкание операции Ls(Dt) = aDt + 65(s) на функциях из SV Удобно считать, что и в этом случае В является оператором; В : Я2 -» Я2, Я u = B(s)u, то есть оператором умножения на константу Я(Й). Оператор Ls : Я2 - Я2 мы условились называть s - проекцией оператора L.
Выделенные свойства оператора L приводят к необходимости исследования свойств операторов Ls. Займёмся этим. Лемма 2.18. Если 0 Є РсгЯ, то есть B(s) = 0, то спектр JLS оператора Ls : Я2 - Я2 совпадает с его точечным спектром Po Ls. Точечный спектр оператора Ls даётся формулой h = ik7=—="1 keZ. (2.61) J-2 - -Ч Собственному значению А& соответствуют две собственные вектор -функции \m+l/ (2.62) Щ,тМ) = « ,»( ) = в (і) = efc(t)ei + (Jm+e2 оператора Ls. Система собственных вектор - функций оператора Ls образуют ортопормированный базис в пространстве Hf. Из равенства (щ!ТП, Uk\m )щ = 5 5 , где 8%- функция Кроне-кера, следует ортонормированность в Hf системы {uktin{t): keZ] m = l,2} (2.63) собственных вектор-функций оператора Ls. Предположим, что множество (2.63) не полно в Hf. Тогда существует вектор-функция / Є Hf, f — fl{t)ei + /2(0e2) f Ф 0 B Hf, ортогональная всем вектор-функциям (2.63). Так как {ek{t) : к Є Z}-полная ортонормироваппая в Ht система, то из равенства (!,ект)щ = (/1 + {-l)m+1f2,ek)Ht/V2, где т = 1,2; к Є Z, следует противоречие: / = 0 в Hf и, следовательно, полнота в Hf системы (2.63). Теорема доказана.
Следует отметить, что доказательство структуры спектра оператора Ls в лемме 2.18 вытекает из представления резольвенты R\{LS) = (Ls — ХЕ) г оператора Ls в виде ряда Фурье по системе собственных вектор-функций оператора Ls. Так как в случае 0 ф. Ра В система собственных вектор-функций оператора Ls вообще говоря базиса Рисса в Hf не образует, то структуру его спектра будем исследовать опираясь на аналитическое представление матрицы Грина резольвенты R\(LS). В дальнейшем \nz = In \z\ + і avgz. Имеет место следующая лемма.
