Введение к работе
Актуальность темь?.
Известно, что параболическое уравнение
dn/dt — (liv(n(.r)Vu) — /j(j:)Vu
с периодическими коэффициентами описывает разнообразны?' нестационарные процессы п переменных средах. Представляет интерес асимптотическое поведение решения задачи Кошн для этого уравнения при t —> оо. Имеются дпе основные задачи об асимптотике при большом времени /. Речь идет о стабнінлапии и центральном предельной теореме. Этим задачам посвящена обширная литература, причем, главным образом изучался случай дивергентного или неднвергентного уравнение без младших членов. Основными методами изучения были методы теории усреднения, а для центральной предельно!! теоремы применялись и вероятностные методы.
Между тем, довольно давно в физической и математической литературе была замечена связь между усредненном и структурой блоховского спектра d нуле. В работе Жнкова В.В. (Дифф. ур. 1989г., т.25, N1, с.44 - 50) с помощью спектрального подхода было изучено дивергентное уравнение без младших членов, получена подходящая асимптотика для фундаментального уравнения при t — оо и на основе этих результатов дано решение асимптотических задач диффузии. В этой же работе поставлен вопрос об обосновании спектрального метода в случае; уравнения диффузии с младшими членами.
Цель работы.
Распространение спектрального метода на случай уравнения диффузии с младшими членами, получение асимптотики для фундаментального решения зтого уравнения и рассмотрение на этой основе асимптотических задач диффузии : усреднения, равностабнлизацнн, центральной предельной теоремы.
Общая методика исследования.
В диссертации используются методы и результаты спектральной теории, теории блоховского спектра, теории возмущений, теории эллиптических и параболических уравнений.
Научная новизна.
D диссертации получены следующие результаты:
-
Найдена асимптотика для фундаментального решения уравнения дш}м)>у:ші! с младшими членами н периодическими коэффициентами.
-
На полученной асимптотики не только выведены теоремы усреднения, равностабнлнзации, центральная предельная теорема, но и даны оценки остатков d соответствующих утверждениях.
-
Докадана оценка Нзша - Аронсона для фундаментального решения параболического уравнения с младшими членами и периодическими коэффициентами.
Теоретическая и практическая ценность.
Результаты, полученные в диссертации, и развитый в ней спектральный метод носят теоретический характер и могут быть использованы в математической физике, в спектральной теории операторов, л также для чтения спецкурсов в тех высших учебных заведениях, где ведется работа по близкой тематике.
Апробация работы.
Результаты диссертации докладывались на научно - исследовательском семинаре механики - математического факультета МГУ но спектральной теории под руководством проф. А.Г. Костюченко и проф. А.А. Шкаликоаа (1996), на Воронежской весенней математической школе но современным методам в теории краевых задач (Воронеж 199G), на семинарах по дифференциальным уравнениям иод руководством проф. Жикова B.D. во Владимирском государственном педагогическом университете (1993 - 1995).
Публикации автора.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора 111-13].
Структура и объем работы.
