Введение к работе
Актуальность темы.
Классической одноточечной задачей для обыкновенного дифференциального уравнения является задача Коши:
' 8М = /(і,ї tJ»"1))
I x(tQ) = Xo
. x("-1)(i0) = a:„-i,
решение которой дает информацию о поведении искомой функции x(t) в некоторой окрестности точки to Є К. Однако, часто возникает необходимость налагать ограничения на искомую функцию не в конечной, а в бесконечно удаленной точке, и изучать поведение x(t) именно в окрестности бесконечно удаленной точки. Таким образом, проблема построения обобщения задачи Коши на случай бесконечно удаленной точки имеет как практическое, так и теоретическое значение.
Цель работы.
Построение такого обобщения задачи Коши, которое, с одной стороны, позволяет получить информацию об искомой функции в окрестности бесконечно удаленной точки, и, с другой стороны, включает в себя классическую задачу Коши в качестве частного случая.
Методы исследования.
Главным инструментом исследований является теорема С. Банаха о сжимающих отображениях. При этом постоянно используются условия вида
\f(t,x)-f(t,y)\<
(их можно назвать интегральными условиями Липшица), где функция ip(t) (заменяемая константой в классическом условии Липшица) обладает теми или иными свойствами суммируемости. Методы исследования, используемые в диссертации, развивают и опираются на методы, разработанные Л.Д. Кудрявцевым, построившим основы теории стабилизационных задач.
Научная новизна.
-
Построено обобщение задачи Коши, включающее в себя классическую задачу, и дан метод решения построенной задачи, позволяющий изучать поведение решения обыкновенного дифференциального уравнения на бесконечности. При этом оказалось, что рассматриваемое обобщение является по существу весовой задачей. Аналогичное обобщение и метод решения получены также и для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
-
Получены новые теоремы о стабилизации и лагранжевой (ядерной) стабилизации, введенных Л.Д. Кудрявцевым: если функция x(t) п — 1 раз непрерывно дифференцируема при t > Т, то
а) найдется дифференциальный оператор
с непрерывными коэффициентами pj(t) = PjlX{t), t>T, такой, что в базисе ядра оператора Liagr функция x(t) лагранжево (ядерно) стабилизируется к нулю.
б) если п > 2, то найдется дифференциальный оператор
с непрерывными коэффициентами qj(t) = <7;,х()> ' > ^> такой.что в ядре оператора L,tab существует и единствен элемент, к которому стабилизируется x(t).
3. Для уравнения Риккати вида
dx(t) dt
= x2(f) + h{t), і > О,
получена теорема о приближенном решении, а если
h(t) = ^2 cijti, т <к,к> -1, ак < О, j=m
то предложен простой способ нахождения его приближенного решения (по сути, метод неопределенных коэффициентов), позволяющий из системы алгебраических уравнений определить функцию zo(t) такую, что при ( — +оо имеет место соотношение
Ы0-*(01<^,
где x(t) - некоторое частное решение, а > 1 -любое наперед заданное число, С(а) - некоторая константа при всяком а.
Теоретическая и практическая ценность работы.
Диссертация имеет теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях по теории стабилизационных задач для дифференциальных уравнений.
Апробация работы.
Основные результаты диссертации докладывались на Международной математической конференции "Функциональные пространства, Теория приближений, Нелинейный анализ" (Москва, 27 апреля - 3 мая 1995 года), посвященной 90-летию академика СМ. Никольского, а также в Математическом Институте им. В.А. Стеклова РАН на семинаре по теории функций и ее приложениям, руководимом академиком СМ. Никольским, чл.-корр. Л.Д. Кудрявцевым, чл.-корр. О.В. Бесовым и чл.-корр. СИ. Похожаевым.
Публикации.
Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах, список которых приводится в конце автореферата.
Структура и объем работы.