Введение к работе
Актуальность темы. Исследованием поведения при больших значениях времени решений задачи Коши и смешанных задач для параболических уравнений и систем занимались Ф.О. Попер, В.В. Жиков, А.К. Гущин, В.II. Михайлов, В.А. Кондратьев, Ф.Х. Мукминов и многие другие. Большой интерес представляют работы, посвященные изучению убывания при t —< оо решения смешанных задач в неограниченной по пространственным переменным цилиндрической области с однородными граничными условиями и финитной начальной функцией, ограниченной в одной из Соболевских норм.
Как показано А.К. Гущиным, А.В. Лежневым, в-частности, для уравнения теплопроводности в случае второй смешанной задачи происходит "равномерное распространение тепла" по области, состоящей из точек, удаленных от носителя финитной начальной функции на расстояние \fi. В классе неограниченных областей, удовлетворяющих условиям изопериметрического типа, для решения второй смешанной задачи в случае квазилинейного уравнения дивергентного вида А.Ф. Тедеевым получены точные равномерные оценки, а для более широкого класса квазилинейных уравнений — равномерная оценка сверху.
В работах В.И. Ушакова в предположении, что нецилиндрическая область расширяется при возрастании времени, установлена справедливость результатов, близких к приведенным выше для второй смешанной задачи; при этом рассматривалось краевое условие, обеспечивающее сохранение энергии.
Для широкого класса, неограниченных областей Ф.Х. Мукми-новым получена равномерная оценка сверху скорости стабилизации решения первой смешанной задачи для линейного уравнения в самосопряженной форме, установлена оценка Ьг-нормы решения для параболического линейного уравнения высокого порядка. Этот результат распространен А.Ф. Тедеевым на параболические квазилинейные уравнения высокого порядка в дивергентной форме. Точность этих оценок в случае линейного уравнения второго порядка для некоторого класса областей вращения, монотонно расширяющихся на бесконечности, доказана Ф.Х. Мукмнновым.
Впоследствии было обнаружено, что упомянутые оценки ре-
шения первой смешанной задачи перестают быть точными для областей с нерегулярным поведением границы. Поэтому актуальной является задача установления точных оценок для более широкого класса областей и систем уравнений, в том числе для немонотонно расширяющихся областей вращения. Кроме того, не изучались задачи с неоднородными краевыми условиями.
Цель работы. Исследование зависимости поведения при і — со решений первой смешанной задачи с финитными начальным и граничным условиями в цилиндрической области D = {t > 0} х fi, ЙСДп,п>2, для параболических линейных и квазилинейных систем второго порядка с младшими членами от неограниченной области Q, лежащей в основании цилиндра.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми:
выделен класс единственности, близкий к классу Тэклин-да, решений первой смешанной задачи для квазилинейной системы параболических уравнений с начальной вектор-функцией (р, несуммируемой в неограниченной области О; доказана теорема существования решения с экспоненциально растущей на бесконечности начальной вектор-функцией, принадлежащей установленному классу единственности;
для достаточно широкого класса неограниченных областей с некомпактной границей установлено, что поведение решения первой смешанной задачи определяется двумя геометрическими характеристиками; получена оценка, характеризующая убывание при \х\ — со решения первой смешанной задачи для квазилинейной системы с финитными начальным и граничным условиями; на ее основе в терминах геометрических характеристик неограниченной области установлена оценка Ъг-нормы решения, описывающая его убывание при f —» оо; для неотрицательного ограниченного решения полулинейной системы частного вида в широком классе областей вращения доказана точность этой оценки; при дополнительных требованиях на коэффициенты системы и гладкость границы dQ для п = 2,3,4 найдены оценки Ьг-норм производных, входящих в систему, и равномерная оценка решения (n = 2,3), позволяющие установить скорость убывания
производных решения при t —г ОС.
Методика исследования. Идеи доказательства оценки Lo-нормы во внешности шара и доказательства единственности решения краевых задач для параболических систем восходят к работам J. Knowles и R. Toupin, в которых для различных задач теории упругости обосновывается так называемый принцип Сен-Венана об экспоненциальном затухании влияния финитного возмущения граничных данных при удалении от места возмущения. Методы вышеназванных работ позднее были распространены на эллиптические уравнения О.А. Олейник, на параболические уравнения О. А. Олейник, А.К. Гущиным, Ф.Х. Мукминовым, А.Ф. Те-деевым и другими авторами.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы в качественной теории дифференциальных уравнений и систем параболического типа. Разработанные в диссертации методы могут применяться при расчетах диффузионных и тепловых процессов в областях удлиненной формы (распространение локализованных выбросов вредных веществ в морском заливе и т.п.).
Ащзобация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались автором на семинарах по дифференциальным уравнениям в Институте Математики с ВЦ УНЦ РАН, на семинарах по дифференциальным уравнениям и уравнениям математической физики в Стерлитамакском государственном педагогическом институте, на международных научных конференцях: посвященной 90-летию со дня рождения СП. Пулькина в Самаре (1997 г.), "Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы" в Стерлитамаке (1998 г.), "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы" в Уфе (2000 г.), на всероссийской научной конференции "Физика конденсированного состояния" в Стерлитамаке (1997 г.), на II Уральской региональной межвузовской научно-практической конференции в Уфе (1997 г.), на научно-практической конференции вузов Уральской зоны в Челябинске (1998 г.), на Воронежской весенней математической школе в Воронеже (1999 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликованы 5 статей.
Список публикаций приведен в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Нумерация теорем, лемм, предложений, утверждений, следствий и формул ведется отдельно в каждой главе. Объем 123 страницы. Библиография 57 названий.